Geometrická posloupnost (1.část)

1. VY_32_INOVACE_ 22-15 Geometrická posloupnost(1.část)

2. Úloha 1 Sestrojme grafy následujících posloupností zadaných výčtem jejich prvků: b) Jak se liší u těchto posloupností člen následující od členu předchozího? Zapišme tyto posloupnosti rekurentně. Sestavme vzorec pro n–tý člen daných posloupností. Jedná se v těchto případech o funkci? O jakou?

3. an Každý následující člen je dvojnásobkem členu předchozího, tzn. , že • rekurentní určení posloupnosti je • an+1= 2an ; a1 = 1, • vzorec pro n-tý člen je • an = 2n – 1. • Tato posloupnost je zvláštním případem funkce exponenciální • y = 2x– 1. 16 8 4 2 n 5 1 2 4 0 3 1 Řešení úlohy 1 Posloupnost (I.)

4. Posloupnost (II.) an 6 3 1,5 0,75 n 5 1 2 4 0 3 Každý následující člen se rovná polovině členu předchozího, tzn., že rekurentní určení posloupnosti je vzorec pro n-tý člen je Tato posloupnost je zvláštním případem funkce exponenciální

5. Každý následující člen se rovná polovině členu předchozího se současnou změnou znaménka, tzn., že • rekurentní určení posloupnosti je • vzorec pro n-tý člen je • Tato posloupnost není zvláštním případem funkce exponenciální . • (Proč?) an 6 1,5 0 0,375 -0,75 n 3 5 1 2 4 -3 Posloupnost (III.)

6. Definice geometrické posloupnosti Posloupnost se nazývá geometrická, právě když existuje takové reálné číslo q, že Reálné číslo q je tzv. kvocient geometrické posloupnosti. Poznámka: Ve všech úlohách budeme předpokládat, že a10 a zároveň q0.

7. Vlastnosti geometrické posloupnosti: V geometrické posloupnosti je vždy podíl dvou libovolných sousedních členů konstantní, protože . Jestliže kvocient , jedná se o zvláštní případ exponenciální funkce, grafem jsou body ležící na exponenciále. Omezení posloupnosti a její monotónnost záleží na hodnotách a .

8. Odpovězte na zadané otázky v následujícím testu. • Návod: Využijte grafů posloupností. • (Časový rozsah celého testu jsou 3 minuty.) • (Test ve formátu *.ppt nebo *.pdf )

9. Úloha 2 Která z následujících posloupností je geometrická? Dokažme toto tvrzení na základě definice geometrické posloupnosti:

10. Řešení úlohy 2 Má-li být posloupnost geometrická, musí platit, že podíl jejich sousedních členů je konstantní a rovná se kvocientu q. Závěr: O geometrickou posloupnost se jedná pouze v a), c).

11. Domácí úkol Která z následujících posloupností je aritmetická a která geometrická? Dokažte tato tvrzení na základě definice aritmetické a geometrické posloupnosti. Obě posloupnosti zapište rekurentně.

12. Děkuji za pozornost. Autor DUM: RNDr. Ivana Janů Autor příkladů a grafů: RNDr. Ivana Janů