Formulacija krivulj in površin za računalniško podprto 3D modeliranje

1. Formulacija krivulj in površin za računalniško podprto 3D modeliranje Nastopno predavanje za pridobitev naziva docent na Fakulteti za strojništvo, Univerza v Ljubljani dr. Tomaž Kolšek

2. Zgradba predavanja • Uvod in kratek zgodovinski oris razvoja sodobnih • popisov krivulj in površin • Pričakovane lastnosti krivulj in površin za 3D modeliranje • Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBS • Popis površin • Povzetek in nadaljnji študij Poglavje 1: Uvod in kratek zgodovinski oris razvoja sodobnih popisov krivulj in površin

3. Področja uporabe krivulj in površin • Fizika, inženirske aplikacije, računalniška grafika • Interpolacija podatkovnih množic • Rač. grafika: idelava virtualnih 3D modelov, izdelava • animacijskih poti virtualnih objektov Poglavje 1: Uvod in kratek zgodovinski oris razvoja sodobnih popisov krivulj in površin

4. Začetki • Najstarejši znani začetki segajo v čas Rimljanov (gradnja ladij) • Prve risbe se pojavijo šele okoli 1600 v Angliji • Beseda “spline” označuje leseni trak, primerno fiksiran in obtežen Poglavje 1: Uvod in kratek zgodovinski oris razvoja sodobnih popisov krivulj in površin

5. Izvor sodobnega zapisa • Paul de Faget de Casteljau, matematik, Citroen,neobjavljena dela • Piere Beziere, inženir strojništva in elektrotehnike, Renault,objava • leta 1966 v reviji Automatisme Poglavje 1: Uvod in kratek zgodovinski oris razvoja sodobnih popisov krivulj in površin

6. Fizikalna osnova za popis “lepe” krivulje • Lastnosti “lepih” krivulj: zveznost, intuitiven potek, sposobnost interpolacije z minimalno ukrivljenostjo, … • Lastnosti materialnega traku Poglavje 2: Pričakovane lastnosti krivulj in površin za 3D modeliranje

7. Pričakovane lastnosti krivulj za 3D modeliranje • Zveznost 0-tega, 1. in 2. reda • Sposobnost enostavnega preoblikovanja, lokalne in globalne kontrole • Ohranjevanje oblike pri geometrijskih transformacijah • Univerzalnost popisa za vse vrste standardnih oblik (ravne črte, krožni loki, stožnice, polinomi; pri površinah pa standardne ploskve) • Sposobnost interpolacije skozi podane množice točk • Težnja po zmanjševanju variacije pri interpolaciji Poglavje 2: Pričakovane lastnosti krivulj in površin za 3D modeliranje

8. Kubične parametrične krivulje Poglavje 3: Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBS

9. Uvedba Bernsteinovih polinomov Poglavje 3: Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBS

10. Geometrijska interpretacija zapisa Pojem kontrolnega poligona P0, P1, P2, P3 krivulja se začne v točki P0 in konča v točki P3 Krivulja je v točki P0 tangentna na P0-P1 ter v točki P3 tangentna na P2-P3 Krivulja se točkama P2 in P3 samo približa Krivulja je definirana na intervalu parametra t od 0.0 do 1.0 Poglavje 3: Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBS

11. Primer določitve poteka Bezierjeve krivulje Poglavje 3: Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBS

12. Razširitev Bezierjeve krivulje v B-zlepek Pomanjkljivosti Bezierjevih krivulj: premajhno število kontrolnih točk, ne-lokalnost Lastnosti B-zlepkov: odsekoma kubična krivulja na posameznih odsekih Doseganje lastnosti sovpadanja začetne in končne točke ter kotrolnega poligona. Definirana na intervalu t = 0.0 … N odsekov Pojem vozliščnega vektorja Uvedba specialnih povezovalnih funkcij Poglavje 3: Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBS

13. Delovanje povezovalnih funkcij Poglavje 3: Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBS

14. Vpliv vozliščnega vektorja na obliko B-zlepka Kratnost kontrolnih točk (vpliv na začetku in na sredini) Reparametrizacija: Uvedba neenakomernega naraščanja vrednosti parametra v vozlih (non-uniform B-spline) Poglavje 3: Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBS

15. Omogočanje lokalne kontrole Vpliv premikanja kontrolnih točk na potek krivulje Poglavje 3: Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBS

16. Povečanje kontrole krivulj: NURBS • Pomanjkljivosti B-zlepkov: • težave pri natančnem popisu standardnih krivulj, kot je npr. krožni lok • Premajhna lokalna kontrola • Uvedba dodatnega parametra w (weight = utež) Poglavje 3: Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBS

17. NURBS Zmožnost natančnega popisovanja krožnic in drugih stožnic Poglavje 3: Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBS

18. Popis površin Razširitev par. krivulj (enoparameterske tvorbe) v površine (dvoparameterske tvorbe) Poglavje 4: Popis površin

19. Površina NURBS Število kontrolnih točk je m x n, v vsaki je mogoča lokalna kontrola Poglavje 4: Popis površin

20. Interpolacija površin z robnimi krivuljami Vodilo: želja po inuitivnemu načinu oblikovanja površin s pomočjo robnih krivulj. Poglavje 4: Popis površin

21. Prema površina Linearna Interpolacija med dvema “paralelnima” prostorskima krivuljama Poglavje 4: Popis površin

22. Coons-ova površina Bilinearna Interpolacija med štirimi “ortogonalnimi” prostorskimi krivuljami Poglavje 4: Popis površin

23. Gordon-ova površina Posplošitev Coons-ove površine: namesto linearnih povezovalnih funkcij uporabimo polinome višjega reda Poglavje 4: Popis površin

24. Povzetek in nadaljnji študij • Potreba po popisovanju krivulj in površin s posebnimi lasnostmi • Osnovna matematična tvorba je Bezierjeva krivulja • Omejitve Bezierjeve krivulje narekujejo razširitev v NURBS • Spreminjanje položaja kontrolnih točk pomeni intuitivno spremembo krivulje oz. površine • Pogosto uporabljana tehnika za izdelava površin je interpolacija z robovi • Dodatna literatura: • G. Farin: Curves and Surfaces in CAGD, 5. izdaja, 2002 • A. H. Watt, Fundamentals of Three-Dimensional Computer Graphics, Addison WesleyPublishing Company, 1989. • L. Pegl in W. Tiller, The NURBS book, Springer Verlag New York, 1995. • J. Petrišič, Interpolacija, Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani, 1999. Poglavje 5: Povzetek in nadaljnji študij