1 / 53

GEOMETRIA MAA3 - 2008

GEOMETRIA MAA3 - 2008. c. b. a. TRIGONOMETRISET FUNKTIOT. . c. b. a. x. 68 . 34 m. . Esimerkki Laske sivun x pituus.  34. V: 84 m. c. b. a. x. 7,3 cm. 28 . .

ayoka
Download Presentation

GEOMETRIA MAA3 - 2008

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. GEOMETRIA MAA3 - 2008

  2. c b a TRIGONOMETRISET FUNKTIOT 

  3. c b a x 68 34 m  Esimerkki Laske sivun x pituus.  34 V: 84 m

  4. c b a x 7,3 cm 28  Suorakulmaisen kolmion toisen terävän kulman suuruus on 28 ja lyhyemmän kateetin pituus on 7,3 cm. Laske hypotenuusan pituus.  x :sin 28 V: 16 cm

  5. c b a 16 m  12 m Laske kulman  suuruus.

  6. c a b PYTHAGORAAN LAUSE a2 + b2 = c2 KATEETTIEN NELIÖIDEN SUMMA = HYPOTENUUSAN NELIÖ

  7. Laske hypotenuusan x pituus. x 3 4 32 + 42 = x2 9 + 16 = x2 (25 = x2) x2 = 25 x = 5 KATEETTIEN NELIÖIDEN SUMMA = HYPOTENUUSAN NELIÖ

  8. Laske kateetin x pituus. 6 x 4 x2 + 42 = 62 x2 + 16 = 36 x2 = 36 - 16 x2 = 20

  9. Pythagoras – onko kolmio suorakulmainen Esimerkki Kolmion sivut ovat 2, 3 ja 4. Onko kolmio suorakulmainen? Mahdollinen hypotenuusa: 4 Mahdolliset kateetit: 2 ja 3 22 + 32 = 42 13 = 16 epätosi V: Kolmio ei ole suorakulmainen

  10. Kolmiot tasasivuinen kolmio teräväkulmainen kolmio suorakulmainen kolmio tylppäkulmainen kolmio tasakylkinen kolmio

  11. Muista: Tasakylkisessä (kaksi sivua yhtä pitkiä) kolmiossa huipusta piirretty korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman   Termit korkeusjana keskijana (leikkaavat samassa pisteessä)

  12. Sinilause Voidaan käyttää, kun kolmiosta tunnetaan - 2 kulmaa ja yksi sivu - 2 sivua ja toisen vastainen kulma   Esimerkki Kolmion kaksi sivua ovat pituudeltaan 3,8 cm ja 5,7 cm sekä näistä pienemmän sivun vastainen kulma 32 º . Laske kolmion muut kulmat. Kulmat: 52,6 º ja 95,4 º tai 127,4 º ja 20,6 º 3,8 3,8  sin = 5,7  sin32º | : 3,8 sin = 0,795   52,6 º tai 180 º - 52,6 º = 127,4 º 32 5,7

  13. 46º 6,0m 6,0 m A = ½ ab sin A = ½  6,0  6,0  sin 46º  13 (m2)

  14. Kosinilause - kaikki sivut - yksi kulma ja 2 sivua  a2 = b2 + c2 - 2bccos  Esimerkki Kolmion kulman suuruus on 63 º ja viereisten sivujen pituudet ovat 5,0 cm ja 8,0 cm. Laske kolmannen sivun pituus. b= 5,0 cm c = 8,0 cm  = 63 º a = ? a2 = 5,02 + 8,02 – 2  5,0  8,0  cos63º a2 = 52,68 a = 7,3 cm

  15. Laske puolisuunnikkaan pinta-ala. 21,0 km 5,0 km 14,0 km Tasakylkinen suunnikas => erisuuntaiset kyljet ovat yhtä pitkät  88 km2

  16. Esimerkki Neliön pinta-ala on 25 cm2 Mikä on sivun pituus? x2 = 25 h a A = x2 x V: 5 cm Esimerkki Suunnikkaan pinta-ala on 35 cm2 Kanta on 7 cm. Laske korkeus. Korkeus = h 7h = 35 |:7 h = 5 V: 5 cm A = ah

  17. Esimerkki Ympyrän halkaisija on 7,2 cm. Laske a) pinta-ala b) kehän pituus r = d / 2 = 7,2 cm / 2 = 3,6 cm b) p = d =  7,2 cm  23 cm  41 (cm2) Esimerkki Ympyrän pinta-ala on 32 cm2. Laske säde.

  18. r = 1,3 m =74° Laske sektorin a) sektorin ala b) kaaren pituus b r 

  19. b r  Segmentin pinta-ala = Sektorin pinta-ala - keskuskolmion pinta-ala = -

  20. Suorakulmainen särmiö c V = abc x b a tai kaava (taulukkokirja) avaruuslävistäjä c

  21. E.1. Suorakulmaisen särmiön särmät ovat 3, 4 ja 12. Laske avaruuslävistäjän pituus.

  22. E.5. Suoran ympyrälieriön leveys ja korkeus ovat 20 cm. Mikä on vaipan ala?

  23. E.4. Suoran ympyräkartion pohjaympyrän säde on 5 ja sivujana 13. Laske kartion tilavuus. h2 = 132 – 52 h2 = 144

  24. Laske säännöllisen pyramidin pinta-ala Pyramidin vaippa koostuu neljästä samankokoisesta kolmiosta 13 m 10 m 13 m x2 + 52 = 132 x2 = 132 - 52 x2 = 144 x = 12 10 m Av = x

  25. E.7. Mikä on suoran ympyräkartion vaipan ala, kun pohjan säde on 3 ja korkeus 4? s2 = 42 + 32 s2 = 25 s = ±5 A = rs =  ·3 · 5 = 15

  26. E.8. Miten suuri säde on pallolla, jonka pinta-ala on 1 m2? V: 28 cm

  27.   +  = 180 º (vieruskulmat) ristikulmat yhtä suuret s r s || r samankohtaisia kulmia

  28. TASOKUVIOIDEN YHTENEVYYS Monikulmiot ovat yhtenevät, jos niiden vastinsivut javastinkulmat ovat yhtä suuret. (”kuviot samanmuotoiset ja samankokoiset”) (”kuviot päällekkäin asetettuna peittävät toisensa”) Kuvioiden yhtenevyyttä merkitään symbolilla  E.1. A A’ D D’ K1K2 K1 K2 B C B’ C’ AB = A’B’ BC = B’C’

  29. Kolmioiden yhtenevyyslauseet sks sss kks ksk ssk Yhtenevien kuvioiden vastinosat ovat yhtä suuret kulmat samanlaatuisia

  30. Todistaminen Lause Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret Oletus Kolmio ABC on tasakylkinen Väitös Kantakulmat <BAC ja <ABC ovat yhtä suuret Todistus Piirretään kannalle AB keskijana CD, jolloin AD = BD (tasakylkinen kolmio) AC = BC (tasakylkinen kolmio) DC = DC (yhteinen) S C ACD  BCD (sss) Kantakulmat ovat yhtenevien kolmioiden vastinkulmina yhtä suuret A B D

  31. Yhdenmuotoisuus Vastinkulmat yhtä suuret ja vastinsivut verrannolliset Esimerkki Kuvasta tehtiin pienennös. Mikä on kuvion korkeus pienennöksessä? x 8,2 cm 17,3x = 104,94 | : 17,3 x  6,1 V: 6,1 cm 12,8 cm 17,3 cm

  32. Esimerkkejä mittakaavasta • Kartalla 8,7 cm, mittakaava 1 : 50 000. Mikä todellisuudessa? x = 8,7  50 000 x = 435 000 (cm)  4,4 km b) Etäisyys 111 km. Mittakaava 1 : 200 000. Mitta kartalla? 200000x = 111 | : 200 000 x  0,000555 (km) = 55,5 cm c) Kartalla 7,4 cm – todellisuudessa 3,7 km. Mittakaava? 7,4 cm : 3,7 km 7,4 cm : 370000 cm | : 7,4 cm 1 : 50 000

  33. Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö Esimerkki Kartan mittakaava on 1 : 50 000. Järven pinta-ala kartalla 5,7 cm2. Mikä on järven pinta-ala? A = 50 0002 5,7 A = 1,4*1010 cm2 A = 1,4 km2

  34. Yhdenmuotoisten kuvioiden kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio Esimerkki Avaruusaluksen pienoismallin (1 : 100) tilavuus 3,0 cm3. Mikä on avaruusaluksen tilavuus? A = 1003 5,7 A = 3,0  106 dm3 A = 3000 m3

  35. Kolmioiden yhdenmuotoisuus Lause kk Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuret kuin toisen kolmion kaksi kulmaa, niin kolmiot ovat yhdenmuotoiset. C C’  ABC   A’B’C’ B’ A’ A B Muut sks ssk ssk sss (sivut verrannollisia)

  36. Esimerkki Kolmiot ovat yhdenmuotoisia (kk), koska < ABC = < ADE (90º) < BAC = < DAE (sama kulma) A joki x C B 40 m 30 m D E 67 m 67x = 40(x + 30) 67x = 40x + 120 27x = 120 | : 27 x  44 (m)

  37. Lause Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Esimerkki Kolmion sivujen pituudet ovat 3, 5, ja 6. Laske niiden osien pituudet, joihin suurimman kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun. 5 3 5x = 18 - 3x x = 2,25 6 - 2,25 = 3,75 6 - x x 6

  38. NELIKULMIOT Suunnikas = nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset

  39. Lause Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret Oletus ABCD suunnikas, jolloin AD || BC ja AB || DC (määritelmä) Väitös vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret D C A B G Todistus: Sivun AB jatke puolisuora AG < BAD = < GBC samankohtaisina kulmina < GBC = < BCD samankohtaisina kulmina < BAD = < BCD Vastaavasti kulmat ADC ja CBA ovat yhtä suuret

  40. Lause Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät Lause Jos nelikulmion vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät, niin nelikulmio on suunnikas Lause Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa Suunnikkaiden vierekkäiset kulmat ovat suplementtikulmia Nelikulmioiden sisäkulmien summa on 360º

  41. Esimerkki Suunnikkaan yksi kulma on 70 º. Miten suuria ovat muut kulmat? Vastakkainen kulma: 70 º Kahdelle muulle kulmalle: 360 º - 2 70 º = 220 º’ 220 º / 2 = 110 º V: Kulmat: 70 º, 70 º, 110 º, 110 º

  42. 4.3.3. Kolmion kulman puolittajalause Lause: Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa.

  43. E.1. Kolmion sivut ovat 4, 6, 7 Millaisiin osiin suurimman kulman puolittaja jakaa pisimmän sivun? 4 6 4x = 6(7 – x) 4x = 42 – 6x 10x =42 7 - x x 7

  44. Kehäkulma ja sitä vastaava keskuskulma  = kehäkulma  = kehäkulmaa vastaava keskuskulma  Kehäkulmaa vastaava kaari  Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta:  = ½ Kehäkulma = kulma, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kylkinä kaksi jännettä tai toisena kylkenä on jänne ja toisena ympyrän tangentti

  45. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret  =   

  46. Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora  = 90º 

  47. Tangenttikulman kyljet mitattuina kärjestä sivuamispisteisiin ovat yhtä suuret A  P B PA = PB

  48. Tangenttikulma ja sitä vastaava keskuskulma ovat toistensa suplementtikulmia A   P B  +  = 180º

  49. E.1. Ympyrän kehäkulma on 27º. Mikä on vastaavan keskuskulman suuruus? 2  27º = 54º E.2. Ympyrän säde on 13. Halkaisijan AB päätepisteestä A on piirretty 10 pituinen jänne AP. Laske PB. Halkaisija = 2 13 = 26 PB = 24

  50. Maapallo näkyy miehitetystä avaruusaluksesta 52º kulmassa. Mikä on avaruusaluksen etäisyys Maasta? Maapallon säde on 6370 km. 6370 52º Aluksen etäisyys Maasta: 14530 km - 6370 km = 8200 km x = 14530

More Related