300 likes | 753 Views
Geometrik Dönüşümler. Genel Bakış. 2 ve 3 boyutlu, Çevirim(Translation) Dönüş(Rotation) Ölçeklendirme(Scaling) Homojen koordinatlar Koordinat sistemleri. 2 Boyutlu Konum Değiştirme (Translation). Bir nesneyi bir koordinattan bir diğerine düz bir çizgi boyunca yeniden konumlandırma
E N D
Geometrik Dönüşümler
Genel Bakış • 2 ve 3 boyutlu, • Çevirim(Translation) • Dönüş(Rotation) • Ölçeklendirme(Scaling) • Homojen koordinatlar • Koordinat sistemleri
2 Boyutlu Konum Değiştirme (Translation) • Bir nesneyi bir koordinattan bir diğerine düz bir çizgi boyunca yeniden konumlandırma • Orijinal koordinat pozisyonuna tx ve ty, çevirim mesafelerini ekleme • Konum değiştirme katılarda, • Nesneyi bozmadan hareket ettirir.
2 Boyutlu Dönüş (Rotation) Orijin etrafında dönüş:…….. • Orijinal kutup koordinatları:…….. • Yerlerine yerleştirdikten sonra:…….. • Matris yapısı:……… • Pozitif dönüş açıları saat yönünün tersini gösterirken, negatif açılar saat yönünü gösterir.
2 Boyutlu Dönüş Rastgele bir nokta etrafında dönüş:……… • Önce translation(xr,yr) ve yerlerine koymadan sonra dönüş:……..
2 Boyutlu Dönüş • Dönüşlerde işlem sırası önemlidir. Sonuç imge farklı olabilmektedir. Aşağıdaki örnekte olduğu gibi...
2 Boyutlu Dönüş • Bir doğru, doğrunun bitiş noktalarına dönüş denklemi uygulanarak döndürülür ve yeni bitiş noktaları arasına yeniden çizilir. • Çokgenler her tepe noktasını belirlenen dönüş açısıyla döndürülürler ve daha sonra yeniden çizerler. • Eğriler tanımlama noktalarının yeniden konumlandırılması ve eğrinin yeniden çizilmesiyle döndürülür.
2 Boyutlu Ölçeklendirme • Nesnenin boyutunu değiştirir • Bir nesne her tepe noktasının (x,y) koordinatlarının birer ölçekleme katsayısı olan sx ve sy ile çarpılmasıyla ölçeklendirilir. • Sx ve sy herhangi bir pozitif değer alabilir. • 1’den küçük değerler nesnenin boyutunu küçültür. • 1’den büyük değerler genişleme sağlarlar • Sx ve sy 1 ise, boyut değişmez.
2 Boyutlu Ölçeklendirme • Tek düze ölçeklendirme: • Sx ve sy aynı değerdedirler. • Diferansiyel ölçeklendirme: • Sx ve sy eşit değildirler. • 1’den küçük ölçekleme değerleri nesneyi orijine yaklaştırır. • 1’den büyük ölçekleme değerleri nesneyi orijinden uzaklaştırır. • Sabit nokta: • (xf,yf) sabit noktası ölçeklemeden sonra konumu kontrol etmek içindir. • (xf,yf) sabit noktasının koordinatları herhangi bir pozisyonda olabilir.???? • xf(1-sx) ve yf(1-sy) nesnenin tüm noktaları için sabit taşıma (translation) oluşturur.
Homojen koordinatlar • Soru: • Çevirim(Translation) matrisleri toplama gerektirmesine rağmen, ölçekleme ve dönüş matrisleri çarpım gerektirir. Bunları nasıl birleştiririz? • Çözüm: • Kartezyen koordinatları yerine homojen koordinatlar kullanılır. Bu koordinat sisteminde çevirim, ölçekleme ve dönüş genel bir matris çarpım yöntemiyle ifade edilebilir.
Homojen koordinatlar • 2 boyutlu koordinatta temsil edilen p1(x1,y1) noktasını bir “h” değişkeni ekleyerek p1h(hx1,hy1,h) olarak gösterilir. h=1 olduğunda (x,y) için kartezyen koordinatlardaki değer elde edilir. • Homojen koordinatlarda p(m,n,h) ile verilen nokta p(m/h,n/h,1) kullanılarak kartezyen koordinatlardaki değerler bulunabilir. • Her nokta için aynı doğru üzerinde “h” değerine bağlı olarak birden çok homojen koordinatla gösterilebilir.
Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Çevirim • Matris temsili:………….. • Ters çevirim matrisi tx ve ty’yi –tx ve –ty ile değiştirilerek yapılır. P den P’ ne: • ve P’ nden P’’ ye çevirim………..
Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Dönüş • Matris temsili:……. • Ters dönüş matrisi θ’nın –θ’ya dönüştürülmesi ile gerçekleştirilir. • İki başarılı dönüş:………..
Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Ölçekleme • Matris temsili:…….. • Ters ölçekleme matrisi sx ve sy’nin 1/sx ve 1/sy ile değiştirilmesiyle elde edilir. • P den P’ ne ve P’ den P’’ ne ölçekleme:….
Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Dönüşüm Birleşimi • Açık GL sadece orijin etrafında bir dönüş fonksiyonu sağlar. • Rasgele bir nokta etrafında bir nesneyi döndürmek için ardı ardına 3 esas dönüşüm yapılmalıdır. • Eksen noktası orijine çevrilir. • Orijin etrafında dönülür. • Eksen noktası tekrar orijinal haline çevrilir.
DİĞER DÖNÜŞÜM ÇEŞİTLERİ • Makaslama-Kaykılma(Shear) • Yansıma(Reflection)
Makas(Shear-Kaykılma) Çevirimi • Bir nesnenin şeklini sanki birbirleri üzerinden kayan iç tabakalardan oluşmuş gibi gösterecek şekilde biçimini bozar • X-yönünde makas • Y- yönünde makas
Yansıma Çevirimi • Bir nesnenin ayna yansımasını oluşturur.
Temel Dönüşüm Sınıfları • 1)Katı kütle(Rigid Body) Çevirim:Uzunluk, açı ve yönelim(orientation) korunur. Örn: Dönüş (Rotation) ve çevirim(Translation) • 2)Yakın(Affine) Çevirim: Doğruların uzunlukları ve açılarını değil, paralelliklerini korur. Çizgiler çizgi olarak kalır. Örn: Çevirim(translation), Dönüş(rotation), Ölçekleme(scaling), Makaslama(shear), ve Yansıma (reflection) • 3)(Conformal) Çevirim: Sadece Açı ve yönelimin (orientation) korunduğu çevirim. Orn: Dönüş (Rotation), çevirim(Translation) ve düzenli ölçekleme (uniform scaling). • Bu özellikler aynı zamanda 3 boyutlularda da geçerlidir.
3 Boyutlu Dönüşümler3 Boyutlu Çevirimler • 4’e 4’lük homojen bir matris • Ters çevirim matrisi tx , ty ve tz’yi; –tx ,–ty ve –tz ile değiştirerek elde edilir.
3 Boyutlu Dönüşüm3 Boyutlu Çevirim • Tüm tanım noktası çevrilmiştir. • Nesne bir çokgense, her tepe noktası ayrıca çevrilir.
3 Boyutlu Dönüşümler3 Boyutlu Ölçekleme • 4’e 4’lük bir homojen matris • Ters ölçekleme matrisi sx, sy ve sz yerine 1/sx, 1/sy ve 1/sz konularak oluşturulur.
3 Boyutlu Dönüşümler3 Boyutlu Ölçekleme • Sabit bir noktaya göre ölçekleme
3 Boyutlu Dönüşüm3 Boyutlu Dönüş • z ekseni etrafında dönüş • x ekseni etrafında dönüş • y ekseni etrafında dönüş
3 Boyutlu Dönüşümün Bileşenleri • İlk hali:…. son hali:…… • Dönüşümü başarabilmek için iki yol vardır. • T, rx,ry, rz dönüşümlerini oluştur. • Dikey matrisin özelliklerini kullan
3 Boyutlu Dönüşümün Bileşenleri • 2 boyutlu bileşenleriyle aynı şekilde yapılır. • P1’i orijine dönüştür. • y ekseni etrafında çevir (p1, p2 (y,z) düzleminde uzanmaktadır.) • x ekseni etrafında çevir (p1, p2 z ekseni üzerindedir) • z ekseni etrafında çevir (p1, p3(y,z) düzleminde uzanmaktadır) Bileşik matris aşağıdaki gibidir:……
3 Boyutlu Dönüşümün Bileşenleri • Dönüş matrisini çapraz çarpım kullanarak oluşturunuz • RZ z eksenine dönecektir • RX x eksenine dönecektir • RY y eksenine dönecektir • Bileşik matris:…