Geometrik Dönüşümler

1. Geometrik Dönüşümler İnönü Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

2. Genel Bakış • Bir koordinat sistemini bir başka koordinat sistemine eşleştiren fonksiyonlardır. • Ayrıca bir noktayı belirten koordinat vektörünü aynı koordinat sistemi içerisinde başka bir koordinat vektörüne dönüştürür. • Ders kapsamında 2B ve 3B geometrik dönüşümler ele alınacaktır.

3. Kullanımı • Bir sahnedeki nesneleri konumlandırmada • Nesnelerin şekillerini değiştirmede • Nesnelerin birden fazla kopyasını oluşturmada • Sanal kameralar için izdüşüm belirlemede • Canlandırmaları (animasyon) ifade etmede

4. Matematiksel Gösterimler • Bir nokta 2B için (x,y) ikilisi, 3B için (x,y,z) üçlüsü şeklinde ifade edilir. • Bu noktanın konum vektörü ise 2B için 2x1, 3B için 3x1 matris şeklinde yazılabilir. • Sahnedeki bir nesne (örn. 3B model) noktaların birleşimi olduğundan çok sayıda nokta için yazılabilecek lineer denklemler bir lineer denklem sistemi oluşturur. • Matris gösterimi ise hem lineer denklem sistemlerinin çözümünde kolaylık sağlar, hem de farklı türden dönüşümlerin aynı işlemle yapılabilmesine imkan tanır.

5. Genel Bakış İzdüşüm Affine Benzerlik Lineer Katı/Öklid Eşyönlü Ölçekleme Ölçekleme Yansıtma Kayma Birim Döndürme Taşıma Perspektif

6. Katı Cisim/Öklid Dönüşümleri • Uzaklık ve açıların korunduğu dönüşümlerdir. • Taşıma (translation) ve döndürme (rotation) bu türden dönüşümlerdir.

7. Benzerlik Dönüşümleri • Öklid dönüşümlerinin üst kümesidir. • Uzunluklar değişebilmekte fakat açılar korunmaktadır. • Eşyönlü ölçekleme (isotropicscaling) bu türdendir. Benzerlik Katı/Öklid Eşyönlü Ölçekleme Birim Döndürme Taşıma

8. Lineer Dönüşümler • L(p + q) = L(p) + L(q) ve L(ap) = a L(p) koşullarını sağlayabilen dönüşümlerdir. (bir dönüşümün lineer olma şartı) • Yansıtma (reflection), ölçekleme (scaling), kayma (shear) bu türden dönüşümlerdir. Benzerlik Lineer Katı/Öklid Eşyönlü Ölçekleme Ölçekleme Yansıtma Kayma Birim Döndürme Taşıma

9. Affine Dönüşümler • Birbirine paralel doğruların paralelliği korunur.

10. İzdüşüm Dönüşümleri • İzdüşüm türüne göre korunan özellikler değişmektedir.

11. 2B’ de Taşıma • Taşıma için ilk konum vektörünün x ve y bileşenlerine taşıma vektörünün x ve y bileşenlerinin eklenmesi ile son konum vektörünün koordinatları bulunur. • Burada P ilk koordinatları belirten vektör, T taşıma vektörü ve P’ ise son koordinatları belirten vektördür. y P’ T Ty Tx P x + +

12. 2B’ de Döndürme • İşlem kolaylığı açısından döndürme işlemleri orijin noktası etrafında yapılır. • Burada P ilk koordinatları belirten vektör, R döndürme matrisi ve P’ ise son koordinatları belirten vektördür. y P r θ P’ r x - +

13. 2B’ de Ölçekleme • Burada P ilk koordinatları belirten vektör, S ölçekleme matrisi ve P’ ise son koordinatları belirten vektördür. • Eğer Sx ve Sy eşitse, eşyönlü ölçekleme (uniformscaling) yapılır. İlk nesne ile ikinci nesnenin arasında geometrik benzerlik vardır. y P’ P x . .

14. 2B’ de Yansıtma • Ölçekleme matrisinde Sx = -1 ve Sy = 1 ise x ekseni etrafında yansıtma yapılır. • Eğer Sy= -1 ve Sx = 1 ise y ekseni etrafında yansıtma yapılır. y P’ P x P’

15. 2B’ de Kayma • Kayma/kaydırmadan kastedilen, nesnelerin yüksekliğinin sabit tutularak eğilmesi (shear) işlemidir. Nesnenin şekli bozularak farklı bir şekil elde edilir. • Ölçeklemenin y bileşeni sabit tutulup, x bileşeni eğim açısına bağlı olarak değiştirilir. y 2B homojen θ x

16. Homojen Koordinatlar • Ölçekleme ve döndürme matrisleri 2x2 boyutlarındadır. • Taşıma ise lineer bir dönüşüm olmadığı için 2x2 boyutlarında bir matris şeklinde yazılamaz. • Bu durum, birden fazla dönüşüm yapıldığında işlem güçlüğü ve matris boyutlarında tutarsızlığa neden olur. • Bunun önüne geçmek için bütün matrislere aynı işlemin uygulanabileceği yeni bir matris biçimi tanımlanabilir. • Dönüşüm matrislerine ilave bir koordinat eklendiğinde oluşan yeni matrisler aynı işleme tabi tutulabilir. (çarpım) • Böylece 2B 3B’ ye, 3B de 4B’ ye dönüşür. Bir noktaya yeni bir boyut eklendiğinde (w), noktanın homojen koordinatları elde edilmiş olur.

17. Homojen Koordinatlar • P2b(x,y)  Ph(wx, wy, w), w≠0 • w, sıfır hariç herhangi bir tamsayı olabilir. • İzdüşüm dönüşümlerinde durum değişir. • Homojen koordinatlarla ifade edilen noktalara dönüşüm matrislerinin homojen koordinatlı hali uygulanır.

18. Homojen Dönüşüm Matrisleri • Taşıma • Döndürme • Ölçekleme

19. Örnekler • Taşıma: Nesneyi x yönünde -16 y yönünde +18 birim taşımak için • Döndürme: Nesneyi 123o döndürmek için • Ölçekleme: Nesneyi x yönünde 15 kat, y yönünde 17 kat büyütmek için

20. Dönüşümleri Birleştirme • Birden fazla geometrik dönüşümün uygulandığı durumlarda 3B modellerin her noktası için bütün matris çarpımlarını yeniden yapmak gereksizdir. • Bunun yerine geometrik dönüşüm matrislerini tek bir matriste birleştirip, 3B modelin bütün noktalarını bu matrisle çarparak istenen dönüşümler yapılabilir. • Çok sayıda geometrik dönüşüm matrisi sırayla çarpılarak dönüşüm matrisi elde edilir. • İşlem sırası önemlidir, yanlış sırada çarpım istenenden farklı sonuç verecektir.

21. Dönüşümleri Birleştirme • İlk önce çarpımı yapılır, sonuç bir soldaki matrisle çarpılarak en soldaki matrise doğru işlemler yapılır. • Matris çarpımlarının değişim özelliği yoktur.

22. Affine Dönüşümler

23. 3B Geometrik Dönüşümler • 2B dönüşümlere derinlik kavramının da eklenerek 3B uzaydaki nesneler için tanımlanan dönüşümlerdir. (z ekseni) • Bu dönüşümleri ifade etmek için de homojen koordinatlar kullanılır. • Dönüşüm matrisleri 4x4 boyutlarındadır. • Genelde sağ el kuralına göre koordinat eksenleri belirlenir.

24. 3B’ de Taşıma • 2B için taşıma dönüşümünden farkı z koordinatı değerlerinin de dönüşüm matrisine eklenmesidir.

25. 3B’ de Ölçekleme • 2B için ölçekleme dönüşümünden farkı z ekseninde ölçeklemenin de dönüşüm matrisine eklenmesidir.

26. 3B’ de Yansıma • 3B’ de yansıma düzlemlere göre, doğrulara göre (temel eksenler gibi) veya noktalara (orijin) göre tanımlanabilir.

27. 3B’ de Döndürme • 2B’ de döndürme belli bir noktaya (genelde orijin) göre olduğundan ifade edilmesi kolaydır. • 3B’ de ise döndürme için sonsuz sayıda dönme noktası tanımlanabileceğinden, dönüşüm matrisini elde etmek uğraştırıcı ve karışıktır.

28. Rodrigues’ in Formülü

29. Eksenlere Göre Döndürme

30. Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşümler • Dünya koordinatlarıile tanımlanan nesnelerin, görüntüleme koordinat sistemine aktarılması için dönüşüm matrisi tanımlamak gerekir. • Görüntüleme koordinat sistemini oluşturabilmek için öncelikle u, v, n birim vektörleri bulunur. • Görüntüleme koordinat sistemini, dünya koordinat sistemi ile aynı hizaya getiren dönüşüm iki matristen oluşur. • Önce bakış noktasını orijin noktasına taşınır. • Eksenleri hizalamak için döndürülür.

31. Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşümler • Böylece dönüşüm matrisi

32. İzdüşüm Dönüşümleri