GEOMETRİK KAVRAMLAR

1. GEOMETRİK KAVRAMLAR • Geometride “Nokta”, “Doğru”, “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir.

2. 1. Nokta: • “.” biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur.

3. 2. Doğru: • İki uçtan sınırsız noktalar kümesidir.

4. 3. Düzlem: • Her yönde sonsuza giden noktalar kümesidir. • E düzlemi dört yönde de sonsuza kadar gider. • E düzlemi yandaki gibi gösterilir.

5. 4. Doğru Parçası : • İki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birleşimidir. • [AB] sembolüyle gösterilir. • [AB] AB doğru parçası • |AB| AB doğru parçasının uzunluğu

6. 5. Işın : • Bir başlangıç noktası olup sonsuza giden noktalar kümesidir. • [AB AB ışını

7. 6. Yarı Doğru: • [AB ışınından A noktasının çıkarılması ile elde edilen kümeye AB yarıdoğrusu denir. • ]AB sembolüyle gösterilir. • Doğrusal nokta kümelerinin gösterimi • [AB]: A ve B noktaları dahil. • [AB[: A noktası dahil, B noktası dahil değil • ]AB[: A ve B noktaları dahil değil

8. AÇILAR • Başlangıç noktaları ortak iki ışının birleşimine açı denir. • şekilde [AC ve [AB ışınının oluşturduğu açı BAC açısıdır. • [ABÈ[AC = BAC açısıdır.BAC, CAB olarak veya A ilegösterilir.[AB ve [AC ışınları açının kenarları,A noktası açının köşesidir. • Açı yazılırken açının köşesi olan nokta ortada yazılır.

9. 1. Açının Ölçüsü • [AB ile [AC arasındaki açıklığın ifadesine açının ölçüsü denir. BAC açısının ölçüsü a dır.m(BAC) = a veya m(A) = a olarak gösterilir.ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.

10. 2. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler • Bir açı düzlemi üç bölgeye ayırır. a. Açının kendisi[AB ve [AC ışınları.b. İç bölge (taralı alan)c. Dış bölge

11. 3. Açı ölçü birimleri • Açı ölçüsü birimi olarak genelde derece kullanılır. Dereceden başka Grad ve Radyan birimleri de kullanılır. Açı ölçüsü birimleri arasında, • 360° = 400 G(grad) = 2 (radyan) eşitliği vardır. • Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülmesi ile elde edilen açı 360° dir. • Derecenin alt birimleri • 1° = 60' (dakika)1' = 60" (saniye) 1° = 3600" dir.

12. 4. Ölçülerine göre açılar • a. Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılara dar açı denir. • b. Ölçüsü 90° olanaçılara dik açı denir • c. Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açılara geniş açı denir. • d. Ölçüsü 180° olan açılara doğru açı denir. • e. Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.

13. 5. Komşu açılar • Köşeleri ve birer ışınları ortak olan, iç bölgesi ortak olmayan açılara komşu açılar denir.CAD ile DAB komşu açılardır.

14. 6. Açıortay • Açıyı iki eşit parçaya bölen ışına açıortay denir.[AD, CAB açısının açıortayıdır.Açıortay üzerinde alınan her noktanın açının kollarına olan dik uzaklıkları eşittir.

15. 7. Tümler açı • Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir. • m(CAD)+m(DAB)=90° • a+b=90° • a açısının tümlerinin ölçüsü (90° – a) dır. • Komşu tümler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ülçüsü 45° dir. • [OA] ^ [OB]m(KOL) = 45°

16. 8. Bütünler açı • Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir. • m(DAB)+m(CAD)=180° x+y=180° • x açısının bütünlerinin ölçüsü (180° – x) dir. • Komşu bütünler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ölçüsü 90° dir. • m(KOL) = 90°

17. 9. Ters Açılar • Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan komşu olmayanlara ters açılar denir. • Ters açıların ölçüleri eşittir. m(x)=m(z) ve m(t)=m(y) dir.

18. a. Yöndeş açılar • d1 // d2 ise Yöndeş açıların ölçüleri eşittir. • m(a) = m(x) ; • m(b) = m(y) • m(c) = m(z) ; • m(d) = m(t)

19. b. İçters açılar • d1 // d2 ise a ile z ve b ile t içters açılarıdır. • İçters açıların ölçüleri eşittir. • m(a) = m(z); m(b) = m(t)

20. Dışters açılar • d1 // d2 ise Dışters açıların ölçüleri eşittir. • m(c)=m(x) • m(d)=m(y)

21. d. Karşı durumlu açılar • d1 // d2 ise Karşı durumlu açıların toplamı 180° dır. • m(a) + m(t) = 180°; m(b) + m(z)=180° • Karşı durumlu açıların açıortayları arasındaki açının ölçüsü 90° dir.

22. e. Birden fazla kesenli durumlar • d1 // d2 ise B noktasından d1 ve d2 doğrularına paralel çizersek m(ABC) = a + b olur. • B noktasından paralel çizersek m(ABD) + x = 180° m(DBC) + z = 180° buradan x + y + z = 360° dir.

23. f. Paralel doğrular arasındaki ardışık zıt yönlü açılar • d1 // d2 ise a + b + c = x + y olur. Bu tür soruları kırılma noktalarından paralellerçizerek de çözebiliriz.

24. g. Kolları paralel ve kolları dik açılar • Açıları oluşturan ışınlar aynı yönde ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.Açıları oluşturan ışınlar zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.Açıları oluşturan ışınlardan biri aynı diğeri zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüleri toplamı;a + b = 180° olur.Kenarları birbirine dik karşılıklı iki açının ölçüleri toplamı a + b = 180° olur.Kenarları şekildeki gibi birbirine dik açıların ölçüleri eşittir.

25. ÜÇGEN • Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. • AB] U[AC]U [BC] = ABC dir.  Burada;  A, B, C noktaları üçgenin köşeleri,[AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. • BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır.  |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir. iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir.   • ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin kendisi,iç bölge, dış bölge, olmak üzere üç  bölgeye ayırır.  ABC U {ABC iç bölgesi} = (ABC) (üçgensel bölge)

26. a. Çeşitkenar üçgen • Üç kenar uzunlukları da farklı olan üçgenlere denir.

27. b. ikizkenar Üçgen • Herhangi iki kenarının uzunluğu eşit olan üçgenlere denir.

28. c. Eşkenar Üçgen • Üç kenar uzunluğu da eşit olan üçgenlere denir.

29. 2. Açılarına göre üçgenler • a. Dar açılı üçgen  • Üç açısının ölçüsü de 90° den küçük olan üçgenlere dar açılıüçgen denir.b. Dik açılı üçgen  • Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit olan üçgenlere denir. Dik üçgen olarak adlandırılır.c. Geniş açılı üçgen  • Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere denir.Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir.

30. ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI  ELEMANLARI • Üçgenin kenarları’ na ve açıları’ na temel elemanlar, Yükseklik, kenarortay ve açıortaylarına yardımcı elemanlar denir. • 1. Yükseklik  • Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir. • ha  a kanarına ait yükseklik. • hc c kenarına ait yükseklik yüksekliklerin kesim noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir. 

31. AÇIORTAY VE KENARORTAY 2. Açıortay • Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayıdenir. • nA A köşesine ait iç açıortay   n'A A köşesine ait dış açıortay  • 3. Kenarortay • Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir. |AD| = Va , |BE| = Vb  olarak ifade edilir.  • Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. |BC| = a (hipotenüs) 

32. ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ • 1. Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı180° dir. [AD // [BC] olduğundan,iç ters ve yöndeş olan açılar bulunur.a + b + c = 180° • m(A) + m(B) + m(C) = 180° Üçgenin iç açılarının toplamı180° dir. • İç açılara komşu ve bütünler olan açılara dış açı denir.

33. ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ • 2. Üçgende dış açıların ölçüleritoplamı 360° dir. a' + b' + c' = 360° m(DAF)+m(ABE)+m(BCF)=360°

34. ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ • 3. Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. [AB] // [CE olduğundan • m(ACD)=a+b  • m(DAC) = m(A') = b + c • m(DBE) = m(B') = a + c • m(ECF) = m(C') = a + b • Yandaki şekilde a, b, c bulundukları açıların ölçüleri ise,  m(BDC) = a+b+c

35. ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ • 4. iki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen denir.ABC üçgeninde:  lABl=lACl ise m(B)=m(C)  • Burada A açısına ikizkenar üçgenin tepe açısı, [BC] kenarına ise tabanı denir. • Tepe açısına m(BAC) = a dersek • Taban açıları m(B)=m(C)

36. EŞKENAR ÜÇGEN • 5. Üç kenarıeş olan üçgene eşkenar üçgen denir. ABC üçgeninde |AB| = |BC| = |AC| m(A) = m(B) = m(C) = 60° Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin bütün özelliklerini taşır.

37. ÜÇGENDE AÇIORTAYLAR

38. 1. Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin içteğet çemberinin merkezidir.Açıortayların kesiştiği noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir. (Çemberin yarıçapı)

39. 2. Üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin dıştan teğet çemberlerinden birinin merkezidir. (Üç dış teğet çember vardır.)[AD], [BD] ve [CD] açıortaylarından herhangi ikisi verildiğinde üçüncüsü de kesinlikle açıortaydır.

40. 3. iki iç açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninde ve BDC üçgeninde iç açılar toplamı  yazılırsa

41. 4. iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninin dış açılar toplamı ve BDC üçgeninin iç açılar toplamını yazarsak

42. 5. Bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı, ABC üçgeninin C açısının dış açıortayı ile B açısının iç açıortayı arasındaki açının ölçüsü A açısının ölçüsünün yarısıdır. • Burada D noktası dış teğet çemberlerden birinin merkezi olduğundan, A dan çizilen dış açıortayda D noktasından geçer.

43. 6. Açıortayla yükseklik arasında kalan açı; ABC üçgeninde [AD] A açısına ait açıortay ve [AH] yüksekliktir. Açıortayla yükseklik arasındaki açıya m(HAD) = x dersek •  Bir açı ve açıortayını başka bir doğrunun kestiği durumlarda dış açı özelliği kullanılarak bütün açılar bulunabilir.

44. AÇI KENAR BAĞINTILARI • 1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür. ABC  üçgeninde  m(A) > m(B) > m(C)                                 a  >     b     >      c • Terside geçerlidir. Uzun kenarı gören açı kısa kenarı gören açıdan daha büyüktür. • İkizkenar üçgenden de bildiğimiz gibi eşit açıların karşılarındaki kenarlar eşittir. • m(B) = m(C) => |AB| = |AC| • m(A) < m(B) = m(C) ise|BC| < |AB| = |AC| olur.

45. AÇI KENAR BAĞINTILARI • 2. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük farkının mutlak değerinden büyüktür. • ABC üçgeninde lb - c l <a < (b + c) Diğer kenarlar için de aynı durum geçerlidir.|a – c| < b < (a + c) ve |a – b| < c < (a + b) olur.

46. AÇI KENAR BAĞINTILARI • 3. Dik, dar ve geniş açılı üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiler. • a. Bir dik üçgende kenarlar arasında a^2 = b^2 + c^2 bağıntısı vardır. • b. Dar açılı üçgen b ve c sabit tutulup A açısı küçültülürse a da küçülür. m(A) < 90° a^2 < b^2 + c^2 • c. Geniş açılı üçgen  b ve c sabit tutulup A açısı büyütülürse a da büyür. m(A) < 90°  a^2 > b^2  + c^2

47. AÇI KENAR BAĞINTILARI • 4. Çeşitkenar bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunluklarının sıralanması, |AH| = ha ; yükseklik • |AN| = nA ; açıortay • |AD| = Va ; kenarortay ha< nA <Va

48. AÇI KENAR BAĞINTILARI • 5. Çeşitkenar bir üçgende, açı, açıortay, kenarortay ve yükseklik arasındaki sıralama; • ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunluklarıdır. m(A) > m(B) > m(C) olduğuna varsayalım. Bu durumda üçgende kenarlar :  a > b > c • yükseklikler :     ha < hb < hc • Açıortaylar :     nA < nB < nC • Kenarortaylar : Va < Vb < Vc • şeklinde sıralanırlar. Yani üçgenin yardımcı elemanları kenarlarının sırasına ters olarak sıralanır. •  Eşkenar ve ikizkenar üçgen için bu sıralamalar geçerli değildir.

49. AÇI KENAR BAĞINTILARI • 6. Bir kenarları ortak olan içiçe iki üçgenden içtekinin çevresi daha küçük olur.  |BD| + |DC| < |AB| + |AC| • ABCD bir dörtgen, a, b, c, d kenar uzunlukları [AC] ve [BD] köşegenlerdir. • ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı, köşegenlerin uzunlukları toplamından küçüktür. a + c < |AC| + |BD| ve b + d < |AC| + |BD| • köşegen uzunlukları toplamı çevreden daha küçük ve çevrenin yarısından daha büyük olmak zorundadır. • İç içe şekillerde içteki şeklin çevresi daha küçük olacağından • |DA| + |AB| + |BC|toplamı |DE| + |EF| + |FC| toplamından daha büyüktür. 

50. AÇI KENAR BAĞINTILARI • 7. ABC üçgeninin içindeki herhangi bir P noktası için; • Eğer ABC üçgeninin çevresi verilirse • Eğer ABC üçgeninin kenar uzunlukları (a,b,c) ayrı ayrı verilirse