Modelowanie – Analiza – Synteza

1. Nadawanie pożądanych cech systemowi Badanie cech systemu Ustalenie cech systemu Teoria sterowania – dziedzina wiedzy zajmująca się metodami analizy systemów sterowania (metodologiami badania cech systemów sterowania) oraz syntezy praw sterowania (metodologiami konstruowania struktur i algorytmów sterowników/regulatorów) Szerzej widziana treść teorii sterowania Modelowanie – Analiza – Synteza

2. Obiekt sterowany Układ sterujący Sterowanie to celowe oddziaływanie czegoś/kogoś na coś/kogoś Coś co celowo oddziałuje – układ sterujący Coś na co wywierane jest celowe oddziaływanie – obiekt sterowany Celowe oddziaływanie ukierunkowane jest na ociągnięcie pożądanego zachowania się obiektu sterowanego Połączenie - układ sterujący oraz obiekt sterowany tworzysystem sterowania System sterowania

3. Teoria sterowania – „pracuje” na modelach systemów dynamicznych Klasycznateoria sterowania bazuje na modelach wejście – wyjście: - równania różniczkowe wiążące zmienne wejściowe i wyjściowe - transmitancje - …… Współczesna teoria sterowania bazuje na modelach przestrzeni stanu Powody: - jednolitość podejścia do układów liniowych i nieliniowych - jednolitość podejścia do układów jedno i wielowymiarowych - wgląd we „wnętrze” systemu

4. Teoria sterowania – traktuje elementy układu sterowania jak i sam system sterowania jako system System: Klasyfikacje: - Liniowy - nieliniowy - Stacjonarny - niestacjonarny

5. Klasyfikacje: c.d. - Jednowymiarowy (SISO) – wielowymiarowy (MIMO) Klasyfikacja w odniesieniu do liczby zmiennych wejścia - wyjścia - Czasu ciągłego – czasu dyskretnego Klasyfikacja w odniesieniu charakteru sygnałów wejścia i wyjścia - Otwarty – zamknięty (ze sprzężeniem zwrotnym) Klasyfikacja rozstrzygająca, czy układ sterujący otrzymuje informację o wyjściu obiektu sterowanego

6. Przygotowanie do teorii sterowania w przestrzeni stanu Rozpoczniemy od: Systemów liniowych stacjonarnych Przygotowanie do teorii sterowania w przestrzeni stanu oznacza wskazanie !!! wyników z zakresu przedmiotu Systemy Dynamiczne, wykorzystywanych w przedmiocie Teoria Sterowania

7. Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe • W dziedzinie czasu relacja pomiędzy wejściem a wyjściem systemu liniowego stacjonarnego może być często opisana za pomocą: •  system ciągły – równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach • system dyskretny – równania różnicowe liniowe o stałych współczynnikach System ciągły; model wejście - wyjście: System dyskretny; model wejście - wyjście:

8. Modele przestrzeni stanu System ciągły; model przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania

9. System dyskretny; model przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania

10. System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) - odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Równanie stanu - różniczkowe : Rozwiązanie: Składowa swobodna Składowa wymuszona

11. Składowa swobodna – rozwiązanie równania jednorodnego, rozwiązanie ogólne Rozwiązanie ogólne – rozwiązanie równania jednorodnego: gdzie

12. Składowa wymuszona – rozwiązanie równania niejednorodnego, rozwiązanie szczególne Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego: Podsumowując – odpowiedź stanu Składowa wymuszona Składowa swobodna Składowa przy zerowym wymuszeniu (Zero Input ZI) Składowa przy zerowym stanie początkowym (Zero State ZS)

13. Równanie wyjścia - algebraiczne: Odpowiedź wyjścia - policzymy podstawiając odpowiedź stanu Podsumowanie:

14. Kluczowy problem przy korzystaniu z tego rozwiązania – obliczenie - macierz tranzycjistanu, macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego Dodatek A: przykłady korzystania z I sposobu

15. II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej s

16. Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać Dodatek B: przykłady korzystania z II sposobu

17. Związki opisu w przestrzeni stanu z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja przejścia - transmitancja Funkcja tranzycji stanu

18. Otrzymujemy: Dodatek C: przykład obliczania transmitancji odpowiadającej danemu opisowi w przestrzeni stanu

19. System dyskretny; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Będziemy przyjmowali: I sposób: Rozwiązanie równania stanu w postaci rekursywnej:

20. W ogólnej postaci: Macierz tranzycji stanu: Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy Porównanie odpowiedzi stanu Składowa wymuszona Składowa swobodna

21. Odpowiedź wyjścia:

22. II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej z (zmiennej zespolonej) Określenie transformacji z: lub z zastrzeżeniem, że transformata z istnieje tylko wtedy, gdy istnieje pewne z dla którego szereg z definicji jest zbieżny

23. Korzystając z własności transformaty z możemy dokonać transformacji dyskretnego równania stanu i znaleźć jego odpowiednik w dziedzinie zmiennej z otrzymamy Ostatnie równanie może być rozwiązane względem transformaty X(z) Wprowadzając oznaczenie Możemy to rozwiązanie zapisać w postaci

24. Równanie wyjścia w dziedzinie zmiennej z

25. Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać

26. Dla skorzystania z tej ostatniej zależności potrzebna jest umiejętność przeprowadzania transformacji odwrotnej Z, czyli znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania Transformacja odwrotna znajduje tylko wartości funkcji w chwilach próbkowania, ale nie umożliwia znalezienia okresu próbkowania Wartości funkcji w chwilach próbkowania – sekwencji wartości, praktycznie znajduje się wykorzystując:  dzielenie wielomianów  rozkład na ułamki Dodatek D – przykład znajdowania odpowiedzi układu dyskretnego przez dzielenie wielomianów

27.  rozkład na ułamki Metoda prawie identyczna to metody używanej w odwrotnej transformacji Laplace’a Ponieważ większość funkcji z ma składnik z w liczniku, jest czasem dogodniej przeprowadzać rozkład na ułamki proste dla F(z)/z niż dla F(z) Procedura 1. znaleźć rozkład na ułamki proste F(z)/z lub F(z) 2. określ odwrotną transformatę f[k] korzystając z tablic transformat Dodatek E – przykłady znajdowania odpowiedzi układu dyskretnego przez rozkład na ułamki proste

28. Wyprowadziliśmy uprzednio równanie stanu i równanie wyjścia dla systemu dyskretnego Odwrotna transformacja Z wyprowadzonych równań

29. Dla warunku początkowego Funkcja przejścia - transmitancja Wejście Wyjście Transmitancja systemu dyskretnego Transformata wyjścia systemu dyskretnego

30. Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu

31. Dodatek A

32. Przykład 1: Model części mechanicznej silnika prądu stałego, przy zaniedbaniu dynamiki obwodu twornika, wpływu na ten odwód obwodu wzbudzenia i pominięciu momentu obciążenia zewnętrznego można zapisać Przyjmując: otrzymamy Przyjmijmy dla uproszczenia rachunków: oraz

33. Policzmy potęgi A:

34. Korzystamy z definicji Czasem nie ma potrzeby liczenia granicy szeregu Przykład 2:

35. Policzmy potęgi A:

36. Szereg potęgowy zawiera skończoną liczbę wyrazów

37. Wynik ten można uogólnić na dowolne n

38. Dodatek B

39. Przykład 3: macierz dołączona wyznacznik

40. Otrzymujemy:

41. Rozkład na ułamki proste elementów macierzy Podobnie

42. Otrzymujemy Ostatecznie macierz tranzycji

43. Przykład 4: Policzymy odpowiedzi układu przy zadanych warunkach początkowych na jednostkowe wymuszenie skokowe Policzmy najpierw:

44. Stąd: Stąd bezpośrednio:

45. Dla podanych warunków początkowych składowa swobodna odpowiedzi stanu i wyjścia :

46. Dla skokowego jednostkowego wejścia transformata Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi stanu i wyjścia (w dziedzinie zmiennej s)

47. Dla skokowego jednostkowego wejścia składowa wymuszona odpowiedzi stanu i wyjścia Pełna odpowiedź stanu i wyjścia

48. Dodatek C

49. Przykład 5: Transmitancja układu z przykładu 4: Odpowiedź impulsowa:

50. Dodatek D