Prądy sinusoidalne

1. Prądy sinusoidalne Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki Paweł Jabłoński

2. Co było do tej pory? • Zajmowaliśmy się obwodami liniowymi i nieliniowymi prądu stałego. • Wprowadziliśmy niezbędne pojęcia: prąd, natężenie prądu, napięcie, rezystancja. • Podaliśmy także opis elementów obwodu: rezystora, cewki, kondensatora i źródeł napięcia i prądu. • Podaliśmy metody rozwiązywania obwodów prądu stałego (liniowych i nieliniowych).

3. Na tym wykładzie Cel: Zapoznanie się z prostymi obwodami prądu sinusoidalnie zmiennego. Zakres: • Przebiegi sinusoidalne • Wskazy • Związki między prądem i napięciem na rezystorze, cewce i kondensatorze • Impedancja, admitancja, kąt fazowy • Analiza prostych obwodów

4. Przebieg sinusoidalny 1 Po co nam prądy sinusoidalne? • W praktyce spotyka się zarówno napięcia stałe (np. 1,5 V baterii, 5 V zasilacza, 12 V akumulatora) jak i sinusoidalne (np. 230 V w gniazdku instalacji sieciowej). • Prądy sinusoidalne są łatwo wytwarzane przez generatory z elementami wirującymi. • Prądy sinusoidalne można transformować na wyższe i niższe napięcia za pomocą transformatorów.

5. T Im t ωt −α i(t) –Im Prąd sinusoidalny • Najogólniejszy prąd sinusoidalny ma postać gdzie: i – wartość chwilowa, Im – wartość maksymalna (amplituda), T – okres, α – kąt fazowy. • Wartości i(t) zmieniają się w czasie sinusoidalnie. • Wartości i(t) powtarzają się po upływie okresu T.

6. Prąd sinusoidalny i t

7. Częstotliwość • Odwrotność okresu nazywamy częstotliwością • Jednostką częstotliwości jest Hz (herc, 1/s). • Liczbowo częstotliwość jest równa ilości okresów w jednej sekundzie. • Na przykład, 50 Hz oznacza, że wszystkie wartości funkcji powtarzają się kolejno 50 razy w ciągu sekundy.

8. Pulsacja • Bardzo często używa się terminu pulsacja. Jest to częstotliwość pomnożona przez kąt pełny • Jednostką pulsacji jest rad/s. • Zapis funkcji sinusoidalnej jest wtedy bardziej zwięzły:

9. Skutki cieplne • W celu oceny skutku cieplnego przepływu prądu okresowego i(t) zauważmy, że prąd stały I płynąc przez rezystor o rezystancji R przez czas t wydziela energię cieplną w ilości • Dowolny prąd i wydzieli w „niewielkim” czasie Δt energię • Przechodząc do infinitezymalnego przedziału czasu, dostaniemy • Po scałkowaniu za okres otrzymujemy

10. i2 t i Wartość skuteczna • Zastępczy prąd stały I wywołujący takie same skutki cieplne jak prąd okresowy i nazywamy wartością skuteczną przebiegu okresowego i. • Z określenia tego otrzymujemy równanie a stąd wartość skuteczna wynosi Dla sinusoidy

11. Pomiar prądu sinusoidalnego • Co wskaże amperomierz w przypadku prądu sinusoidalnego? Wartość maksymalną? Skuteczną? Wartości chwilowe? Zero? • W większości mierników będzie to wartość skuteczna. • Niektóre mierniki wskazują wartość średnią (dla prądu sinusoidalnego będzie to zero).

12. Parametry przebiegu sinusoidalnego • Im – wartość maksymalna (amplituda), • i – wartość chwilowa, • I – wartość skuteczna, • T – okres, • f – częstotliwość, • ω – pulsacja, • α – kąt fazowy.

13. Wskazy 2 Sinusoida – interpretacja geometryczna • Z zależności na prąd sinusoidalny mamy • Wartość chwilowa i(t) jest rzutem na oś Oy odcinka o długości Im wychodzącego z początku układu współrzędnych pod kątem ωt + α do osi Ox.

14. Wirujący wskaz • Wraz z upływem czasu odcinek ten wiruje wokół początku układu współrzędnych. • Ten wirujący odcinek nazywać będziemy wirującym wskazem przebiegu sinusoidalnego. • Sinusoida jest w pełni określona przez jej wirujący wskaz.

15. Suma sinusoid i ich wskazy • Rozpatrzmy sumę dwóch sinusoid: • Wypadkowa funkcja też jest sinusoidą. • Każda z tych trzech sinusoid ma swój wirujący wskaz. • Mimo wirowania, wskazy zachowują względem siebie ustalone położenie. i1(t) = Im1sin(ωt + α) i2(t) = Im2sin(ωt + β) i1(t) + i2(t) = Imsin(ωt + γ) Wniosek: zamiast wirujących wskazów można rozpatrywać ich „fotografię” w pewnej chwili, tzn. wskazy nieruchome.

16. Im I –α ωt i I α Wskaz wielkości sinusoidalnej • Każdemu przebiegowi sinusoidalnemu przyporządkowujemy wskaz. • Długość wskazu jest równa amplitudzie Im lub wartości skutecznej I. • Wskaz rysujemy pod kątem równym kątowi fazowemu α sinusoidy (względem osi odniesienia – zwykle jest to oś pozioma).

17. I2 I β I1 γ α Dodawanie wskazów • Aby dodać dwie sinusoidy o wartościach skutecznych I1 i I2 oraz kątach fazowych α i β, korzystamy z konstrukcji graficznej dla ich wskazów. • Rysujemy wskazy obydwu sinusoid. • Wskaz ich sumy powstaje jako geometryczna (wektorowa) suma wskazów I1 i I2. i1(t) = Im1sin(ωt + α) i2(t) = Im2sin(ωt + β) i1(t) + i2(t) = Imsin(ωt + γ)

18. Dodawanie wskazów – wnioski • Z konstrukcji tej otrzymujemy: • Wnioski: • w ogólności I ≠ I1 + I2. Wolno dodawać tylko wskazy, a nie wartości skuteczne. • Przebiegi sinusoidalne wygodnie sumuje się za pomocą wskazów. i1(t) = Im1sin(ωt + α) i2(t) = Im2sin(ωt + β) i1(t) + i2(t) = Imsin(ωt + γ) I2sin(β−α) I2 I β–α I2cos(β−α) β I1 γ α

19. Elementy RLC 3 Elementy obwodu prądu sinusoidalnego • Typowy obwód prądu sinusoidalnego zawiera: • Rezystory (element pasywny czynny), • Cewki (element pasywny bierny), • Kondensatory (element pasywny bierny), • Elementy źródłowe, tj. źródła napięcia i prądu sinusoidalnego (elementy aktywne).

20. Źródło napięcia i źródło prądu • Źródła napięcia zmiennego będziemy oznaczać tak jak stałego, lecz bez symboli „+” i „−”. • Strzałka napięcia sinusoidalnego wskazuje wyższy potencjał dla dodatnich chwilowych wartości napięcia. • Strzałka prądu sinusoidalnego wskazuje kierunek ruchu ładunków dodatnich dla dodatnich wartości chwilowych prądu.

21. R i u u i t Rezystor • Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla rezystora liniowego zachodzi zależność • Jeżeli to • Wniosek: prąd i napięcie rezystora są w fazie.

22. R i u ω u i U I t α Rezystor dla prądu sinusoidalnego • Prąd i napięcie są w fazie, tzn. mają ten sam kąt fazowy. • Wskazy prądu i napięcia są równoległe.

23. L i u u i t Cewka • Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla cewki liniowej zachodzi zależność • Jeżeli to • Wniosek: napięcie wyprzedza prąd o 90°.

24. L i ω u u U I i t α Cewka dla prądu sinusoidalnego • Prąd spóźnia się za napięciem o 90°, czyli napięcie wyprzedza prąd o 90°. • Wskazy napięcia i prądu są prostopadłe, przy czym wskaz prądu spóźnia się za wskazem napięcia o 90°.

25. Reaktancja indukcyjna • Wielkość nazywamy reaktancją indukcyjną albo oporem biernym indukcyjnym. • Reaktancję wyraża się w omach. • Zależność pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i napięcia na cewce ma postać (prawo Ohma dla cewki) • Często zamiast indukcyjności L podaje się reaktancję XL.

26. XL XL ω Reaktancja indukcyjna a częstotliwość • Reaktancja indukcyjna zależy od częstotliwości prądu płynącego przez cewkę. • im większa częstotliwość tym większa reaktancja cewki (tym większy opór stawia), • dla prądu stałego (ω = 0) cewka stanowi zwarcie, gdyż wtedy XL = 0, • dla bardzo dużych częstotliwości cewka stanowi praktycznie przerwę (wykorzystuje się to do tłumienia prądów o dużych częstotliwościach).

27. i C u u i t Kondensator • Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla kondensatora liniowego • Jeżeli to • Wniosek: napięcie spóźnia się za prądem o 90°.

28. i C u u i ω I t α U Kondensator dla prądu sinusoidalnego • Prąd wyprzedza napięcie o 90°, czyli napięcie spóźnia się za prądem o 90°. • Wskazy napięcia i prądu są prostopadłe, przy czym wskaz prądu wyprzedza wskaz napięcia o 90°.

29. Reaktancja pojemnościowa • Wielkość nazywamy reaktancją pojemnościową albo oporem biernym pojemnościowym. • Reaktancję wyraża się w omach. • Zależność pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i napięcia ma postać (prawo Ohma dla kondensatora) • Często zamiast pojemności C podaje się reaktancję XC.

30. XC XC ω Reaktancja poj. a częstotliwość • Reaktancja pojemnościowa zależy od częstotliwości napięcia na zaciskach kondensatora. • im większa częstotliwość tym mniejsza reaktancja kondensatora (tym mniejszy opór stawia), • dla prądu stałego (ω = 0) kondensator stanowi przerwę, gdyż wtedy XC = ∞, • dla bardzo małych częstotliwości kondensator stanowi praktycznie przerwę (wykorzystuje się to do tłumienia napięć o małych częstotliwościach).

31. U U I I I U Elementy RLC – podsumowanie R L C

32. Reguła CIUL • W przyswojeniu co za czym się spóźnia, jeśli chodzi o cewkę i kondensator, pomocna może być reguła mnemotechniczna zwana CIUL. • Czytając pierwsze trzy litery od początku: dla C mamy I potem U, • Czytając ostatnie trzy litery od końca: dla L mamy U potem I. • Czytając całość od początku: … teraz już chyba zapamiętacie!

33. Impedancja 4 i Dwójnik u U β I α ω Prąd i napięcie sinusoidalne • Jeżeli przez liniowy dwójnik płynie prąd sinusoidalny, to napięcie na jego zaciskach jest również sinusoidalne. • W ogólności dla dowolnego dwójnika liniowego mamy • Dla każdego takiego dwójnika możemy narysować wykres wskazowy. • Wykres ten w pełni określa wartości chwilowe prądu i napięcia.

34. i Dwójnik pasywny u U β I α ω Moduł impedancji • Modułem impedancji dwójnika pasywnego (lub niezbyt precyzyjnie – impedancją), nazywamy iloraz wartości skutecznej napięcia do wartości skutecznej prądu • Jest to uogólnienie pojęcia rezystancji na przypadek prądów sinusoidalnych. • Jednostką impedancji jest 1 om (1 Ω), czyli tak jak rezystancji.

35. i Dwójnik pasywny u U β I α ω φ = β – α Kąt fazowy dwójnika (odbiornika) • Kątem fazowym dwójnika nazywamy różnicę pomiędzy kątami fazowymi napięcia i prądu • Kąt fazowy jest kątem pomiędzy wskazami napięcia i prądu. • Kąt fazowy dwójnika pasywnego zawiera się od −90° do 90°. • Kąt ten jest dodatni, gdy napięcie wyprzedza prąd, zaś ujemny, gdy napięcie spóźnia się za prądem.

36. i Z, φ u U β I α ω φ = β – α Prąd, napięcie, impedancja i kąt fazowy • Jeżeli dwójnik pasywny o danym module impedancji Z i kącie fazowym φ zasilimy napięciem sinusoidalnym to popłynie prąd

37. 90° −90° U U I I I U Elementy RLC – impedancja R L C

38. Susceptancja • Odwrotność reaktancji nazywa się susceptancją • Jednostką susceptancji jest 1 simens (1 S).

39. Admitancja • Modułem admitancji nazywamy odwrotność modułu impedancji • Jest to uogólnienie pojęcia konduktancji. • Jednostką admitancji jest 1 simens (1 S).

40. 90° −90° U U I I I U Elementy RLC – podsumowanie R L C

41. Nowe pojęcia • Wielkości omowe: • RezystancjaR (resistere – opierać się), opór czynny - opór stawiany prądowi przez rezystor, • ReaktancjaX (reagere – reagować), opór bierny – opór stawiany prądowi przez cewkę lub kondensator. • ImpedancjaZ (impedere – zawadzać), opór pozorny – opór wypadkowy stawiany przez dwójnik pasywny. • Wielkości simensowe: • KonduktancjaG (conducere – prowadzić, przewodzić), przewodność czynna – odwrotność rezystancji. • SusceptancjaB (suscipere – popierać), przewodność bierna – odwrotność reaktancji. • AdmitancjaY (admittere – pospieszać), przewodność pozorna – odwrotność impedancji.

42. i Dwójnik u U φ I Impedancja i kąt fazowy • Każdy dwójnik pasywny charakteryzuje się: • modułem impedancji Z = U/I, • kątem fazowym φ. • Moduł impedancji jest nieujemną liczbą rzeczywistą. • Kąt fazowy przyjmuje wartości z zakresu od −90° do +90°. • Wartości te są niezależne od wartości skutecznej prądu i napięcia dwójnika, ale zależą od częstotliwości. • Wartości te są określone jedynie dla przebiegów sinusoidalnych.

43. Z X φ R Trójkąt impedancji • Narysujemy trójkąt prostokątny o kącie φ i przeciwprostokątnej Z. • Przyprostokątne wyrażają się wzorami oraz zachodzą związki. • Jest to tzw. trójkąt impedancji. Każdy dwójnik pasywny charakteryzuje się zatem pewną rezystancją R i reaktancją X. Dwójnik Z, φ

44. Szeregowe gałęzi RL i RC 5 Metoda klasyczna • Za pomocą wskazów można rozwiązywać proste obwodu prądu sinusoidalnego. • Metoda taka nazywa się klasyczną. • Polega ona na budowaniu wykresu wskazowego w oparciu o zależności wiążące prąd i napięcie na poszczególnych elementach.

45. R i uR uL u C uC R I UR UL XL U XC UC Przykład – szeregowa gałąź RLC • Rozważmy szeregową gałąź RLC zasilaną napięciem • Rysujemy obwód dla wartości skutecznych. • Załóżmy, że znamy prąd I. Napięcia na elementach (wartości skuteczne) są równe • Czy U = UR + UL + UC? NIE – nie wolno dodawać wartości skutecznych! Wolno dodawać wartości chwilowe (u = uR + uL + uC), co odpowiada dodawaniu geometrycznemu wskazów. L

46. UL R U I UR UL XL U φ UR XC I UC UC Szeregowa gałąź RLC – wykres • Dowolnie zaznaczamy wskaz prądu I. • W fazie z nim zaznaczamy wskaz napięcia na rezystorze UR. • Napięcie na cewce wyprzedza prąd o 90°, więc wskaz UL zaznaczamy jako obrócony o +90° względem prądu. • Napięcie na kondensatorze spóźnia się za prądem o 90°, więc wskaz UC zaznaczamy jako obrócony o −90° względem prądu. • Suma wskazów UR, UL i UC daje wskaz napięcia zasilania U. • Pomiędzy wskazami U i I zaznaczamy kąt fazowy φ.

47. UL UR R U I UR UL – UC UL XL U φ UR XC I UC UC Szeregowa gałąź RLC – impedancja • Z wykresu • Stąd moduł impedancji • Kąt fazowy

48. R i uR uL u C uC UL U φ UR I UC Wartości chwilowe • Skoro to • Ponadto

49. R i uR uL u C uC A bez wykresu wskazowego • Oczywiście moglibyśmy nie używać wykresów wskazowych, tylko napisać ogólne równanie wynikające z drugiego prawa Kirchhoffa • Ponieważ to dostajemy • Jest to równanie różniczkowo-całkowe dla i(t). Można je rozwiązać bez wykresu wskazowego, ale metoda z wykresem jest znacznie szybsza i łatwiejsza. Na tym polega jej użyteczność.

50. Wnioski • Obwody prądu sinusoidalnego rozwiązujemy za pomocą wykresów wskazowych. • Dzięki temu unika się rozwiązywania równań różniczkowych. • Nie wolno sumować wartości skutecznych – sumować należy tylko wskazy. Mówimy, że napięcia w oczku oraz prądu w węźle sumuje się geometrycznie. • Wykresy wskazowe konstruuje się w ten sposób, aby: • Wskazy napięcie i prądu rezystora były w fazie, • Wskaz prądu cewki spóźniał się za wskazem napięcia na niej o 90°, • Wskaz prądu kondensatora wyprzedzał wskaz napięcia na nim o 90°.