Técnicas de Análisis aplicadas al estudio de la variabilidad del sistema climático

1. Técnicas de Análisis aplicadas al estudio de la variabilidad del sistema climático Rosa Hilda Compagnucci 2008

2. Autovalores y Autovectores • Uno de los tópicos más difíciles del algebra matricial. • Su dificultad aparece al tratar de desarrollar el significado de estas cantidades especialmente en un sentido intuitivo. • Consideremos la hipótesis de que dada la matriz [A] de coeficientes Aij multiplicada por el vectorXj es igual a  veces el vector Xj [A].[X] = [][X] (1.1) Es necesario encontrar el valor de  que satisfaga (1.1) Resulta igual que resolver: [A].[X] = [B] y [B] = [][X] (1.2) (1.1) pueden ser escrita como: ([A] - [I] ).[X] = [0] (1.3) Donde [I] es  veces la matriz identidad con el mismo tamaño que [A] (1.4) Para una matriz [A] cuadrada de 3x3 es posible escribir (1.3) como: (A11 - ) X1 + A12 X2 + A13 X3 = 0 A21 X1 + ( A22 - ) X2 + A23 X3 = 0 (1.5) A31 X1 + A32 X2 + (A33 - ) X3 = 0

3. Asumamos que hay solución para (1.5) distinta del trivial X = 0 • La solución para el vector [X] es [x] = [0] / |A| |A| . [X] = [0] (1.6)  |A| = 0 | A -  | = 0 autovalores de [A] (1.7) • En el caso de [A] 2x2 se tiene que es cero el determinante A11 -  A12 A21 A22 -  Luego (A11 - ) (A22 - ) – A21 A12 = 0 Que queda como una ecuación al estilo de 2 + 1  + 2 = 0 Para [A] = 17 - 6 | A -  | = (17 - ) (-16 - ) – (-6) (45) = 0 45 -16 2 -  - 2 = 0 Ej(1) por factores  ( - 2) ( + 1) = 0 las soluciones son 1 = +2 2 = -1 Donde 1 y 2 son los autovalores asociados a la matriz [A]

4. Una situación más difícil es [A] igual a: 4 10 aquí la ecuación (1.7) conduce a 10 30 2 – 34  + 20 = 0 no es posible el factoreo Utilizando la solución de las ecuaciones cuadráticas queda como : • = (34   342 -4.1.20) / 2 = (34  1076) / 2 por redondeo 1 = 33.4 y 2 = 0.6 substituyendo en (1.7) el determinante queda = -0.04 lo que significa que estos autovalores dan soluciones aproximadas, no totalmente correctas. • Otra complicación adicional es [A] igual a 2 4 -6 3 La ecuación (1.7) conduce a 2 – 5  + 30 = 0 Las soluciones 1 = 2.5 + 4.9i y 2 = 2.5 – 4.9 i contienen una parte real y una imaginaria

5. Afortunadamente las matrices simétricas siempre tienen autovalores reales y por lo tanto las matrices de correlación, covarianza, o cualquier matriz de similitud que son simétricas, tienen solución real. • Naturaleza de los autovalores La matriz [A] puede ser vista puntos en un espacio n-dimensional [A] = 4 8 dos puntos con coordenadas (4 , 8) y ( 8 , 4) Ej (2) 8 4 pueden usarse las columnas como coordenadas en lugar de las filas sin producir cambios pues [A] es simétrica (se va a trabajar con las filas)

6. Puede pensarse a los dos puntos como en el borde de una elipse con centro en el origen (envolvente de los puntos). • La magnitud de los autovalores 1 = 12 y 2 = -4 representa el largo de los ejes mayor y menor de la elipse como una medida de la “estrechez” de la elipse envolvente. 1º autovalor, el largo de 12 unidades del eje mayor, desde el centro al borde de la elipse 2º autovalor, el eje menor de -4 unidades desde el centro, en la parte negativa del sistema de coordenadas Con [A]= 6 8 los autovalores son Ej(3) 8 6 1 = 14 2 = - 2 El eje mayor se elonga respecto al eje menor que se contrae.

7. Cuando los dos vectores coinciden [A] = 4 8 4 8 La ecuación (1.7) se reduce a 2 – 12  + 0 = 0 con 1 = 12 2 = 0 El eje mayor pasa a través de los dos puntos Que coinciden y el eje menor es cero • Opuestamente cuando los dos vectores son perpendiculares [A] = -4 8 8 4 La ecuación (1.7) queda 2 + 0  -80 = 0 con 1 = +8.95 2 = -8.95 Los dos vectores están inscriptos en un círculo y los ejes son iguales • La suma de los autovalores es siempre igual de la traza de la matriz [A]

8. Autovectores • ([A] - [I] ).[X] = [0] (1.3) Tantos vectores [X] como autovalores i Los vectores [X] obtenidos como solución de (1.3) asociados a cada i son llamados autovectores (vectores principales ó característicos) • Para [A] = 17 - 6 las soluciones son 1 = +2 y 2 = -1 del Ej(1) 45 -16 Autovector asociado con el 1º autovalor  15 X1- 6X2 = 0 soluciones: 45 X1 - 18 X2 = 0 X1 = 2 y X2 = 5 Hay un número infinito de soluciones pues también es solución el vector multiplicado por cualquier constante  Para el 2º autovalor Soluciones: X1 = 1 X2 = 3

9. Significado de los autovectores Los autovalores son 1 = 12 y 2 = -4 Del Ej(2) Substituyendo para obtener los autovectores El 1º autovector puede ser interpretado como la pendiente del eje mayor de la elipse cuyo largo es igual al primer autovalor y con la dirección 1/1= 45º El 2º autovalor es perpendicular al 1º autovector y corresponde al eje monor de la elipse con dirección -1/1=135º y largo igual al 2º autovalor.

10. Para la matriz del Ej(3) Resultan distintos autovalores 1 = 14 y 2 = -2 Para 1 = 14  Para 1 = -2  pero los mismos autovectores (direcciones) que la matriz previa Los autovectores son mutuamente perpendiculares

11. REFERENCIAS: Davis J.C.(1986) Statistics and Data Analysis in Geology. Edts John Wiley & Sons, 656p.