Estudio y representación de funciones

1. Estudio y representación de funciones Matemáticas I

2. Introducción histórica Descartes y Fermat estudiaron en profundidad las curvas y sus ecuaciones, pero las habían tratado como casos individualizados. A partir de ellos, muchos matemáticos a lo largo del siglo XVII se esforzaron en el estudio de las curvas, pero ninguno dio con los elementos que permitían establecer un método general. Newton y Leibniz lo proporcionaron, e introdujeron un tipo de técnicas que permitían estudiar con las mismas herramientas los problemas de física y geometría. Sus avances en el cálculo diferencial e integral posibilitaron un desarrollo de las matemáticas espectacular, cuyo resultado se apreció posteriormente durante los siglos XVIII y XIX. Desde el punto de vista del desarrollo de las matemáticas, les corresponde a estos dos autores la elaboración de un método general y nuevo, que puede aplicarse a muchos tipos de problemas sobre el cálculo algebraico, el infinitesimal y, en general, a toda la geometría analítica. El concepto de función se hizo el eje central de la matemática, sobre todo en el análisis. Su estudio se hizo totalmente indispensable para llevar adelante el desarrollo científico y tecnológico. El nombre de “función” proviene del gran matemático Leibniz, y su estudio más profundo sobre funciones fue estimulado por su interés geométrico de analizar, matemáticamente, los puntos de las curvas donde éstas alcanzan su máximo y su mínimo valor y dar un método general para determinar las rectas tangentes es estos puntos. Estos cálculos se realizan mediante el cálculo de las funciones derivadas y forman parte importante del cálculo diferencial, que se estudia más adelante.

3. Introducción histórica Newton y Leibniz, los dos grandes científicos de finales del siglo XVII y principios del XVIII, vivieron en una Europa caracterizada por la revolución del realismo científico y la explosión cultural del Barroco. Newton, en su obra ”Methodus fluxionum et serierum infiniturum”, introduce su nueva concepción de fluxiones y fluentes al abordar dos problemas; el primero consiste en encontrar la velocidad del movimiento en un tiempo dado cualquiera, dada la longitud del espacio descrito. El segundo problema es la inversa del primero. Disponiendo de su método general, determina los máximos y mínimos de relaciones, las tangentes a curvas, el radio de curvatura, los puntos de inflexión y el cambio de concavidad de las curvas, su área y su longitud. Isaac Newton (1642-1727) Gottfried Leibniz (1646-1716)

4. Justificación • Contexto: Esta unidad se enmarca en el bloque IV (Análisis) de 1º de Bachillerato. • Las funciones nacen de la necesidad de resolver problemas prácticos y se sustentan por su capacidad para tratar, explicar, predecir y modelar situaciones reales y dar rigor a los conocimientos científicos. • Tienen una fuerte conexión con la realidad, debido a su constante interrelación con otras áreas, especialmente en el ámbito de la ciencia y la técnica. • El estudio de las funciones es principalmente estratégico y se manifiesta en tres aspectos: como base conceptual, como instrumento esencial de desarrollo de la Ciencia y la Tecnología y como valor inherente a la propia cultura. • El alumnado debe aprender a apreciar la utilidad de las funciones, sobre todo, su capacidad para dar respuesta a la mayoría de las necesidades humanas. • Los contenidos de esta lección proporcionan técnicas básicas, tanto para estudios posteriores como para la actividad profesional. No se trata de que los estudiantes posean muchas herramientas matemáticas, sino que las manejen con destreza y oportunidad. • Las herramientas tecnológicas, en particular el uso de calculadoras y aplicaciones informáticas, pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensión de conceptos y la resolución de problemas complejos como para el procesamiento de cálculos. • Esta unidad será la base para poder adquirir los conceptos que se estudiarán en lecciones posteriores. Además, contribuye mejorando la adquisición de cualidades como la constancia, la autonomía, la adquisición de nuevos saberes y habilidades y la curiosidad por la investigación.

5. Objetivos • Calcular dominios y recorridos de funciones reales de variable real. • Distinguir correspondencias funcionales de las que no lo son. • Representar gráficamente funciones polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y algunas transformaciones de dichas funciones. • Saber y saber aplicar los conceptos de función par/impar, así como las simetrías correspondientes de sus gráficas. • Saber qué es una función creciente/decreciente, monótona en un intervalo y saber aplicar esos conceptos al análisis de funciones elementales. • Saber qué son funciones periódicas y distinguir su periodo gráficamente.

6. Contenidos • Conceptuales: • Concepto de función. • Dominio e imagen de una función. • Gráficas de funciones polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y algunas transformaciones de dichas funciones. • Simetrías. • Crecimiento y decrecimiento. • Máximos y mínimos. • Funciones periódicas. • Asíntotas.

7. Contenidos • Procedimentales: • Expresión en forma funcional de reglas y relaciones descritas en lenguaje convencional. • Cálculo de dominios y recorridos de funciones. • Distinción entre correspondencias que son funciones y las que no lo son. • Trazado de gráficas de funciones. • Uso de la calculadora para hacer tablas de valores. • Análisis de la paridad de funciones y de la simetría de sus gráficas. • Cálculo de máximos y de mínimos funcionales. • Análisis y representación de funciones periódicas.

8. Contenidos • Actitudinales: • Valoración de la potencia del cálculo de funciones en la resolución de problemas de la vida real. • Reconocimiento del papel de las funciones en el estudio de los cambios de un proceso natural, social o técnico de la realidad. • Receptividad, curiosidad e interés por el planteamiento, la investigación y la resolución de problemas, mediante las características analíticas de las funciones que describen los fenómenos que estudian. • Gusto por la interpretación de problemas de aplicación a casos reales. • Gusto por la limpieza y claridad.

9. Organización de las sesiones • SESIÓN 1: • Prueba inicial. • Motivación. • SESIÓN 2: • Definición de función, dominio y recorrido. • Ejercicio en clase. • Características del comportamiento de las funciones: raíces, monotonía, máximos y mínimos, continuidad, funciones escalonadas, simetrías (par/impar), periodicidad, asíntotas. • Funciones polinómicas. Ejemplo. • Ejercicios en clase y para casa. • Realización de dichos ejercicios en Geogebra.

10. Organización de las sesiones • SESIÓN 3: • Corrección ejercicios de casa. • Funciones racionales. Ejemplo. • Ejercicio en clase y para casa de investigación. • Funciones radicales. Ejemplo. • Ejercicio en clase y para casa. • Realización de dichos ejercicios en Geogebra. • SESIÓN 4: • Corrección ejercicios de casa. • Funciones a trozos. Ejemplo. • Ejercicios en clase y para casa. • Realización de dichos ejercicios en Geogebra.

11. Organización de las sesiones • SESIÓN 5: • Corrección ejercicios de casa. • Algunas transformaciones de funciones. • Simetrías. • Valor absoluto. • Traslaciones. • Dilataciones o contracciones. • Ejercicio en clase y para casa. • Realización de dichos ejercicios en Geogebra. • SESIÓN 6: • Corrección ejercicios de casa. • Funciones exponenciales. • Ejercicios en clase y para casa. • Funciones logarítmicas. • Ejercicios en clase y para casa. • Realización de dichos ejercicios en Geogebra.

12. Organización de las sesiones • SESIÓN 7: • Corrección ejercicios de casa. • Funciones trigonométricas. • Transformaciones de las funciones trigonométricas. • Ejercicios en clase y para casa. • Sesión GeoGebra. • SESIÓN 8: • Corrección ejercicios de casa. • Ejercicios en clase de repaso. • Resolución de dudas previas al examen.

13. Organización de las sesiones • SESIÓN 9: • Examen. • SESIÓN 10: • Revisión del examen. • Ejercicios de refuerzo para el examen de recuperación. • Ejercicios de ampliación para quien quiera subir nota.

14. Prueba inicial I1. Un empresario paga mensualmente a cada empleado 720 € por un determinado trabajo. Además le abona 6 € por cada unidad que produce el empleado durante ese mes. a) Define la función I(n) que da los ingresos de un empleado en función de las unidades producidas n. b) Escribe y representa gráficamente las parejas (n, I(n)), unidades producidas e ingresos correspondientes, en los casos de producir 5, 10 y 15 unidades. c) ¿Para qué valores de n tiene sentido considerar el valor I (n) en el contexto del enunciado?

15. Prueba inicial I2. Un rectángulo tiene 20 cm de perímetro. Encuentra una expresión para el valor del área, A, del rectángulo, en función de la base, x, de dicho rectángulo. a) ¿Cuáles son los valores posibles de la longitud de la base? b) Representa gráficamente la función obtenida para los valores posibles de x. c) A la vista de la gráfica, describe el crecimiento o decrecimiento del valor del área cuando crece la longitud de la base. ¿Para qué valor de ésta se alcanza el mayor área?

16. Prueba inicial I3. Esta curva muestra la audiencia de televisión en España en un día promedio del mes de enero de 2011. a) ¿Cuáles son sus puntos más importantes? Descríbela. b) Cuando se habla de audiencia, se dice que España, al igual que Francia, Italia o Portugal, pertenece al grupo de países “camello” cuyas curvas de audiencia tienen dos “jorobas”. Otros países, como Alemania y Dinamarca, son del grupo dromedario con una sola “joroba”, que se produce alrededor de las 20 h. ¿Qué quieren decir los técnicos cuando hablan de las “jorobas”?

17. Objetivos de la Prueba inicial • Problema 1 • El objetivo de esta tarea es que los alumnos pasen un problema contextualizado al modo algebraico. Después han de transformarlo a una tabla de valores que han de transformar al modo gráfico. Tienen que saber reconocer el dominio de la función tanto en general como para el contexto en el que se sitúa. Los objetivos al pedirles esta tarea del curso anterior son representación de funciones lineales a partir de un contexto, dominio de dichas funciones, contextualizar la función con el enunciado. • Problema 2 • El objetivo de esta tarea es que los alumnos pasen un problema contextualizado al modo algebraico, el cual, también tendrán que contextualizar. Después han de transformarlo a una tabla de valores que han de transformar al modo gráfico. Después deben trabajar en ese modo para llevar la información que da este modo a una descripción verbal. Los objetivos al pedirles esta tarea del curso anterior son representación de funciones cuadráticas a partir de un contexto, dominio de dichas funciones, contextualizar la función con el enunciado. Estudio del crecimiento, decrecimiento y extremos a partir de la gráfica.

18. Objetivos de la Prueba inicial • Problema 3 • El objetivo de esta tarea es que los alumnos conviertan un problema contextualizado y acompañado de una gráfica en una descripción verbal mediante la interpretación de la gráfica dada, es decir, que reconozcan y analicen las funciones que desempeñan los gráficos en la mejor comprensión de los mensajes. Dichos mensajes son interpretación de la información de una gráfica en un contexto, estudio del crecimiento, decrecimiento y máximos relativos a partir de la gráfica.

19. Motivación • Actividad por parejas. Un componente de la pareja corre una vuelta alrededor de la pista de fútbol, y al llegar al punto inicial comienza a medirse las pulsaciones. El otro componente de la pareja anotará las pulsaciones a los: a) 15’’ e) 1’30’’ b) 30’’ f) 2’ c) 45’’ g) 3’ d) 60’’ h) 5’ Una vez obtenidos los datos anteriores, obtened la gráfica que representa el número de pulsaciones en función del tiempo transcurrido. ¿Puedes predecir cuántas pulsaciones tendrás si las contaras al cabo de 1 hora en reposo? Razona tu respuesta. ¿En qué momento de los representados tendrías más pulsaciones?

20. DesarrolloDefinición, dominio y recorrido • Definición de función: Una función f es una relación entre dos conjuntos A y B, de manera que a cada valor del primero, A le hace corresponder un único valor del segundo, B. f: A→B x→f(x) • Dominio de la función: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x. • Recorrido: Es el conjunto de valores que toma la función.

21. DesarrolloDefinición, dominio y recorrido EJERCICIOS PARA CLASE C1. ¿Cuál de estas gráficas son funciones?

22. DesarrolloCaracterísticas del comportamiento de las funciones • Raíces. Puntos de corte con los ejes. • El eje de abscisas es la recta de ecuación y=0. Para hallar los puntos de corte de una función y=f(x) con el eje de abscisas, basta resolver la ecuación f(x)=0. Estos puntos se denominan también raíces. • El eje de ordenadas es la recta de ecuación x=0. El punto de corte de una función con el eje de ordenadas, si existe, es (0,f(0)), ya que cada x puede tener, a lo sumo, una imagen f(x), el corte con el eje OY es, a lo sumo, uno. • Monotonía. • f(x) es creciente en un punto x=a ↔ f(a-h)≤f(a)≤f(a+h) • f(x) es creciente en un intervalo (X1, X2) cuando lo es para todo x entre X1 y X2. • f(x) es decreciente en un punto x=a ↔ f(a-h)≥f(a) ≥f(a+h) • f(x) es decreciente en un intervalo (X1, X2) cuando lo es para todo x de él.

23. DesarrolloCaracterísticas del comportamiento de las funciones • Máximos y mínimos. • f(x) tiene un máximo en un punto x=a↔ f(a-h) ≤f(a) ≥ f(a+h) • f(x) tiene un mínimo en un punto x=a ↔ f(a-h) ≥ f(a)≤f(a+h) • Continuidad. Discontinuidad. Una función f es continua cuando puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Cada vez que sea necesario levantarlo para seguir dibujando se produce una discontinuidad. En todos los puntos en los que f no está definida se produce una discontinuidad, un salto de su gráfica.

24. DesarrolloCaracterísticas del comportamiento de las funciones • Funciones escalonadas. Son funciones definidas a trozos, constantes en cada trozo y discontinuas en los puntos de división de los intervalos. • Simetrías: pares e impares. • Una función es par si f(x)=f(-x) para todo x de su dominio. Las funciones pares son simétricas respecto del eje OY. • Una función es impar si f(x)=-f(-x) para todo x de su dominio. Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas.

25. DesarrolloCaracterísticas del comportamiento de las funciones • Periodicidad. Una función es periódica si hay algún número k tal que f(x+k)=f(x) para todo x. Esto significa que su gráfica se repite cada k unidades. El menor de los valores de k que cumpla esa condición es el periodo de la función. • Asíntotas. Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a pegarse la gráfica de la función; esto es, la curva correspondiente a la función se acerca cada vez más a una recta. Pueden ser verticales, horizontales y oblicuas. Las funciones de la forma P(x)/Q(x), pueden tener asíntotas verticales en aquellos puntos que anulen el denominador (Q(x)=0).

26. DesarrolloFunciones polinómicas • Funciones polinómicas: • Constantes: f(x)=a Se representa mediante una recta horizontal. • Lineales: f(x)=mx+n Se representan mediante una recta de pendiente m que pasa por el punto (0,n). A la función lineal también se le llama función afín. • Cuadráticas: f(x)=ax²+bx+c, a≠0 Se representan mediante parábolas. Sus ejes son paralelos al eje Y. Su vértice es X0=-b/2a. Su forma depende del valor de a: Si a>0, las ramas van hacia arriba. Si a<0, las ramas van hacia abajo. • De proporcionalidad directa: f(x)=kx k indica la razón de proporcionalidad. Su gráfica es la de una recta que pasa por el origen. • Otras: f(x)= El dominio de existencia de las funciones polinómicas es . Si el polinomio es de grado n, tiene a lo sumo n raíces, que son los cortes con el eje de abscisas. Se representan mediante una línea “continua”.

27. DesarrolloFunciones polinómicas Representa gráficamente la función y=-x²+3, estudia su dominio y comportamiento. Dominio:  (por ser un polinomio) Vértice: =0 y=0+3 (0,3) Corte con los ejes: Si x=0 y=3 (0,3) Si y=0 (√6,0),(-√6,0) Monotonía: - Creciente (-∞,0) - Decreciente (0,+ ∞) Extremos relativos: -Máximo (0,3) -No tiene mínimo. Es una función continua. Tiene simetría par f(x)=f(-x)

28. DesarrolloFunciones polinómicas EJERCICIOS PARA CLASE C2. Representa gráficamente las siguientes funciones y estudia su comportamiento: a) y=-2x+7, x Є (1,4] b) y=x²-6x+5 c) y=x²-4, x Є (-∞,2) U (2,+∞) C3. Una persona duda entre comprarse un coche de gasolina o uno de gasóleo. El primero consume, cada 100 km. 12 l. de gasolina a 0,69 €/l. El segundo consume, cada 100 km. 7 l. de gasóleo a 0,42 €/l. y cuesta 3005 € más que el otro modelo. Haz un estudio del gasto total según los kilómetros recorridos y averigua a partir de qué kilometraje resulta más rentable uno que el otro.

29. DesarrolloFunciones polinómicas EJERCICIOS PARA CASA K1. Representa las siguientes funciones y estudia su comportamiento: a) y= x+4 b) y=x²-5x+4 c) y=-2x²+10x-8 K2. La altura de un objeto que es lanzado hacia arriba viene dada por la función h(t)=vt- gt², donde v es la velocidad con la que es lanzado, t el tiempo transcurrido y g la aceleración de la gravedad. Si lanzamos hacia arriba una pelota de tenis a 24,5 m/s: a) ¿Qué altura tiene a los 2 segundos? b) ¿Cuándo vuelve a pasar por la misma altura que en el apartado anterior? c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? d) ¿Cuántos segundos tarda en regresar al suelo? e) Representa su gráfica y, a partir de ella, indica su dominio y recorrido.

30. DesarrolloFunciones racionales • Funciones racionales: Son de la forma P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. La gráfica es una línea “continua” en los intervalos determinados por los puntos que anulan el denominador. Su dominio de existencia es  excepto en los puntos que anulan al denominador Q(x). Si el polinomio del numerador P(x) es de grado n, tiene a lo sumo n raíces, que son los cortes con el eje de abscisas. La gráfica es una línea “continua” en los intervalos determinados por los puntos que anulan al denominador. Si los polinomios P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, al dar valores muy grandes a x la función f(x) se “acerca” la recta y=a/b, donde a es el coeficiente principal de P(x) y b el de Q(x).

31. DesarrolloFunciones racionales Representa gráficamente la función y=3x²/(x²-1), estudia su dominio y comportamiento. Dominio: -{1,-1}, ya que x²-1=0; x²=1; x=√1; x=1 y x=-1 Cortes con los ejes: x=0, y=0 (0,0) y=0, x=0 Monotonía: Creciente (-∞,0) Decreciente (0,+ ∞) Extremos relativos: Máximo: (0,0) No tiene mínimo. Es una función discontinua. Tiene una asíntota vertical en los puntos donde se anula el denominador, es decir, en x=1 y en x=-1, ya que la función tiende hacia infinito en esos puntos.

32. DesarrolloFunciones racionales EJERCICIOS PARA CLASE C4. Representa gráficamente y estudia su comportamiento: a) f(x)=1/(2x+1) b) g(x)=2x/(3x+1) c) h(x)=x/(x²-1) EJERCICIO PARA CASA (INVESTIGACIÓN) K3. Busca información sobre las gráficas de la Bruja de Agnesi, invéntate una, represéntala y estudia su comportamiento.

33. DesarrolloFunciones radicales • Funciones radicales: Son de la forma y=n√f(x) (raíz n-ésima) Su dominio depende del índice de la raíz. Si el índice es impar, el dominio será todo , y si el índice es par, el dominio será aquellos valores de x para los cuales, el radicando sea positivo. Si el índice de la raíz es n, tiene a lo sumo n raíces, que son los cortes con el eje de abscisas. Se representan mediante un línea “continua”.

34. DesarrolloFunciones radicales Representa gráficamente la función y=3+√(x-4), estudia su dominio y comportamiento. Dominio: [4,+∞), ya que x - 4>0; x>4 Puntos de corte con los ejes: x=0, no existe solución real. y=0, x=13 (13,0) Monotonía: Creciente [4,+∞) No tiene extremos relativos. Es una función continua.

35. DesarrolloFunciones radicales EJERCICIOS PARA CLASE C5. Representa las siguientes funciones y estudia su comportamiento. a) y= ³√(-x) b) y=√(2-x) EJERCICIOS PARA CASA K4. Asocia a cada una de estas gráficas una de estas ecuaciones: a) y= ³√(x+1) b) y=-√(4-x) c) y= ³√(-x+1) d) y= ³√x+1

36. DesarrolloFunciones a trozos • Definidas a trozos: Aquellas definidas por expresiones distintas en intervalos distintos. Se representan, tramo a tramo, prestando atención a su comportamiento en los puntos de empalme.

37. DesarrolloFunciones a trozos Representa gráficamente la función y= 1 si x≥2 x si x<2 estudia su dominio y comportamiento. Dominio:  Puntos de corte con los ejes: x=0 y=0 y=0 x=0 Monotonía: Creciente (-∞,2] No tiene extremos relativos Discontinua en x=2.

38. DesarrolloFunciones a trozos • EJERCICIOS PARA CLASE C6. Representa gráficamente la siguiente función y estudia su comportamiento: a) f(x)= 4-x si x<1 x+4 si x>5 b) f(x)= x+1 si xЄ[-3,0) x²-2x+1 si xЄ[0,3] 4 si xЄ(3,7) C7.Una agencia de viajes organiza un crucero por el Mediterráneo. El precio del viajes es de 1000 € si reúne entre 30 y 60 pasajeros; para un menor número de pasajeros el crucero se suspende. Pero si supera los 60, hace una rebaja de 10 € a cada participante por cada nuevo pasajero. a) Halla la función que da el precio del crucero dependiendo del número de viajeros. Represéntala gráficamente. b) Calcula la función que da el ingreso total que obtiene la agencia organizadora en función del número de viajeros. Represéntala gráficamente.

39. DesarrolloFunciones a trozos • EJERCICIOS PARA CASA K5. Representa gráficamente la siguiente función y estudia su comportamiento: f(x)= 2x+1 si x<1 x²-1 si x≥1 K6. En esta gráfica se describe la Tª del agua que, siendo hielo, se echa en una cazuela y se pone al fuego hasta que lleva un rato hirviendo. Escribe la expresión analítica de T en función del tiempo, t.

40. Desarrollo Algunas transformaciones de funciones • Simetrías: -f(x) y f(-x) • La función –f(x) cambia de signo todos los resultados de f(x). Las gráficas de f(x) y –f(x) son simétricas respecto del eje OX. • La función f(-x) se obtiene sustituyendo x por –x en la fórmula de f(x). Esta función es la simétrica respecto del eje OY, de la función f(x). f(x) = x²-3x+1 - f(x) = -x²+3x-1 f(-x) = x²-3x+1

41. DesarrolloAlgunas transformaciones de funciones • Valor absoluto: |f(x)| • La función |f(x)| cambia de signo los resultados negativos de f(x) y deja iguales los resultados positivos. Su gráfica no puede aparecer por debajo del eje OX. Si la definimos a trozos, sería: f(x)=x²-3x+2 |f(x)|= x²-3x+2 si x<1 ó x>2 -x²+3x-2 si 1≤x≤2

42. Desarrollo Algunas transformaciones de funciones • Traslaciones: k+f(x) y f(x+k) • La función k+f(x) suma el número k a los resultados de f(x). Si k es positivo, la gráfica se desplaza k unidades hacia arriba; si k es negativo, se desplazará k unidades hacia abajo. • La función f(x+k) es la misma que f(x), pero trasladada k unidades a la izquierda si k es positivo y a la derecha si k es negativo. f(x)=x²-3x+1 2+f(x)=x²-3x+3 f(2+x)=(2+x)²-3(2+x)+1

43. Desarrollo Algunas transformaciones de funciones • Dilataciones y contracciones: f(kx) y kf(x) • La función f(kx) contrae o dilata la función f(x). Si k>1, se contrae; si 0<k<1, se dilata. • La función kf(x) multiplica por k todos los resultados de f(x). f(x)=x²-3x+1 f(x)= x²-3x+1 g(x)=2f(x)=2x²-6x+2 g(x)=(1/2)x²-(3/2)x+1/2 h(x)=f(2x)=4x²-6x+1 h(x)=x²/4-(3/2)x+1

44. DesarrolloAlgunas transformaciones de funciones EJERCICIO PARA CLASE C8. Para la función dada por la gráfica adjunta, representa las gráficas de las funciones: a) f(-x) b) |f(x)| c) 2f(x) d) f(2x) EJERCICIO PARA CASA K7. Ésta es la gráfica de la función x²-2x-3. Representa, a partir de ella, las funciones: a) g(x)=f(x)+3 b) h(x)=f(x+2) c) i(x)=-f(x) d) j(x)=|f(x)|

45. Desarrollo Funciones exponenciales Funciones exponenciales: Para comprenderlas mejor, resolvamos la siguiente actividad: Un laboratorio quiere saber en cualquier instante el número de bacterias presentes en su estudio en función de las horas transcurridas. Para ello, en el laboratorio saben que en el instante inicial solo tienen una bacteria y que ésta se duplicapor mitosis en una hora. Determina: a) ¿Cuántas bacterias habrán al cabo de una hora? b) ¿Y al cabo de 3 horas? ¿Y al cabo de 5 horas? c) ¿Podrías dar la función que expresa el número de bacterias que habrán en el laboratorio al cabo de x horas?

46. Desarrollo Funciones exponenciales La función que expresa el número de bacterias presentes en el laboratorio en función de las horas transcurridas es f(x)= 2x y su representación es la siguiente: Las funciones exponenciales son de la forma y= ax, siendo a>0 y a≠1. El dominio de las funciones exponenciales es . Son funciones continuas, y todas pasan por el punto (0,1) y el (1,a). Si a>1, son funciones crecientes. Si 0<a<1, son decrecientes. El eje OX, la recta y=0, es asíntota horizontal , hacia - ∞si a>1 o hacia + ∞ si 0<a<1.

47. Desarrollo Funciones exponenciales EJERCICIOS PARA CLASE C9. Representa la función y=(1/2) x . ¿Qué relación existe entre dicha función y la función y=2x? C10.Dada la función y=ax, contesta razonadamente: a) ¿Puede ser negativa la variable x? ¿Y la variable y? b) ¿Para qué valores de a es la función creciente? c) ¿Cuál es el punto por el que pasan todas las funciones y=ax? d) ¿Son también exponenciales las funciones de la forma y=akx? En caso afirmativo, ¿cuál es la base de dichas funciones? EJERCICIOS PARA CASA K8. Representa, en los mismos ejes de coordenadas, las funciones y= 3x, y=3x+1 y la función y=3x-3. ¿Qué observas a partir del dibujo? K9. De la función exponencial f(x)=kax conocemos que f(0)=5 y f(3)=40. a) ¿Es la función creciente o decreciente? b) ¿Cuánto valen k y a?

48. DesarrolloFunciones logarítmicas Funciones logarítmicas: Son las funciones inversas de las funciones exponenciales. Si tenemos la función exponencial y=a x su función inversa es y=log a x, siendo a>0 y a≠1. Su representación es la siguiente: El dominio de las funciones logarítmicas es aquel en el que su argumento es >0. Son continuas en su dominio y pasan por (1,0) y (a,1). Si a>1 son crecientes. Si 0<a<1 son decrecientes. El eje OY, la recta x=0, es asíntota vertical de su curva.

49. Desarrollo Funciones logarítmicas EJERCICIOS PARA CLASE C11.¿Cuál es el dominio de la función y=log2 (2-x)? Representa dicha función. C12.En el contrato de trabajo de un empleado figura que su sueldo subirá un 6% anual. a) Si empieza ganando 10000 euros anuales, ¿cuánto ganará dentro de 10 años? b) Calcula cuánto tiempo tardará en duplicarse su sueldo. EJERCICIOS PARA CASA K10.Calcula el dominio y representa, en los mismos ejes de coordenadas, la función f(x)=log 2 x, y, partir de ella, representa, calculando también su dominio, las funciones: a) g(x)=1+log 2 x b) h(x)=log 2(x-1) K11.Dibuja la gráfica de la función y=log 3 x. Dibuja después, en los mismos ejes de coordenadas, la gráfica de la función y=log 1/3 x. ¿Qué relación existe entre ambas funciones?

50. Ejercicio de investigación V1. Representa la gráfica que indica la hora del amanecer para tu ciudad en función del mes del año en curso. Para obtener datos entra en: http://www.tutiempo.net/silvia_larocca/Programas/astronomia.htm Las coordenadas geográficas de tu ciudad has de buscarlas para poder realizar la actividad.