Límites y continuidad de funciones

1. Límites y continuidad de funciones Limites de sucesións

2. Limite de una sucesión La idea que hay tras el concepto de límite es la siguiente: en determinadas situaciones, los términos de la sucesión tienden a un valor determinado: Valores de n Valores de los términos de la sucesión Ejemplo: Vemos claramente que cuando n se hace muy grande, los términos de la sucesión se aproximan cada vez más a cero. Describimos esta situación diciendo que el límite de la sucesión es cero y escribimos:

3. Análogamente, estudiando los términos de La definición formal de límite es: • Que significa: • L es el límite de una sucesión an si podemos acercarnos al valor de L con términos de nuestra sucesión tanto como queramos . • O también: • L es el limite de una sucesión an si podemos hacer la diferencia entre algunos términos de la sucesión y el valor del límite tan pequeña como se quiera. vemos que cada vez se acerca más a dos, pero que nunca van a pasar de ahí: Cando una sucesión tiene límite decimos que converge, o que es una sucesión convergente El límite es el número al que se dirigen los términos de la sucesión sin llegar a alcanzarlo nunca.

4. SUCESIÓN DIVERGENTE:  Para la sucesión Diremos que una sucesión diverge cuando su límite no existe porque los valores de la sucesión se hacen cada vez mayores: La tabla representa los valores de algunos términos de la sucesión: Los valores tienden a números muy grandes pero negativos: Formalmente: Puede comprobarse que se hacen cada vez mayores sin detenerse en la proximidad de ningún valor: en este caso escribiremos: Una sucesión An se dice que diverge cuando su límite es infinito: cuando la sucesión de términos no se detiene en ningún valor La sucesión diverge

5. LÍMITES DE FUNCIONES Límites de funcións

6. Límites de funciones Para a función f(x) = x2- 4, La principal diferencia entre los límites de sucesiones y los límites de funciones es que en las funciones no sólo estudiamos los límites cuando x se hace infinita, sino que haremos “estudios locales”: estudiaremos a que valores tiende la función en un entorno de un punto determinado. Veamos algunos ejemplos de lo que ocurre en el entorno de x=2 para varias funciones. Aproximándonos a 2 desde valores superiores (mayores que 2, que se encuentran en el eje a la derecha de dos) observamos que los valores de la función se acercan paulatinamente cada vez más a 0, hasta aproximándose infinitamente. Aproximándonos a 2 desde valores inferiores (menores que 2, que se encuentran en el eje a la izquierda de dos) observamos que los valores de la función se acercan paulatinamente cada vez más a 0, aproximándose infinitamente.

7. Cuando los límites a ambos lados coinciden, decimos que existe límite de la función, que es igual a ese valor común: Se define el límite de una función como: La función de la gráfica no tiene límite: - por la izquierda se va a -, y - por la derecha el límite es -1. Al no coincidir los límites laterales no existe límite

8. Cuandox También se estudia el límite de las funciones cuando el argumento (la variable dependiente) tiende a infinito: Cuando x→-∞, la función toma valores cada vez más próximos a 1, de manera que: En la gráfica vemos que cuando x→∞, la función toma valores cada vez más próximos a 1, de forma que: Se definen los límites de una función cuando la variable independiente se hace infinita como: Como podemos comprobar si hacemos una tabla de valores: TEOREMA: El límite de una función, si existe, es único

9. LIMITES YOPERACIONES LÍMITES E OPERACIÓNS

10. Límites y operaciones Las propiedades de las operaciones aritméticas realizadas con sucesiones y funciones permiten simplificar el cálculo de límites al permitir descomponerlos en límites de cálculo más sencillo. En el caso de las inversas y de los cocientes, estas igualdades se cumplirán en el caso de que ni en las sucesiones ni en los límites se anulen los denominadores. Estas propiedades se cumplen igualmente en el caso de las funciones, en los mismos términos.

11. La principal aplicación de las propiedades de los límites es el método de cálculo de estos: Indeterminaciones Las posibles indeterminaciones que pueden aparecer en el cálculo de los límites son: Cocientes finitos: Cocientes infinitos: Sin tanta formalidad, para calcular un límite de una función, se sustituye en la expresión de la función la indeterminada por el valor al que tiende: Potencias: y además ¿Que hacer con las indeterminaciones? Cuando en el cálculo de un límite obtenemos como resultado una indeterminación intentaremos eliminarla simplificando la expresión, mediante métodos apropiados a cada caso. Lo veremos con detalle. No siempre es tan simple la cuestión. En muchas ocasiones aparecen operaciones irresolubles que reciben el nombre de indeterminaciones:

12. INDETERMINACIONES En el caso: Exemplo: 1.- Se factorizan numerador y denominador y se simplifica la expresión: 1.- Miramos los límites laterales construyendo las tablas de valores próximos a 2: 2.-Se calcula el límite de la expresión simplificada: Si eso permite calcular el límite: problema resuelto. Si no, tendremos que calcular los límites laterales para ver si existen, y de existir, si coinciden. En consecuencia: De donde: NO EXISTE

13. LÍMITES INFINITOS. El infinito y las indeterminaciones Límites infinitos

14. EL INFINITO Y LOS LÍMITES El infinito aparece en el cálculo de límites: Decimos que el límite de una función –por la derecha o por la izquierda- cuando el argumento se acerca a un valor, será infinito si canto más nos acerquemos al valor del argumento más crece el valor de la función: O en el de asíndotas: Asíntota horizontal: y = b / En el ejemplo: y=0 Asíntota vertical: x = a / En este caso: En el ejemplo: x=1

15. La definición en lenguaje matemático: No tiene sentido hablar de Los límites laterales, aunque ambos tomen el mismo valor, nunca coincidirán en ningún punto . Se dice entonces que la función diverge en x=a. OPERACIONES CON  “a” es un número real positivo. Las reglas para operar con infinito se resumen en los cuadros siguientes, y de forma general, tienen una cierta lógica, aunque a veces, parezcan contradictorias o chocantes, en especial en el caso de las indeterminaciones.

16. Indeterminaciones con  1.- La indeterminación Para resolver esta indeterminación se saca factor común la menor potencia en los pares consecutivos: Operamos : 2.- La indeterminación I.- Para resolver dividimos por la mayor potencia del denominador, pudiendo darse tres casos: 1.-Grado del denominador >grado del numerador En este caso el resultado del límite siempre es cero 2.- 2.-Grado del denominador <grado del numerador En este caso el resultado del límite es siempre infinito:

17. 3.-Grao del denominador =grado del numerador Cuando los grados coinciden el límite será el cociente de los términos con la mayor potencia: Indeterminación 1∞. Esta indeterminación aparece en el cálculo de límites de la forma: Los valores de la sucesión tienden a estabilizar las cifras decimales. Diversos razonamientos matemáticos confirman la idea de que la sucesión anterior tiene que tener un límite: este número que sería o límite de esa sucesión es el número “e”. Y normalmente está asociada a un número real llamado “e”, “número de Euler”, o ”Constante de Neper” que surge del cálculo de : como puede verse en la tabla: A efectos de cálculo aproximaremos : e=2,72

18. Otras sucesiones que convergen al número e son: TEOREMA: Este teorema se emplea para resolver la indeterminación DEMOSTRACIÓN:

19. Continuidad Funcións continuas e descontinuas, tipos de descontinuidades.

20. Continuidade Función continua Una función se dice continua en un punto x0 cuando: 1.- Existe f(x0) 2.- Existen los límites laterales no punto e coinciden. Existiendo entonces límite de la función, L 3.- El límite y el valor de la función coinciden L= f(x0) La idea básica que queremos expresar con el concepto de continuidad es la de que la serie de valores no se interrumpe en x0. De forma gráfica, una función es continua en un punto si la representamos sin tener que levantar el lápiz del papel. En las gráficas podemos ver una función continua y otra discontinua. Función discontinua en x=3

21. DISCONTINUIDADES EN LAS FUNCIONES Una función es discontinua en un punto si no es continua:, es decir, si no cumple alguna de las tres condiciones de la definición. 1.- No se cumple la primera: Si la imagen no existe es porque el punto no pertenece al dominio: x0Df. Los casos más frecuentes son: puntos en los que se anula un denominador, intervalos de la recta real en los que un radicando es negativo. no existe f(0), ya que f(0)=1/0 operación que no tiene ningún resultado: el cero no es un número de dominio da función: 0Df , y por tanto esa función es discontinua en cero. La función no toma valores para los números negativos: no tienen raíz

22. 2.-No se cumple la segunda que alguno, o ninguno de los límites laterales exista : (que el límite lateral sea +∞ ou -∞): La función puede no tener limite debido a: Que los límites laterales no coincidan Exemplo: Diremos entonces que tenemos una discontinuidad de salto infinito o esencial Diremos que tenemos una discontinuidad de salto finito. El salto es la diferencia entre los valores de los límites laterales.

23. 3.- No se cumple la3ª: Cuando los límites laterales coinciden pero el valor de la función el distinto tenemos una Ejemplo: Discontinuidad evitable. Podemos evitarla redefiniendo la función en el punto problemático con el valor de los límites laterales: sería continua en x=0.