Kapitel IV. Matrizen

1. Kapitel IV. Matrizen • Inhalt: • Matrizen als eigenständige mathematische Objekte • Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen • Produkt von Matrizen • Inverse Matrix • Basiswechsel

2. §18 Der Vektorraum der Matrizen Im folgenden ist K stets ein Körper und V, W, ... sind Vektorräume über K . Matrizen lassen sich einführen als Hilfsmittel zur Beschreibung von linearen Abbildungen und auch als solche untersuchen (vgl. § 19). Wir wollen Matrizen zunächst als eigenständige mathematische Objekte verstehen. Wichtig, wie an vielen Stellen in Mathematik und Physik, sind dazu die Indizes und Doppelindizes: (18.1) Notation: n bezeichne im folgenden den durch n aus N bestimmten Abschnitt der natürlichen Zahlen, also die Menge n := {1, 2, ... , n} Das „fett n“ wird dabei auch normal geschrieben. Also: n= {1, 2, ... , n} und

3. (18.2) Definition: Eine (m,n)-Matrix A (mit Koeffizienten aus K) ist eine Abbildung Kapitel IV, §18 Eine solche Matrix A ist also durch die Werte vollständig bestimmt. Bemerkung: Diese Werte – und damit die Matrix A – können auf verschiedene Wiese notiert werden. In der Regel in einem „Rechteckschema“: An diese Notation werden wir uns halten. (Eine Vertauschung von n und m wäre auch denkbar, eine Aneinanderreihung der Werte in einer Zeile oder in einer Spalte wäre ebenfalls korrekt, - aber unüblich.)

4. Kapitel IV, §18 Die Schreibweise der Koeffizienten A(i,j) ist beliebig. Ziemlich verbreitet ist es, die A(i,j) mit kleinem Buchstaben und tiefgestellten Indizes zu schreiben, zumindestens in der Mathematik: Also statt A(i,j) : aij . Je nach Anwendung sind aber auch aij , aij oder aij gebräuchlich. Unsere Konvention (Physikernotation in Falle von Koordinaten eines Konfigurationsraumes) in Abweichung von Kap. I - III: (18.3) Bemerkungen: Die Menge aller (m,n)-Matrizen ist Kmxn ; sie besitzt daher in natürlicher Weise die Struktur eines K-Vektorraums. Addition: Für A und B aus Kmxn ist Skalarmultiplikation: Für A aus Kmxn und t aus K ist

5. (18.4) Lemma: Für natürliche Zahlen genau mn Elemente. Durch f(i,j) := (j - 1)n + i , , wird eine Bijektion Kapitel IV, §18 Definiert (sukzessives Durchzählen der Reihen). (18.5) Folgerung: Der Vektorraum Kmxn der (m,n)-Matrizen hat die Dimension mn . Er ist isomorph zu Kmn und auch zu (Km)n und (Kn)m. Die Standardbasis von Kmxn ist {Eji : i aus m und j aus n} , wobei Eji ist die folgende Matrix: In der Zeile i lauter Nullen außer einer 1 in Position j (Spalte j); ansonsten nur Nullen. Anders ausgedrückt: Alle Spalten sind 0 außer der j-ten Spalte. Diese ist der i-te Standardeinheitsvektor von Km . Es gilt für A aus Kmxn :