Luotettavuusanalyysi osa 3

1. Luotettavuusanalyysi osa 3 Luotettavuusanalyysi suunnittelussa FMECA Weibull -analyysi Mallin hyvyyden arviointi Luotettavuuden kasvu - Duane plot

2. Luotettavuusanalyysi suunnitteluvaiheessa • On tärkeätä, että luotettavuusanalyysiä tehdään kaikissa projektin vaiheissa. Kun suunnittelija aloittaa työnsä piirustuspöydällä, hänen on jo otettava huomioon luotettavuus. Jos analyysi on tehty kunnolla, oikeaan aikaan ja oikeiden henkilöiden toimesta, sekä dokumentoitu hyvin, on paljon suurempi todennäköisyys, että viat havaitaan projektin alkuvaiheessa. Tämä on myös asiakkaalle vakuus siitä, että tuotteen luotettavuus täyttää korkeat vaatimukset. • Suunnitteluvaiheen luotettavuusanalyysissä käytettyjä tekniikoita ovat esimerkiksi • vikapuuanalyysi FTA ( käsitelty edellä) • syy –seuraus analyysi • FMECA = Failure Modes Effects and Criticality Analysis, josta seuraavassa esimerkki

3. Vikojen vakavuusluokat (severity classification) • Minorvähäinen vika, joka vaatii huoltotoimenpiteen • Majorvika, joka voi aiheuttaa pienehköjä vaurioita systeemille tai viivästyttää sen toimintaa • Criticalvika, joka voi aiheuttaa vakavia vaurioita systeemille ja estää sen toiminnan • Catastrophicvika, joka voi aiheuttaa kuolemanvaaran tai systeemin tuhoutumisen Seuraavassa osa erään ohjuksen alisysteemin komponentin FMECA – analyysiä.

4. FMECA -taulukko

5. FMECA –dokumentoinnin tarkoitus Suunnittelijat saavat kuvan systeemin rakenteesta ja luotettavuuteen vaikuttavista tekijöistä Antaa käsityksen suuren riskin omaavista osista ja samalla pohjan priorisoinnille huollossa kertoo, mihin valmistuksessa ja huollossa on suunnattava erityistä huomiota kertoo, seuraako rakenteesta mitään rajoituksia systeemin toiminnalle vakuuttaa johdon ja asiakkaat siitä, että luotettavuudesta on riittävästi huolehdittu Mitä FMECA sisältää? osasysteemien toiminnan alkaen pienimmistä osasysteemeistä aina koko systeemiin vikojen todennäköisyydet eri osasysteemeissä vikojen vakavuusluokitukset FMECA:n hyödyt

6. Weibull - analyysi Kun komponenttien ja systeemien luotettavuutta mallinnetaan, edellä käsitelty eksponentiaalinen malli R(t) = e- t soveltuu vain pieneen osaan systeemeistä. Huomattavan laaja joukko erilaisia systeemejä saadaan mallinnettua, käyttämällä ruotsalaisen Weibullin kehittämää ns. Weibull –jakaumaa. Weíbullin jakauma on kaksiparametrinen ja siinä luotettavuusfunktio R(t) on muotoa: Parametria  kutsutaan nimellä ”shape parameter”, koska se määrää jakauman muodon. Parametria  kutsutaan nimellä ”characteristic” life, koska se määrää komponentin kestoiän.

7. Weibull –jakauman R(t) funktiota eri :n arvoilla punainen:  = 2.5 sininen:  = 1.0 vihreä:  = 0.4

8. Weibull –jakauman linearisointi otetaan -ln molemmilta puolin otetaan ln molemmilta puolin Valitsemalla uusiksi muuttujiksi x = lnt ja y = ln(-lnR) , saadaan lineaarinen yhtälö y =  x +  ln  Weibull –malli muodostetaan ( t, R) havaintopareista siten, että lasketaan uudet muuttujat x = lnt ja y = ln(-lnR) ja käytetään lineaarista regressioanalyysiä kulmakertoimen  ja vakiotermin  ln  määräämiseen. Karakteristinen elinikä  ratkaistaan vakiotermistä

9. Esimerkki: Seuraavassa taulukossa on erään komponentin testaustuloksia. Tehtävänä on määrittää havaintoihin soveltuvan Weibull – jakauman parametrit ja laskea komponentin toimintatodennäköisyys 100 h käytön jälkeen. Testattavia komponentteja oli yht. 20 kpl, testiaika 80 h, komponenteista särkyi testissä 8 seuraavissa ajoissa. Tässä linkissä on mallin muodostaminen Exceliä käyttäen.

10. Weibull -paperi • Edellä kuvattu toimenpide linearisointeineen ja regressioanalyyseineen voidaan suorittaa myös kaupallisesti tarjolla olevaa Weibull -paperia käyttäen. • Linearisointi on kätketty paperin logaritmiseen skaalaukseen, ja paperille voi suoraan piirtää ( t , F ) pistepareja (F on vikakertymä). Paperilta on luettavissa helposti seuraavia parametreja: • shape parameter  (muotoparametri) • characteristic life  (karakteristinen elinikä) • keskimääräinen elinikä MTTF linkit: Tyhjää Weibull –paperia (doc)

11. Mallin hyvyyden arviointi ”The goodness of the fit ” Exponenttimallin tai Weibull – mallin parametrien arvot saadaan aina lasketuksi, olipa havaintoaineisto millainen tahansa. Tosin esim. Weibull-paperilta voidaan usein jo havaita hajontaa pistejoukossa: jos linearisoitu havaintoaineisto ei ole likimain suoralla viivalla, mallin hyvyyttä voidaan perustellusti epäillä. Kysymys kuuluu: voidaanko mallin hyvyyttä mitata jollain tilastollisella menetelmällä ja siten asettaa kriteerejä mallin hyväksymiselle? Mallin hyvyyttä voidaan arvioida tilastollisesti esim. seuraavilla menetelmillä a) 2 testi (Khi – Square test) b) Kolmogorov – Smirnov testi

12.  2 testi (Chi – Square –test) Testi käydään läpi tarkemmin tilasto-opin kurssilla, mutta käydään se tässä läpi pääpiirteittäin. Testillä voidaan osoittaa esim. ristiintaulukoitujen muuttujien välinen tilastollinen riippuvuus tai riippumattomuus. Toinen tyypillinen käyttö on mallin ja havaintojen välinen yhteensopivuus tai yhteensopimattomuus. Testin suoritus: Jaetaan havainnot luokkiin i = 1,2,3,… yhden tai useamman muuttujan arvon perusteella. Merkitään o1, o2,… havaintojen lukumääriä luokissa 1,2,… ja e1, e2, … teoreettisesta mallista laskettuja lukumääriä em. luokissa. Tällöin parametri Khi:n neliö lasketaan kaavalla:

13.  2 testi, jatkoa Kun 2 on laskettu, katsotaan taulukosta kyseistä vapausasteiden määrää vastaava kriittinen arvo. Jos tuo arvo ylitetään, malli ei ole hyväksyttävä, jos taas arvo alittuu, malli voidaan hyväksyä. Vapausasteet on monimutkainen käsite lyhyesti selostettavaksi, mutta esim. jos kyseessä on yksi tarkasteltava muuttuja, jossa luokkia on n kpl, on vapausasteita n-2. Perustelu on sellainen, että itse datapisteitä on n kpl, ja niistä laskettuja parametreja ovat keskiarvo ja pisteiden lukumäärä, ts. 2 kpl. Tällöin jää jäljelle n-2 vapausastetta. Toinen tärkeä huomio on se, että jotta  2 -testiä voitaisiin käyttää, on havaintoja oltava runsaasti, ja pieniä luokkia on yhdistettävä niin, että luokkien teoreettiset frekvenssit ovat kaikki suuruudeltaan vähintään 4.

14. Esimerkki  2 –testin käytöstä Seuraavassa on erään komponentin vikaantumisajat. Muodosta eksponentiaalinen malli ja testaa sen hyvyys  2 – testillä. vikaantumisajat (h) 100 komponentin testissä MTTF = 8.522 h

15. Luokat ja frekvenssitaulu, jossa on näkyvillä sekä havaitut, että teoreettiset frekvenssit Teoreettiset frekvenssit saadaan laskettua integroimalla ja ne ovat 11.1 , 8.8 , 7.8 , 6.9 , 6.2 , 5.5 , 4.9 , 4.3 , 3.9 , 3.4 , 3.0 , 2.7 , 2.4 , 2.1 , 1.9 , 1.7, 1.5 , 1.3 , 1.2 , 1.1, 0,9 , 0 , 0, 0, ja 0. Vain 8 ensimmäisen osalta täyttyy 2 – testin edellytys, että teoreettisten frekvenssien tulee olla vähintään 4 kussakin luokassa. Yhdistetään siten loppupään luokkia seuraavasti:

16. uusi luokitus, havaitut ja teoreettiset frekvenssit laskettu 2 -arvo Koska luokkia on 14 kpl ja niistä laskettuja parametreja 2 (keskiarvo ja luokkien lkm) on vapausasteita tässä 14-12 eli 12 kpl. Tätä vastaava kriittinen 2 –arvo on 5.226, jonka 69.66 ylittää selvästi. Johtopäätös: eksponenttimalli ei ole hyväksyttävissä.

17. Kolmogorov-Smirnov testi Kolmogorov-Smirnov testissä periaate on se, että lasketaan vikakertymät sekä havainnoista, että teoreettisesta mallista ja etsitään mallin ja havaintojen välinen suurin poikkeama. Tätä arvoa verrataan sitten Kolmogorov – Smirnov – taulukon (liite2) kriittiseen arvoon. Jos kriittinen arvo alitetaan, malli on hyväksyttävissä, muussa tapauksessa malli on hylättävä. K-S –testi on huomattavasti helpompi tehdä kuin Chi-Square -testi Esimerkki: Seuraavasta testidatasta muodostettiin eksponentiaalinen malli R = e -t / MTTF Testissä oli mukana 9 komponenttia, joiden vikaantumisajat olivat: • Määritä vikaantumisfunktio F = F(t) • Testaa mallin hyvyys Komogorof -Smirnovin taulukon avulla.

18. esim. jatkuu Lasketaan ensin MTTF vikaantumisaikojen keskiarvona: MTTF = 37,67 h. Tällöin eksponentiaalimallin mukainen vikaantumisfunktio F = 1 – e-t / 37.67 Empiiriset F:n arvot saadaan kaavalla F = (i+0.3)/(n+0.4). Lopuksi lasketaan empiiristen arvojen ja mallin antamien arvojen erotukset Maksimierotus on 0,198 , kun Kolmogorov –Smirnovin taulukon mukainen kriittinen arvo 9 kpl testissä on 0,43 (ks. liite). Malli on siten hyväksyttävissä testin perusteella

19. Yleistä mallin hyvyyden testauksesta Jos malli läpäisee goodness of the fit – testit, tämä ei silti kerro kovin paljon mallin hyvyydestä sinänsä. Ainoa, mitä voidaan sanoa, on se, että mallia ei tilastollisesti voida osoittaa paikkaansa pitämättömäksi eli että mallin ja havaintojen väliset erot voidaan selittää johtuvaksi satunnaisesta tilastollisesta vaihtelusta. Vain kaikkein huonoimmat mallit voidaan karsia pois käyttäen  2 –testiä tai Kolmogoroff – Smirnov – testiä.

20. Luotettavuuden kasvu ja Duane malli Kysymykseen ”Miten laitteesta saadaan luotettavaa” vastataan usein, että ”Luotettavuus on rakennettava sisään” . Työ suunnittelupöydän ääressä on ehdottomasti halvempaa kuin tehdä suuria muutoksia tuotteeseen sen valmistumisvaiheessa. Tästä huolimatta jokaisella projektilla tulisi olla luotettavuuden kasvuohjelma reliability growth program, jossa prototyyppiä testataan vaikeissa olosuhteissa, kunnes ilmenee vikoja, jotka analysoidaan ja tehdään muutoksia tuotteeseen. Kyse on syklistä: testaa – analysoi – muuta – testaa – analysoi – muuta j.n.e. Ohjelmistopuolella on aivan vastaava sykli, jossa ohjelmaa ”debugataan” . Jokaisessa ohjelmassa on alkuvaiheessa ”bugeja” , vikoja. Usein on tarpeen mitata myös luotettavuusohjelman tehoa, jotta saataisiin kuva sen laadusta tai määriteltäisiin sen resursseja. Eräs tapa on käyttää Duanen mallia luotettavuuden kasvun mittauksessa.

21. Duanen malli 2. sarakkeen aika 103 tarkoittaa testattavien laitteiden kokonaistestausaikaa sillä hetkellä, kun 1. vika ilmeni. Jos testissä on ollut 1 laite, sitä on siten testattu 103 h, jos kaksi, niitä on yhteensä testattu 103 h: esim. 51,5 h molempia tai yhtä hyvin 40 h ja 63 h 2. vika on ilmennyt 315 h kokonaistestiajan jälkeen,… Kolmannen sarakkeen kumulatiivinen Mc –arvo saadaan jakamalla kokonaistestausaika vikojen määrällä. Jos Mc kasvaa, on se merkki luotettavuuden parantumisesta testauksen aikana. Duane havaitsi, että luotettavuusohjelmassa (lnT, ln(Mc)) kuvaaja on lähes lineaarinen Dataa luotettavuuden kasvuohjelmasta missä vakiota  sanotaan luotettavuuden kasvutekijäksi (growth factor) ln(T/n) =  lnT + m

22. Growth factor  : n tulkinta  = 0.4 -0.6 , luotettavuusohjelma erinomainen  = 0.3-0.4 , luotettavuusohjelma hyvin hoidettu ja priorisoitu  = 0.2-0.3 , vain suurimmat viat korjattu  <0.2 , luotettavuudella on alhainen prioriteetti projektissa Esimerkkitestin Duane –malli Excelillä

23. Esitelmän aiheita • Human factor • Reliability of software • Reliability of electronical components • Component testing • Reliability in aviation

24. 2 –jakauman kriittisiä arvoja 95% merkitsevyystasolla liite 1

25. Komogorov-Smirnov – taulukko (95% taso) liite 2