Luotettavuusanalyysi osa 2

1. Luotettavuusanalyysi osa 2 luotettavuuden parametreja eräs luotettavuuden malli lisää parametreja RBD -diagrammit

2. Luotettavuuden parametrejä Usein oletetaan, että vikaantumistodennäköisyydet fi pvat peräisin jostain matemaattisesta jakaumasta f(t), johon tietysti pienillä testikoilla liittyy satunnaista vaihtelua. Samoin vikakertymä F, luotettavuus R ja vikataajuus  , Siten on mahdollista löytää matemaattiset kaavat, jotka yhdistävät näitä parametreja. • Useimmin käytetyt tavat laitteen luotettavuuden kuvaamisessa ovat • laitteen luotettavuusfunktion R(t’) arvon antaminen tietyn standardikäyttöajan t’ kohdalla • laitteen keskimääräisen vikaantumisajan MTTF tai vikaantumisvälin MTTB:n antaminen

3. Parametrien f, F, R ja väliset yhteydet, kun ne oletetaan ajan funktioiksi vikakertymä luotettavuus vikataajuus

4. Eksponentiaalinen malli R(t) = e - t parametri  on vikataajuus, koska -dR/R = -  e- t/ e- t =  Eksponentiaalisessa mallissa laitteen vikataajuus on siis vakio. Edelleen lasketaan vikakertymä ja vikatiheys F(t) = 1 – R(t) = 1 – e-  t ja f(t) = dF/ dt =  e -  t

5. MTTF eksponentiaalimallissa Vikaantumisajan odotusarvo eli MTTF saadaan integroimalla Eksponenttimallissa vikataajuus ja keskimääräinen vikaantumisaika ovat siten käänteislukuja MTTF = 1 /  Lisäksi osittaisintegroinnin avulla voidaan osoittaa, että MTTF saadaan myös integroimalla suoraan luotettavuusfunktiota:

6. Eksponenttimallin tulkintaa Eksponenttimalli on hyvin suosittu osaksi sen yksinkertaisuuden vuoksi, osaksi siksi , että se soveltuu hyvin monimutkaisten systeemien luotettavuuden kuvaukseen, erityisesti niiden käyttövaiheen aikana (Kylpyammemallin keskivaiheessahan vikataajuus on likimain vakio) Eräs eksponenttimallin ominaisuus on, että laitteen rikkoutumistodennäköisyys on sama riippumatta laitteen iästä. Ts. komponentti (diodi, hehkulamppu) rikkoontuu yhtä todennäköisesti seuraavan kuukauden aikana, olipa se minkä ikäinen tahansa. Joskus sanotaan, että laitteella ei ole muistia. Voi olla vaikea uskoa, että minkään laitteen rikkoutumistodennäköisyys pysyisi vakiona, mutta usein vanhat, monimutkaiset systeemit , kun niissä on sekaisin alkuperäisiä ja varaosia asettuvat tällaiseen dynaamiseen tasapainotilaan, jossa vikataajuus suurin piirtein säilyy vakiona.

7. Eksponentiaalimallin muodostaminen testituloksista Tapaus1: Testi jatkuu, kunnes kaikki komponentit ovat rikkoutuneet Määritetään testin perusteella MTTF ja käytetään mallissa vikatiheytenä sen käänteislukua  = 1 / MTTF Esim. Kymmenen identtistä komponenttia testattiin. Niiden vikaantumisajoiksi mitattiin 10 , 17, 25, 33, 34, 41, 48 , 59, 72 ja 79 h. Muodosta eksponenttimalli komponentista ja laske komponentin luotettavuus 20 käyttötunnin kohdalla: Ratkaisu: MTTF = 1/10 *(10+17+…+79) = 41,8 h joten vikataajuus  = 1 / 41.8 = 0.024 ja R(t) = e - 0.024 t Siten luotettavuus 20h kohdalla R(20h) = 0.619 = 0.62

8. Tapaus2: Testiä ei jatketa loppuun saakka Voidaan osoittaa, että tällöin keskimääräinen vikaantumisaika saadaan kaavalla MTTB = T / n missä T on testattavien komponenttien kokonaisaika testissä (rikkimenneillä tähän lasketaan vikaantumisaika, lopuilla testin kokonaiskesto), sekä n on rikkoutuneiden lukumäärä.

9. Tapaus2: Testiä ei jatketa loppuun saakka - toinen tapa Esim. 20 komponenttia testattiin 50 h ajan, jolloin 6 niistä rikkoontui ajoissa 17 , 24, 33, 35, 42 ja 49 h loppujen 14 jäädessä ehjiksi. Laske MTTF ja muodosta luotettavuusfunktio R(t): Laske luotettavuus 20 h kohdalla. Ratkaisu: Lasketaan vikakertymät Fi aluksi likimääräisesti : Koska vikakertymä F on 1/20 koko aikavälin 17-24 h ajan, 2/20 koko aikavälin 24-33 h ajan, on paras tapa kuvata vikakertymää histogrammi :

10. 10 20 30 40 50 Kun diskreeteistä Fi – arvoista muodostetaan funktio F(t), on huomattava, että alkuperäisiä (t,F) – pareja käytettäessä käyrä F(t) tulisi kulkemaan liian ylhäällä ( portaiden reunapisteiden kautta), jolloin vikatiheysfunktio saisi liian suuria arvoja. Järjestysstatistiikassa on esitetty kaava, jolla tämä virhe kompensoidaan. Kaavan mukaan vikakertymä on Fi = (i - 0.3)/( n + 0.4) Tässä i on vian järjestysnumero ja n on testattavien komponenttien lukumäärä. Korjattu F-taulukko näyttää seuraavalta

11. Mallin linearisointi ja reggressioanalyysi Seuraavaksi lasketaan vikatiheyksien avulla luotettavuusfunktion ja sen logaritmin arvot ja määritetään vikataajuus  suoran lnR = -  t kulmakertoimena. linearisointi R(t) = e-  t => lnR = -  t esim. Excel – ohjelman LINEST –funktiolla saadaan vikataajuudeksi  = 0,0056 josta MTTF = 177 h ja R(20h) = e-0.0056*20 = 0.89

12. Lisää parametrejäkeskimääräinen korjausaika MTTR Korjattavan laitteen käyttöhistoriaa voitaisiin kuvata seuraavasti ”ups and downs” up1 up2 up3 up4 down1 down2 down3 aika t Korjausajoista (aika rikkoontumisesta uudelleen käynnistykseen) voidaan laskea keskiarvona MTTR (mean time to repair ). Laitteen korjausajat vaihtelevat, ja sitä kuvaamaan voidaan esittää ns. huollettavuusfunktio M(t) esim. käyttämällä normaalijakaumaa. worst 5% failures MTTR

13. A = availability (käytettävyys) Laitteen käytettävyys ilmaistaan usein prosentteina ja se kuvaa sitä osuutta kokonaisajasta, jonka laite on toimintakuntoinen • Seurauksena kaavasta laitteen käytettävyyttä voidaan parantaa kahdella tavalla: • lisäämällä luotettavuutta eli kasvattamalla MTBF –arvoa • pienentämällä korjausaikaa eli tehostamalla huolto-organisaatiota On huomattavaa, että korjausaikaan MTTR vaikuttavat paitsi itse korjausaika, myös aika, joka kestää huoltomiesten saapumiseen ja aika, joka kestää varaosien saamiseen. Kyseessä on mitä suurimmassa määrin myös logistinen ja organisatorinen ongelma.

14. LOHKOKAAVIOESITYS • RBD = • Reliability Block Diagram Usean komponentin systeemien luotettavuuden kuvaamisessa käytetään usein lohkokaavioesitystä, jotka käyttäen systeemin luotettavuus voidaan määrittää, kun komponenttien luotettavuudet tunnetaan

15. Esimerkki • auton sytytysjärjestelmän RBD startin aikana kaapelit solenoidi akku kärjet virranjakaja • RDB ajon aikana akku kaapelit solenoidi kärjet virranjakaja laturi ajon aikana sytytysjärjestelmä sisältää tietynasteisen varmistuksen (redundance)(laturin ja akun ei molempien tarvitse olla kunnossa )

16. Peruskytkennät RBD -kaaviossa • sarjakytkentä • rinnankytkentä Redundanssi tarkoittaa esim. rinnankytkennällä aikaansaatua varmistusta

17. Komponentit sarjassa • Systeemin luotettavuus on sen komponettien luotettavuuksien tulo • R(t) = R1(t) * R2(t) • eksponenttijakauman tapauksessa R(t) = exp(- 1t) * exp (- 2t) = exp (-(1+ 2)t) joten = 1 + 2 1 2 R = R1 * R2

18. Komponentit rinnan • P(systeemi toimii) = 1 - P(kumpikaan komponentti ei toimi) • Luotettavuusfunktio R(t) = 1 - (1- R1(t)) . (1- R2(t)) 1 R = 1- (1-R1).(1-R2) 2

19. Tehtävä • Komponentin A ja B keskimääräiset vikaantumisajat ovat 12 d ja 20 d. • Laske niistä muodostetun systeemin keskimääräinen vikaantumisaika • a) sarjakytkennässä • b) rinnankytkennässä (Mathematicalla) (oletuksena exponenttijakauma)

20. Ratkaisu • sarjakytkennässä R(t) = e-t/12*e-t/20 = e -0.133 t • josta MTTF = 1 / 0.133 = 7.5 d • rinnankytkennässä R(t) = 1 – (1-e-t/12) (1-e-t/20) • MTTF saadaan esim. Mathematicalla integraalina R(t) dt R(t) kuvaaja rinnankytkennässä R(t)

21. Toimintatodennäköisyydenlaskeminen A) Puhtaat sarja-ja rinnakkaiskytkennät B) Sekakytkennät

22. A) Puhtaat sarja- ja rinnakkaisyhdistelmät • Esim. Laske oheisen systeemin luotettavuus 0.9 0.85 0.9 0.85 0.8 0.8

23. Yksinkertaistetaan vaiheittain 0.998 0.9775 1 0.8 2 0.9756 0.8 Vastaus: R = 0.995 3 0.995

24. B) Sekakytkennät • Ehdollisen TN:n menetelmä • Sidos - ja katkosjoukot • Vikapuut • Monte Carlo simulointi

25. Ehdollisen todennäköisyyden menetelmä, esim. siltakytkentä D A 0.9 0.8 C 0.8 0.9 0.8 E B Laske yo. Systeemin toimintatodennäköisyys

26. Ehdollisen TN:n Bayesin kaava • Valitaan systeemistä S jokin komponentti, jolle asetetaan ehdot Rx=1 tai Rx=0. • Eli komponentti x on 100% ehjä tai täysin viallinen. Tällöin Rs =Rs(edellyttäen, että Rx ehjä)*Rx + Rs(edellyttäen, että Rx rikki)*(1-Rx)

27. Oletetaan aluksi, että C on ehjä. Tällöin se voidaan korvata viivalla D A 0.9 0.8 0.9 0.8 E B Rab = 1-(1-0.8)(1-0.8) = 0.96 Rde = 1-(1-0.9)(1-0.9) = 0.99 Rs = 0.96*0.99 = .9504

28. Oletetaan nyt, että C on rikki. D A 0.9 0.8 0.9 0.8 E B Rad = 0.8*0.9 = 0.72 Rbe = 0.8*0.9 = 0.72 Rs = 1-(1-0.72)(1-0.72) = 0.9216

29. Käytetään systeemin luotettavuuden laskemiseen ehdollisen TN:n kaavaa Rs= Rs(ehdolla,että C ehjä)*Rc + Rs(ehdolla, että C rikki)*(1-Rc) = 0.9504*0.8+0.9216*(1-0.8) = 0.945 Vastaus: Systeemin luotettavuus = 0.945

30. Työläin tapa on käydä läpi kaikki mahdolliset alkeistapaukset (yhdistelmät ABCDE, 25 kpl)

31. Systeemi toimii 16 tapauksessa, joiden todennäköisyydet lasketaan yhteen toimintatodennäköisyyden saamiseksi R = 0.8*0.8*0.8*0.9*0.9 + 0.8*0.8*0.8*0.1*0.9 + … + 0.2*0.8*0.2*0.1*0.9 = 0,94464 = 0.945

32. Sidosjoukot ja katkosjoukot Ties and Cuts Kuljettaessa vasemmalta oikealle lohkokaaviossa huomataan, että on olemassa vaihtoehtoisia polkuja, jotka toimiessaan takaavat systeemin toiminnan: mm. AB, DE, ACE, BCD. Muutkin ryhmät ,kuten ABCD takaavat toiminnan, mutta sisältävät ylimääräisiä komponentteja. Ryhmiä sanotaan sidosjoukoiksi. Jos mikään polku ei sisällä ylimääräisiä komponentteja, sidosten ryhmää sanotaan minimisidosjoukoksi. Vastaavasti on löydettävissä joukkoja, jotka aiheuttavat systeemin vikaantumiset. Näitä kutsutaan katkosjoukoiksi, ja kun niistä poistetaan ylimääräiset komponentit, saadaan minimikatkosjoukot

33. Siltakytkennän minimisidos ja katkosjoukot D A 0.9 0.8 C 0.8 0.9 0.8 E B Minimisidosjoukot: AD,BE,ACE ja BCE Minimikatkosjoukot: AB,DE,ACE, BCD

34. Ylälikiarvon systeemin toimintatodennä- köisyydelle antaa minimisidosjoukkojen käyttö käyttäen sarja/rinnakkaislaskentaa A D B E Tulos: Rs < 0.986 E A C B C D Rs= 1- (1-AD)(1-BE)(1-ACE)(1-BCD), missä A tarkoittaa osan A toimintatodennäköisyyttä j.n.e

35. Alalikiarvon systeemin toimintatodennä- köisyydelle antaa minimikatkosjoukkojen käyttö vastaavalla tavalla Tulos: Rs>0.943 A A A D C C B E E D Systeemi toimii, jos A tai B toimii ja D tai E toimii … Rs=(1-(1-A)(1-B))*(1-(1-D)(1-E)*(1-(1-A)(1-C)(1-E)* (1-(1-A)(1-C)(1-D)) = 0.943

36. Johtopäätös: Systeemin toimintatodennäköisyys on välillä 0.943 - 0.986 Syy miksi minimisidosjoukkojen ja minimikatkosjoukkojen käyttö ei anna kuin likiarvoja, on siinä, että sidosjoukkojen eri polut saattavat sisältää samoja alkeistapauksia kaksi kertaa.

37. Monte Carlo simulointi Simuloinnissa jokaista komponenttia vastaa muuttuja, jolle arvotaan arvo satunnaislukugeneraattorilla. Systeemi kuvataan muuttamalla RBD –kaavio tietokoneohjelman ehtolauseiksi. Toimintatodennäköisyys saadaan selville ajamalla systeemiä kuvaavaa ohjelmaa silmukassa tuhansia kertoja. Esim. kuvan sarjakytkentää simuloi ohjelma 0.8 0.7 #include <iostream.h> #include <time.h> void main() { int a,b,s,k=,n=500; float r; randomize(): for (i=1;i<n;i++) { if rand()<0.8 {a=1;} else {a=0;}; if rand()<0.7 {b=1;} else{ b=0;}; s = a *b; if (s==1) k++ ; } ; r = k / n; cout<<”Luotettavuus R = ”<<r; }

38. Tehtävä: Laadi c- tai jawa-kielinen simulointiohjelma edellä esitetylle siltakytkennälle Ratkaisu C++:lla tässä linkissä

39. Vikapuuanalyysi (FTA) on tekniikka, jolla kuvataan kompleksista systeemiä, joka tunnetaan jo hyvin. Se on TOP-DOWN analyysi, joka lähtee systeemin viasta, ja analysoi tätä osasysteemien vikojen kautta. FTA:n etuja on, että se pakottaa suunnittelijan pohtimaan eri syitä, jotka saattavat aiheuttaa systeemin vikaantumisen, sekä tapoja, joilla alisysteemit ovat vuorovaikutuksessa. Lisäksi FTA antaa kuvan systeemin rakenteesta sekä valmistajalle, että asiakkaalle. Se mahdollistaa myös minimisidosjoukkoanalyysiä, ja jos numeerista dataa on tarjolla, myös systeemin toimintatodennäköisyyden laskemisen Seuraavassa esitetään nestekidenäytön (LCD) vikapuuanalyysia kolmella eri tavalla Vikapuuanalyysi (Fault tree analysis)

40. Epämuodollinen LCD-näytön vikapuu LCD ei toimi or virransaanti riittämätön nestekiteet rikki or or OnOff kytkinvika Sisäinen liitosvika virtalähdevika alhainen tai ei lainkaan virtaa akusta tai laturista and akkuvika laturivika or or or akku ei paikallaan akku tyhjä akku rikki muuntajavika pistokevika

41. LCD –näytön vikapuu LCD ei toimi Symbolien selitykset 1 nestekiteet rikki & virransaanti riittämätön =and portti 1 1 =or- portti On/Off kytkinvika Sisäinen liitosvika virtalähdevika primary basic event: ei analysoida pitemmälle & akkuvika secondary basic event: analysoidaan tarkemmin laturivika 1 1 output akku ei paikallaan akku tyhjä akku rikki pistoke vika muuntaja vika

42. Kvantitatiivinen analyysi vikapuun avulla LCD ei toimi Tehtävä: Kuviossa on eri perustapahtumien (basic events) todennäköisyydet. Näistä on laskettava systeemin vikaantumisen todennäköisyys 1 virransaanti riittämätön nestekiteet rikki 1 0,00005 On/Off kytkinvika Sisäinen liitosvika virtalähdevika & 0,0002 0,0002 akkuvika laturivika 1 1 akku ei paikallaan akku tyhjä akku rikki pistoke vika muuntaja vika 0,02 0,002 0,0005 0,0001 0,001

43. Säännöt vikaantumistodennäköisyyden laskemiseksi vikapuun avulla Yksinkertainen tapaus: Osasysteemien viat (basic events) esiintyvät korkeintaan kerran vikapuussa. Vikapuussa on vain AND ja OR –portteja. • Säännöt: • OR –portin OUTPUTin todennäköisyys on likimain sama kuin sen INPUT –todennäköisyyksien summa • AND –portin OUTPUT:n todennäköisyys on sen INPUT –todennäköisyyksien tulo P=P1*P2 P  P1+P2 & 1 P1 P2 P2 P1

44. LCD –näytön vikatodennäköisyys LCD ei toimi 0,000475 Vastaus: LCD-vian todennäköisyys on 0,000475 1 virransaanti riittämätön nestekiteet rikki 0,000425 1 0,00005 On/Off kytkinvika Sisäinen liitosvika virtalähdevika 0,000025 & 0,0002 0,0002 akkuvika laturivika 0,0225 0,0011 1 1 akku ei paikallaan akku tyhjä akku rikki pistoke vika muuntaja vika 0,02 0,002 0,0005 0,0001 0,001

45. Edellä kuvattujen menetelmien lisäksi on olemassa tietokoneohjelmia, joilla voidaan määrittää systeemien toimintatodennäköisyyksiä