Luotettavuusanalyysi Reliability analysis 3 op

1. Luotettavuusanalyysi Reliability analysis 3 op • Jouko Teeriaho Rovaniemen AMK Tekniikka ja Liikenne email: jouko.teeriaho@ramk.fi web: http://tl.ramk.fi/~te_jt

2. Kirjallisuutta, kurssin suoritus Roger D. Leitch: Relibility analysis for Engineers Oxford University Press 1995 ISBN 0-19-856371-X kurssi suoritetaan seuraavasti: 1-2 välikoetta sopimuksen mukaan 75 % etätehtävät 25 %

3. Johdanto Todennäköisyys- laskennan perusteita todennäköisyyskäsite kerto- ja yhteenlaskusääntö diskreetit jakaumat jatkuvat jakaumat ehdollinen todennäköisyys Empiirinen esimerkki ja käsitteet RBD – reliability block diagrams Monte – Carlo simulaatio Luotettavuuden mallinnus Vikapuuanalyysi ja kriittisyysanalyysi Mallin hyvyyden testaus ryhmätöitä luotettavuusanalyysistä eri aloilla Sisältöä

4. Johdanto • Mitä luotettavuus (reliability) – käsite tarkoittaa ? • Kadunmiehen käsityksen mukaan se on esim. kyky tehdä työtä, tehdä sitä hyvin ja katkoitta, tai jotain tähän suuntaan. Harva tuntee tai käyttää kvantitatiivisia suureita, jotka kuvaavat luotettavuutta. • Moni insinööri tuntee autonsa huippunopeuden, polttoaineen kulutuksen j.n.e mutta ei osaa sanoa auton keskimääräistä vikaantumisväliä. Sen sijaan lähes jokaisella on mielikuvia eri automerkkien kestävyydestä, jotka perustuvat kuulopuheisiin tai yksittäisiin kokemuksiin, eivät siis mihinkään täsmälliseen tietoon. • On siten syytä useastakin syystä määritellä luotettavuus tieteellisesti ja kvantitatiivisesti. On usein sanottu, että et voi hallita, mitä et voi mitata. Monimutkaisten systeemien valmistuksessa luotettavuuden hallinta edellyttää, että luotettavuutta ja sen kehitystä voidaan mitata

5. johdanto… On muitakin syitä luotettavuuden mittaamiseen: esim. tuotetakuun keston määrittäminen ( autoille 3v tai 100 tkm), huolto-organisaation optimointi, varaosavaraston suuruuden optimointi. Määritelmä: Tuotteen luotettavuus on sen kyky suoriutua tehtävästään tiettynä aikana tietyssä ympäristössä. Luotettavuus ilmaistaan todennäköisyytenä. Määritelmässä esiintyy 4 tärkeää termiä: tehtävä, aika, ympäristö ja todennäköisyys. Tarkastellaan näitä lähemmin seuraavassa: Tehtävä. Luulisi olevan helppoa päättää, toimiiko tuote oikein vai eikö, mutta tämä aiheuttaa jatkuvasti ristiriitoja valmistajan ja asiakkaan välillä. Viaksi voidaan katsoa kaikki tapahtumat, jotka aiheuttavat ennalta suunnittelemattoman huoltotoiminnon, tai tapahtumat, jotka estävät laitteen toiminnan.

6. johdanto… Esim. jääkaapin tehtävä on pitää ruoka kylmänä. Mitä jos sen valo menee rikki? Harva pitäisi kaappia rikkinäisenä tästä syytä, mutta omistajaa tämä silti saattaa ärsyttää. Tämä osoittaa, että on olemassa ainakin kahdentasoisia vikoja yksinkertaisissakin laitteissa. Kuinka monitahoisempia viat ovatkaan monimutkaisemmissa laitteissa, kuten autoissa, j.n.e Tuotteen kehitysprojektin alussa onkin määriteltävä, mitä tarkoitetaan tuotteen toiminnalla ja vialla. Tuote voi vioittua joko särkymällä tai ikääntymisestä johtuvan kulumisen vaikutuksesta (jarrupalat) . Nämäkin tulee erottaa luotettavuusanalyysissä toisistaan. Ikääntymistä voidaan tarkastella kestävyysongelmana pikemminkin kuin luotettavuusongelmana. Tuotteen omistajan kannalta tosin käsitteiden sisältö on yhdentekevä, pääasia on koettu ja havaittu luotettavuus.

7. johdanto… Ympäristö. Tuotteen luotettavuus riippuu ympäristöstä. Siihen ei kuulu pelkästään ilmasto, vaan myös pakkaus, kuljetus ja varastointi asennus käyttäjä huoltoresurssit pöly, kemikaalit, saasteet Ympäristön tarkastelu on oleellinen osa luotettavuuden arviointia. Ilman sitä luotettavuusanalyysi olisi merkityksetöntä. Useilla tuotteilla suurimmat vioittumiset tapahtuvat matkalla tehtaasta loppukäyttäjälle. Varastoinnista esimerkkinä voisi olla esim. se, säilytetäänkö jotain pienkonetta kuivassa sisävarastossa vai puutarhavajassa. Asennus voi tietysti olla myös tilanne, jossa tuote vioittuu, jos asennusta ei tehdä huolella. Tuotteen suunnittelijan tulisi myös ottaa huomioon, että käyttäjiä on monenlaisia. Tuotetta testattaessa tulisikin testikäyttäjinä olla mieluummin muita kuin insinöörejä. Huoltoresurssit vaikuttavat tietysti myös tavoitetasoon luotettavuudessa. Esim. työmatka-autolta ei vaadita niin suurta luotettavuutta kuin esim. Saharassa käytettävältä maastoautolta. Pölyn, meren suolaisuuden läsnäolo vaikuttavat myös selvästikin tuotteen kykyyn suorittaa tehtävänsä luotettavasti.

8. johdanto… Aika. Luotettavuus alenee ajan mukana siinä mielessä, että tuotteen käyttöajan kasvaessa vian mahdollisuus usein kasvaa. Ajan tilalla voi olla jokin muukin suure, kuten esim. autolla kilometrit, tai starttimoottorilla käynnistykset, jne. • Tehtävä1: Kuvaa lyhyesti seuraavien laitteiden tehtävä ja ympäristöa) pakastin b) palohälytin c) urheilukentän valaistus • Tehtävä2: Usein on tarpeen luokitella vikoja niiden vakavuuden suhteen. Kuvaile seuraavien auton vikojen vakavuutta: • jarruvika b) ajovalon hehkun rikkoutuminen c) äänenvaimennin hajoaa • bensapumppu rikkoontuu e) renkaan tyhjeneminen f) renkaan tyhjeneminen, kun tunkki on pois matkasta. • Tehtävä3. Mitkä ovat palohälyttimen toiminnot? (Tarkastele sekä silloin kun palaa, ja kun ei pala) . Mitä arvoja pidät järkevinä luotettavuuden kannalta?

9. ”Reliability engineer” Teollisuudenaloilla, joissa luotettavuus on erityisen tärkeää, kuten ilmailu ja avaruusteollisuus, on yrityksillä usein erillinen luotettavuusosasto, joka on suht. itsenäinen suhteessa yritykseen johtoon: Esim. yritysjohdon ei tulisi voida painostaa luotettavuusinsinöörejä esim. vedoten dead line – seikkoihin tai taloudellisiin tekijöihin tinkimään luotettavuuden varmistamisesta. Luotettavuusosastolla tulisi olla veto-oikeus esim. jonkin lentokoneen tai avaruusaluksen käytölle, jos he eivät ole vakuuttuneet sen luotettavuudesta.

10. Klassinen todennäköisyys perustuu ns. alkeistapausten symmetrisyyteen esim. nopanheitossa alkeistapaukset 1,2,3,4,5 ja 6 ovat symmetriset, jokaisen todennäköisyys on 1 / 6, rahanheitossa kruunan TN on ½ samoin kuin klaavan, j.n.e Tilastollinen todennäköisyys toistamalla koetta riittävän monta kertaa saadaan tilastollinen todennäköisyys kaavalla P(A) = n(A) / n n(A) on onnistumisien lkm n = yritysten lukumäärä esim. erään tentin läpipääsyTN on 0.9 Todennäköisyyslaskennan perusteita (Basics of probability theory) klassinen ja empiirinen todennäköisyys Todennäköisyys on luku p, jolle 0 <= p <= 1

11. Kertolaskusääntö(product rule) • Kun kaksi tapahtumaa A ja B ovat riippumattomia toisistaan, niin TN sille, että molemmat tapahtuvat P (A ja B ) = P(A)* P(B) Esim. Jos TN sille, että Peugeot selviää Monte Carlo rallissa maaliin on 0.8, mikä on todennäköisyys sille, että tallin kaikki 3 autoa selviävät maaliin? Ratkaisu: P= 0.8 3 = 0.512 Komplementti: Olkoon A tapaus ja P(A) sen todennäköisyys. Tapausta ”A ei tapahdu” kutsutaan A:n komplementiksi ja merkitään A:lla. P(A) = 1 – P(A) TN sille, että Peugeot keskeyttää on siten 1 – 0.8 = 0.2. TN sille, että mikään Peugeot ei selviä maaliin on siten 0.2 3 = 0.008

12. Yhteenlaskusääntö (addition rule) Jos A ja B ovat erillisiä alkeistapauksia , niin tapauksen A tai B TN P (A tai B ) = P(A) + P(B) Jos A ja B eivät ole erillisiä, niin P(A tai B) = P(A) + P(B) – P(A ja B) Esim. Jos korttipakasta vedetään umpimähkään yksi kortti, niin TN sille, että kortti on arvoltaan välillä 2-4 tai kuvakortti on 12/52 + 12/ 52 = 24/52 TN sille, että kortinvedossa tulee musta kortti tai parillinen , on 26/52 + 24/52 – 12/ 52 = 38/52

13. Kombinatoriikkaa (combinatorics) Kertomafunktio n! = 1*2*…*n Permutaatio = järjestys Joukolla, jossa on n alkiota, on n! erilaista permutaatiota, ts. joukon alkiot voidaan asettaa n! eri järjestykseen Perustelu: Jonon ensimmäinen alkio voidaan valita n eri tavalla, seuraava n-1:llä, jne. Siten kombinaatioita on n*(n-1)*(n-2)* …*1 = n! Esim. Kirjaimista RAMK voidaan muodostaa 24 erilaista anagrammia. Kertomafunktio löytyy Mathematicassa muodossa Factorial[n]

14. Kombinaatiot (combinations) Olkoon joukossa E n alkiota. Joukon E mielivaltaista k:n alkion osajoukkoa kutsutaan k -kombinaatioksi. N:n alkion joukosta voidaan valita k:n alkion osajoukkoja eli k-kombinaatioita kappaletta Merkintä luetaan ”n alla k” ja sitä sanotaan Newtonin binomikertoimeksi. Se löytyy Pascalin kolmion n. riviltä , jossa se on k. alkio, jos laskenta aloitetaan nollasta. Newtonin binomikerroin löytyy useista laskimista , mm. TI-89 –laskimessa se on nCr(n,k). Mathematicassa binomikerrointa vastaa funktio Binomial[n,k]. Binomikerroin voidaan laskea tavallisella laskimella kaavasta = n! / (k!* (n-k)! ) tai supistettuna (n-k)! :lla n*(n-1)*…*(n-k+1)/ k!

15. Lotto Lotossa arvotaan 7 numeroa 39 mahdollisesta, joten erilaisia rivejä on nCr(39,7) = 15380937. Kun oikea rivi on selvillä, voidaan laskea kuinka paljon 6 oikein rivejä on olemassa: 7 oikeasta numerosta voidaan valita 6 oikeaa nCr(7,6) eli 7 eri tavalla, ja 32 väärästä yksi väärä 32 eri tavalla. 6 oikein rivejä on siten nCr(7,6)*nCr(32,1) = 7*32= 224 kpl 5 oikein rivejä on vastaavasti nCr(7,5)*nCr(32,2) = 10416 kpl 4 oikein rivejä on nCr(7,4)*nCr(32,3) = 173600 kpl Tässä vielä todennäköisyystaulukko: 7 oikein : 1/ 15 380 937 6 oikein: 224/ 15 380 937 5 oikein: 10416 / 15 380 937 = 0.07 % 4 oikein: 173 600 / 15 380 937 = 1.1 %

16. Diskreetit jakaumat (discrete distributions) Olkoon tilastollisen muuttujan x mahdolliset arvot x1,x2,…, xn, ja niiden todennäköisyydet p1, p2, …, pn. Tällöin arvojen ja niiden todennäköisyyksien muodostamien parien joukko muodostaa ns. diskreetin todennäköisyysjakauman. On ilmeistä, että  pi = 1 Jakauman odotusarvo, eli arvo, jonka muuttuja x keskimäärin saisi, kun koetta toistettaisiin äärettömästi, saadaan kaavalla  =  pixi Esim. Ulkoilmakonsertin järjestäjä saa voittoa 10000 € , jos ei sada, mutta tappiota on luvassa 25000 € , jos sataa. Sateen TN kyseisenä heinäkuun päivänä on tilastojen mukaan 30 %. Laske tuoton odotusarvo. Ratkaisu:  =  pixi = 0.7*10000 € + 0.3 * -25000 € = - 500 € - ei siis oikein kannattavaa riskinottoa

17. Binomijakauma (binomial distribution) Binomijakaumassa on kyseessä toistokoe, jonka todennäköisyys p on vakio ja tunnettu. Toistokoetta toistetaan n kertaa. Muuttuja k on onnistumisien lukumäärä. Tällöin Lisäksi voidaan osoittaa, että binomijakauman odotusarvo on saatavissa lyhyesti kaavalla  = n p

18. Esim. 5 –lapsisen perheen tyttöjen lkm Tyttölapsen saamisen todennäköisyys on ½ . Tarkastellaan 5-lapsisen perheen tyttöjen lukumäärän todennäköisyysjakaumaa. P(0) = ½ 5 = 1/32 P(1) = 5*1/25 = 5/32 P(2) = 10*1/25 = 10/32 P(3) = 10*1/25 = 10/32 P(4) = 5* 1/25 = 5/32 P(5) = ½ 5 = 1/32 Kertoimet tulevat Pascalin kolmion 5. riviltä: 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Tyttöjen lukumäärän odotusarvo on 1/32*0 + 5/32*1 + … + 1/32*5 = 2.5 Tämä tulos saataisiin myös binomijakauman kaavalla  = np = 5* ½ = 2.5

19. Ralliesimerkki Tarkastellaan maaliin tulleiden Peugeotien määrää eo. ralliesimerkissä. P(0) = 0.2 3 = 0.008 P(1) = 3* 0.8*0.22 = 0.096 P(2) = 3*0.82*0.2 = 0.384 P(3) = 0.8 3 = 0.512 Odotusarvo maaliin tulleiden Peugeotien määrälle on 0.008*0+0.096*1+0.384*2+0.512*3 (toisella tavalla = 3*0.8) = 2.4

20. VAKIO Vakiossa umpimähkään veikattaessa ottelun veikkaaminen oikein tapahtuu 1/3 todennäköisyydellä. Kohteita on 13 kpl, joten voidaan laskea todennäköisyyksiä 13, 12, 11,ja 10 oikein tuloksille , jne. P(13 oikein) = 1/3 13 = 1/ 1594323 P(12 oikein) = nCr(13,12)*1/312*2/3 = 23/ 1594323= P(11 oikein) = nCr(13,11)*(1/3)11*(2/3)2 = 312/1594323 = 0.02 % P(10 oikein) = nCr(13,10)*(1/3)10*(2/3)3 = 2288/1594323 = 0.14 % Umpimähkään veikkaajan odotusarvo on np = 13*1/3 = 4 1/3

21. Poisson- jakauma Joskus binomijakaumassa ei tunneta yksittäisen kokeen onnistumistodennäköisyyttä , vaan pelkästään pitkän aikavälin odotusarvo  tapahtumalle. Näin on esim. harvinaisissa tapahtumissa, kuten lentokoneiden onnettomuuksissa , maanjäristyksissä, jne. Tällöin tapahtumien lukumäärä k noudattaa Poisson – jakaumaa

22. Lento-onnettomuus • Boeing 707 –koneita putoaa vuosittain keskimäärin 2.5 kpl. Laske todennäköisyys sille, että ensi vuonna koneita • koneita ei putoaisi yhtään • koneita putoaisi vähintään 4 kpl Ratk. a) P(0) = e-2.5 * 2.50 / 0! = e-2.5 = 0.082 b) P(vähintään 4 ) = 1 - P(0)-P(1)-P(2)-P(3) = 0.24

23. Propability density function PDF jaCumulative Distribution Function CDF Funktiota , joka liittää jokaiseen satunnaismuuttujan x arvoon sen todennäköisyyden, kutsutaan todennäköisyyden tiheysfunktioksi (PDF). Esim. 5 lapsen perheen tyttöjen lukumäärän PDF voidaan esittää taulukkona x 0 1 2 3 4 5 PDF(x) 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32 Todennäköisyyden kertymäfunktio CDF(z) antaa todennäköisyyden sille, että muuttujan x arvo on < z, ts CDF(x) = P(x<z). Se saadaan laskemalla todennäköisyydet arvon z alapuolella yhteen. Yo. esimerkissä taulukko näyttäisi tältä: x 0 1 2 3 4 5 CDF(x) 1/32 6/32 16/32 26/32 31/32 32/32

24. Jatkuvat jakaumat – continuous distributions Tiheysfunktio PDF(x) eli f(x) Jatkuvissa jakaumissa satunnaismuuttuja x ei ole diskreetti vaan jatkuva. Muuttujan x eri arvojen todennäköisyyksiä kuvaa tiheysfunktio PDF(x), jota tässä merkitään lyhyesti f(x):llä. Todennäköisyys sille, että x on välillä [x,x+ dx] on f(x)dx . Analogisesti diskreetin tapauksen kanssa Odotusarvo. Diskreetissä tapauksessa odotusarvo  =pixi . Jatkuvan jakauman odotusarvo saadaan vastaavasti integraalista

25. Kertymäfunktio CDF(x) eli (x) Kertymäfunktio summaa todennäköisyydet arvoon x saakka kaavalla Siten todennäköisyys sille, että muuttuja x saa arvon, joka on enintään z P(x<z) =  (z) Todennäköisyys sille, että x:n arvo on vähintään z on vastaavasti P(x>z) = 1 - (z) Todennäköisyys, että x on välillä [a,b] P(a< x < b) = (b) - (a)

26. Tasainen jakauma (Uniform distribution) Bussit tulevat pysäkille 5 minuutin välein. Henkilö A tulee pysäkille satunnaisesti. Määritä hänen keskimääräinen odotusaikansa. Tiheysfunktio f(x) = a , kun 0 < x < 5 , muuten f(x) = 0 . Koska pinta-alan f(x):n alla on oltava 5, on vakio a = 1/5 . Kysytty odotusarvo on siten f(x) 1/5 t 5min

27. Gaussin normaalijakauma Usein käytetty jakauma on Gaussin normaalijakauma. Monet satunnaismuuttujat, joiden arvo riippuu useista riippumattomista tekijöistä noudattavat kohtuullisen hyvin Gaussin jakaumaa: esim. pituus, paino,… Gaussin jakauman tiheysfunktio on Integroimalla saadaan jakauman odotusarvoksi  ja keskihajonnaksi 

28. Eksponenttijakauma todennäköisyystiheysfunktio f(x) =  e-  x , x> 0 kertymäfunktio odotusarvo Esim. jonkin komponentin elinikä voi noudattaa eksponenttijakaumaa, jossa parametri  on siten keskimääräisen eliniän MTTF käänteisluku

29. Keskihajonta (Standard deviation) Jakaumaa kuvaavista tunnusluvuista odotusarvon jälkeen seuraavaksi tärkein on keskihajonta, joka kuvaa, kuinka miten satunnaismuuttujan todennäköisyystiheysfunktio on jakautunut odotusarvon ympärille. Esim. Gaussin jakaumassa keskihajonta antaa säteen odotusarvon ympäriltä, jonka sisällä on n. 68% todennäköisyysmassasta. Keskihajonta diskreetin jakauman tapauksessa :  =  pi (xi- )2 Vastaavasti jatkuvalle jakaumalle

30. Ehdollinen todennäköisyys (Bayesin kaava) Esimerkki. Tiedetään, että jos verikoe on positiivinen, henkilöllä on eräs sairaus 80% todennäköisyydellä, jos koe on negatiivinen, sairauden todennäköisyys on 5 %. Testatuista 70 % saa positiivisen testituloksen. Millä todennäköisyydellä testiin osallistuva henkilö on sairas? 70% Jos koko pinta-ala = 1, niin maalattu alue on kooltaan 0.7*0.8 + 0.3*0.05. Se edustaa kysyttyä todennäköisyyttä ja on arvoltaan 0.575

31. Bayesin kaava Jos tapahtuman A todennäköisyys ehdon E ollessa voimassa on P(A|E) ja sen todennäköisyys, kun ehto ei ole voimassa on P(A|~E). niin tapahtuman A todennäköisyys on P(A) = P(E) * P(A|E) + (1-P(E)) * P(A|~E)

32. Luotettavuus todennäköisyytenä Luotettavuus määriteltiin todennäköisyytenä, joka riippuu ajasta. Laitteen käyttöiän kasvaessahan sen toimintatodennäköisyys pienenee. Esimerkki: Oletetaan, että 100 kpl komponentteja asetettiin testiin, jossa mitattiin niiden vikaantumisaikoja. Testin tulokset olivat seuraavat: viikot vikaantuneet kpl

33. vikaantumistodennäköisyydet fi Jakamalla vikojen määrät kunakin viikkona testattavien komponenttien kokonaismäärällä, saadaan tilastolliset todennäköisyydet vikaantumisille viikottain vikatiheys (failure density )

34. Vikakertymä (Failure function) Lasketaan vikaantumistodennäköisyyden kertymäfunktio, joka kuvaa todennäköisyyttä sille, että komponentti on rikkoontunut tiettyyn ajankohtaan mennessä. Funktiota merkitään F :llä failure function F(t)

35. Luotettavuusfunktio R (reliability fuction) Luotettavuus R on todennäköisyys, että komponentti toimii hetkellä t , ts. TN sille, että komponentti ei ole vikaantunut hetkeen t mennessä reliability function R(t) = 1 – F(t)

36. vikataajuus  (failure rate) vikataajuus  kuvaa vikaantumisten suhteellista määrää vielä toimivista testattavista komponenteista. Parametri on tärkeä, koska sen arvoista voidaan päätellä, milloin komponenttien käyttöikä alkaa olla lopussa. vikataajuus  = f / R taulukossa havaitaan vikatiheyden nousua erityisesti 12 viikon jälkeen

37. Kylpyammekäyrä (Bathtub curve) Useille koneille on tyypillistä seuraavanlainen vikataajuuden  muoto, jota kutsutaan kylpyammekäyräksi. Alkuvaiheen suuri vikataajuus johtuu uuden tuotteen valmistusvioista, ns. lastentaudeista. Loppuvaiheen vikatiheyden nousu on ilmausta koneen käyttöiän lähenemisestä loppuaan. Tällöin olisi syytä laite vaihtaa uuteen. vikataajuus ajan funktiona  ikääntymisvaihe lastentauti-vaihe käyttövaihe t ”bathtub curve ”

38. keskimääräinen vikaantumisaika MTTF( mean time to failure ) Testikomponenttien keskimääräinen elinikä saadaan keskiarvokaavalla MTTF =  =  f i x i eli tässä testissä MTTF = 0.02*1+0.03*2+ 0.005*3 + …. + 0.01*25 = 9.0 viikkoa Huom. Kertakäyttöisille komponenteille käytetään käsitettä MTTF = mean time to failure = keskimääräinen vikaantumisaika ja korjattaville komponenteille MTTB = mean time between failures = keskimääräinen vikaantumisväli