Metoda konačnih volumena za probleme difuzije

1. Metoda konačnih volumena za probleme difuzije Uspostavljamo numeričku metodu baziranu na integraciji, tzv. metoda konačnih volumena (eng: finitevolume) ili kontrolnih volumena (eng: controlvolume). Prvotno analiziramo najjednostavniji slučaj pronosa: stacionarana čista difuzija. Jednadžba procesa za stacionarnu difuziju može se jednostavno izvesti iz opće jednadžbe pronosa za karakteristikukroz zanemarenjetranzijentnog i konvektivnog člana. Time se dobiva: Integracija po kontrolnom volumenu, koja je ključni korak u uspostavi metode konačnih volumena, (za razliku od ostalih CFD tehnika) poprima slijedeću formu : Uvodimo odgovarajuće tehnike u svrhu iznalaženja tzv. diskertizacijskih izraza za jednadžbu jednodimenzionalne stacionarne difuzije. (0) GGO transformacija

2. Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju • Promatramo stacionarnu difuziju karakteristike u jednodimenzionoj domeni . Primjer: jednodimenzionalno vođenje topline u štapu. • Jednadžba procesa glasi: • -koeficijent difuzije; S – član izvora; Rubne vrijednosti zau točkama A i B (pretpostavljamo da je to poznato). • Prvo dijelimo prostornu domenu u niz diskretnih konačnih volumena. Rubovi (granice ili lica) kontrolnih volumena su pozicionirane na sredinu između dva susjedna čvora. Svaki čvor je okružen sa kontrolnim volumenom (ćelijom).

3. Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju Uobičajena konvencija za sustav notacije u FVima formu: Opći čvor (točka) je identificirana sa P a njegovi susjedi u 1D geometriji, čvorovi nazapadnui istočnu stranu, su identificirani saoznakama Wi E. Rub na zapadnoj strani kontrolnog volumenaje označeno saw a na istočnoj stranisa e. Udaljenosti između čvorovaW i P,te izmeđuP iE, su označene saxWP i  xPE. Udaljenosti između rubova w i točkeP te izmeđutočke Pi rubae su označena sa xwPi xPe. Širina kontrolnog volumena jeΔx =  xwe.

4. Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju Ključni korak u metodi konačnih volumena je integracija jednadžbe procesa po kontrolnom volumenu u svrhu dobivanja diskretizacijskih jednadžbi za čvornu točku P. A – Površina presjeka lica kontrolnog volumena; ΔV - volumen; - Srednja vrijednost intenziteta izvora S po kontrolnom volumenu Kako bi se izvela korisna forma diskretizacijske jednadžbe potrebno je definirati koeficijent difuzije tegradijentd/dxna rubovima e i w. Vrijednosti  i  su definirane i evaluirane u čvorovima. Za proračun gradijenata (protoka) na rubovima kontrolnog volumena koristi se odgovarajuća aproksimativna raspodjela karakteristike (linearna – najjednostavnija) između čvornih vrijednosti. Primjena takve prakse naziva se metoda centralnih diferencija. (1)

5. Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju U proračunskoj mreži sa jednolikom prostornom raspodjelom čvorova vrijednost linearne raspodjelezaw ieje dana izrazima: Član difuzivnog protoka je evaluiran jednakostima: U praktičnim situacijamačlan izvora S može biti i funkcija zavisne varijable. U takvim slučajevimametoda konačnih volumena aproksimira član izvora s linearnom formom: Supstitucijomjednadžbi3,4,5 u jednadžbu1dobiva se 6,a daljnjom manipulacijom i jednadžba 7: (2a) (2b) (3) (4) (5) (6) (7)

6. Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju Primjenom simbolnih oznaka aW, aEi aP za koeficijente uz W,EiPu jednadžbi7može se pisati : Vrijednosti za Sui Spmogu se dobiti iz modela izvora 5. Jednadžbe8i5 predstavljaju diskretiziranu formu jednadžbe 0. Diskretizacijska jednadžba tipa 8 mora se postaviti za svaki čvor kako bi se moglo dobiti rješenje. Za kontrolni volumen neposredno uz granicu domene, generalna diskretitacijska jednadžba 8 je modificirana s ciljem uvlačenja (inkorporiranja) rubnog uvjeta. Rezultirajući sustav linearnih algebarskih jednadžbi je potrebno rješiti za iznalaženje raspodjele karakteristike u čvornim točkama. Bilo koja prigodna tehnika rješavanja matričnog sustava se može koristiti za tu zadaću. (8)

7. PRIMJER 1 – 1D stacionarna difuzija Rješenje jednostavnog problema difuzije uključujući pronos topline kondukcijom(vođenjem) i daje se u nastavku. Jednadžba procesa kojom se opisuje 1D stacionarno vođenje glasi: Termalna vodljivostk zauzima mjestiod u jednadžbi 1 a ovisna varijabla je temperatura T. Član izvora može biti toplina generirana električnom energijom koja prolazi kroz štap. Prvo analiziramo slučaj vođenja topline u izoliranom štapu bez člana izvora(eng: source-free). Na rubovima su konstantne temperature od 100°C i 0°C. 1D problem skiciran na slicije opisan jednadžbom: Potrebno je proračunati raspodjelu temperature u štapu. Toplinskavodljivost k iznosi 1000 W/mK, a konstantna površina poprečnog presjekaA definirana je sa vrijednosti1m2. (9) (10)

8. PRIMJER 1 – 1D stacionarna difuzija Ukupnu duljinu štapa dijelimo na 10 kontrolnih volumena (x = 0.1 m). Proračunska mreža sadrži 10 čvorova. Čvorovi 2-9imaju susjedne čvorove s lijeve i desne strane s odgovarajućim vrijednostima temperatura. Shodno tome,diskretizacijske jednadžbeoblika 7 mogu se zapisati za kontrolni volumen omeđen sa tim čvorovima: Toplinska vodljivost (ke = kw = k), udaljenost među čvorovima (x) i poprečni presjeci (Ae = Aw = A) su konstantni. Prema tome, jednadžba za čvorne točke 2-9je:

9. PRIMJER 1 – 1D stacionarna difuzija Čvorovi 1 i 10 su rubni čvorovi. Integracija jednadžbe 10 po kontrolnom volumenu oko čvora 1 daje jednadžbu 11. Protok kroz rub kontrolnog volumena A aproksimiran je usvajanjem pretpostavke linearnih odnosa između temperature u rubnoj točki A i čvoru P.Jednadžba11može se preformulirati da se dobije izraz 12. Usporedimo jednadžbu 7 sjednadžbom12.Rubni uvjet izražen je s konstantnom temperaturomi unosi se u proračunkao član izvora (Su + SPTP)sa Su=(2kA/x)TAiSP=−2kA/x. Poveznica sa zapadnim rubomje ukinuta postavljanjem koeficijenta aWjednakim nuli. Kako bi se dobila diskretizacijska jednadžba za rubni čvor 1 koristi se jednadžba12. Nakon njenog preuređenjadobiva se slijedeća forma: (12) (11)

10. PRIMJER 1 – 1D stacionarna difuzija Kontrolni volumen oko čvora 10 tretira se na sličan način. Njegova diskretizacijska jednadžbaima oblik: Kao i u prethodnom slučaju, pretpostavlja se linearna raspodjela temperature između čvora P i rubne točke Bza aproksimaciju protoka topline kroz rub kontrolnog volumena. Jednadžba13 može se preurediti: Diskretizacijska jednadžba za čvor 10je: Proces diskretizacije rezultira jednom jednadžbom za svaki čvor 1 -10. Unosom zadanih vrijednosti dobiva sekA/x = 10, te su stvoreni preduvjeti za iznalaženja koeficijenata u diskretizacijskim jednadžbama. (13)

11. PRIMJER 1 – 1D stacionarna difuzija Rezultantni sustav algebarskih jednadžbi za ovaj primjer glasi: Točno rješenje je linearna distribucija između specificiranih temperatura na rubovima. Numeričkim modelom proračunate vrijednosti koincidiraju sa točnim (analitičkim) rješenjem.

12. PRIMJER 2 – 1D stacionarna difuzija Analiziramo problem u kojem je uključen izvor drugačiji od onog koji je primijenjen za definiranje rubnih uvjeta u prethodnom primjeru. Slika prikazuje veliku ploču debljine L = 10cm(0.1m) s konstantnom toplinskom vodljivosti k = 1 W/mKi jednolikog generiranja toplineq = 150kW/m3. Rubovi (lica)A i B izloženi su konstantnim temperaurama od 100°C i 0°C. Dimenzije u y i zsmjeru su toliko velike da je temperaturnigradijent uxsmjeru jedini relevantan. Jednadžba procesa izražena je izrazom 16. Domena je podijeljena u 10 kontrolnih volumena sa x = 0.01 m; Promatra se jedinična površina u y–zravnini. (16)

13. PRIMJER 2 – 1D stacionarna difuzija Formalna integracija jednadžbe procesa po kontrolnom volumenu daje: Tretman prvog člana gornje jednadžbe istovjetan je kao i u prethodnom primjeru. Drugi integral je član izvora, a procjenjujese proračunomsrednjeg generiranja ( ) u svakom kontrolnom volumenu. Jednadžba17 može se zapisati: Gornje jednadžbe mogu se preurediti na način: Ta jednadžba u općem slučaju poprima oblik iskazan izrazom 8: (17) (18) (19) (20) (21)

14. PRIMJER 2 – 1D stacionarna difuzija Jednadžba 21je važeća za kontrolne volumenekoji pokrivaju “unutrašnje” čvorove 2 - 10. Za implementaciju rubnih uvjeta na poziciji rubnih čvorova 1 i 10 primjenjujemo linearnuaproksimacijuza temperature između rubnihtočaka i susjednih čvorova (rubnih čvorova). U čvoru 1 temperatura na zapadnoj granici je poznata. Integracija jednadžbe 16po kontrolnom volumenu oko čvora 1 daje 22 a linearna aproksimacija za temperature između A iPdaje 23: Gornja jednadžba može se preurediti koristeći uvjetke = kA = ku cilju dobivanja diskretizacijske jednadžbe za rubni čvor 1: (22) (23) (24)

15. PRIMJER 2 – 1D stacionarna difuzija Za rubni čvor 10, temperatura na istočnom rubu kontrolnog volumena je poznata. Čvor je tretiran na sličan način kao i rubni čvor 1. Za rubni čvor 10 imamo: Uvrštavanjem numeričkih vrijednosti za A = 1m2, k = 1 W/mK, q = 150kW/m3 ix = 0.01m dobivaju se koeficijenti diskretizacijskih jednadžbi (vidi tablicu). (26) (25)

16. PRIMJER 2 – 1D stacionarna difuzija Analitičko rješenje dobiva se dvostrukom integracijom jednadžbe 16po x uz zadane rubne uvjete. Time se dobiva izraz : Usporedba numeričkih i analitičkih rezultata dana je na slici.

17. Metoda konačnih volumena (FV) za 3D stacionarnu difuziju Stacionarni slučaj difuzije u 3Dje definiran jednadžbom: 3D proračunska mreža je korištena za diskretizaciju prostorne domene. Tipični kontrolni volumen je prikazan na slici. (27) Pripadna ćelija za P sada ima šestsusjednih čvorovaidentificiranih kao W (zapad), E (istok), S (jug), N (sjever), B (dno)i T (vrh). Kao i prije, notacijaw, e, s, n, b te t je korištena za odgovarajuće rubove (lica) ćelija. Integracija jednadžbe 27po 3D kontrolnom volumenu daje izraz 28: (28)

18. Metoda konačnih volumena (FV) za 3D stacionarnu difuziju Ponavljajući proceduru izvedenu za 1D slučaj dobiven je diskretizirani oblik jednadžbe 28 u slijedećoj formi: Izraz 29 može se srediti da daje diskretizacijsku jednadžbu za “unutrašnje” čvorove: Rubni uvjeti se mogu uvući prekidanjem veza sa odgovarajućim rubovima (licima)te modifikacijom člana izvorana već prethodno prikazan način. (29)