Náhodný jav Náhodná veličina

1. Náhodný javNáhodná veličina Vlastnosti PopiS Zákon rozdelenia

2. Náhodný jav • Náhodný jav charakterizuje výsledok náhodného pokusu: • kvalitatívne – slovne • kvantitatívne – číselne • Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu

3. Náhodná veličina • Je určená výsledkom náhodného pokusu • Charakteristickým znakom je jej premenlivosť pri opakovaní pokusu • Môže nadobúdať rôzne hodnoty alebo hodnoty z rôznych intervalov Diskrétna náhodná veličina Spojitá náhodná veličina

4. Diskrétna Náhodná veličina Môže nadobúdať konkrétnu hodnotu z otvoreného alebo uzatvoreného intervalu Izolované, väčšinou celočíselné hodnoty Príklady: • Počet narodených chlapcov zo 100 narodených detí je NV, ktorá nadobúda akúkoľvek náhodnú hodnotu od 0 po 100 • Počet chybných výrobkov v sklade (obmedzený počet, závisí od kapacity skladu) • Počet zákazníkov, ktorý prídu do obchodu za jeden deň (je to vždy obmedzený počet) • Odmeraný smer na stanovisku • Adičná konštanta

5. Spojitá náhodná veličina Hodnoty z konečného alebo nekonečného intervalu, ktorých počet je nekonečný Príklady: • Ak meriame dĺžku s presnosťou ±5 mm, potom chyba, ktorej sa pri meraní dopustíme je spojitá NV a môže nadobúdať akékoľvek hodnoty z intervalu ±5 mm • Doba čakania na autobus na zastávke je spojitá NV, lebo môže nadobudnúť akékoľvek nezáporné hodnoty • Časový interval medzi prichádzajúcimi vlakmi v metre • Dĺžka náhodne vybranej tetivy v kružnici (body A, B)

6. Zákon rozdelenia NV • Je pravidlo, podľa ktorého sa priraďuje náhodnej veličine pravdepodobnosť P(x) • Označenie náhodnej veličiny: X • Číselné hodnoty, ktoré nadobúda náhodná veličina: xi (x)

7. Popis zákona rozdelenia pravdepodobnosti NV • Matematickým vzorcom • distribučná funkcia F(x) – u spojitej aj diskrétnej NV • Grafom • na osi x sú hodnoty náhodnej veličiny xi a na osi y sú jej príslušné pravdepodobnosti P(xi) • Pravdepodobnostnou tabuľkou • u diskrétnej náhodnej veličiny

8. Distribučná funkcia • Slúži k popisu diskrétnej aj spojitej NV • Každému reálnemu číslu priraďuje pravdepodobnosť, že náhodná veličina X nadobudne hodnotu menšiu než toto číslo

9. Vlastnosti distribučnej funkcie • Distribučná funkcia nadobúda hodnoty od 0 do 1 vrátane • Distribučná funkcia je neklesajúca • Distribučná funkcia je spojitá zľava • Každá distribučná funkcia spĺňa podmienky

10. Graf distribučnej funkcie Zodpovedá v popisnej štatistike grafu kumulatívnych relatívnych početností

11. Popisuje len diskrétnu náhodnú premennú Je najjednoduchšou formou zákona rozdelenia Ku všetkým možným hodnotám diskrétnej veličiny priraďuje zodpovedajúce pravdepodobnosti Pravdepodobnostná tabuľka

12. Vlastnosti pravdepodobnosti diskrétnej NV Súčet pravdepodobností je rovný 1 Pravdepodobnosť je určená vzťahom Pravdepodobnosť diskrétnej náhodnej veličiny v intervale je daná vzťahom

13. Spojitá náhodná veličina • Distribučná funkcia spojitej náhodnej veličiny

14. Hustota pravdepodobnosti • zobrazuje sa frekvenčnou krivkou • popisuje rozdelenie spojitej NV • má podobné vlastnosti ako pravdepodobnosť pri diskrétnej veličine

15. Vlastnosti hustoty pravdepodobnosti • Je nezáporná • Spĺňa vzťah • Pravdepodobnosť, že NV nadobudne hodnoty z intervalu <x1,x2>

16. Distribučná funkcia a hustota pravdepodobnosti

17. Charakteristiky náhodných veličín Číselné hodnoty, ktoré popisujú rozdelenie náhodných veličín Popisujú hlavné vlastnosti náhodnej veličiny • Charakteristiky polohy • Charakteristiky premenlivosti • Charakteristiky šikmosti • Charakteristiky špicatosti • Momentové charakteristiky

18. Charakteristiky polohy • Stredná hodnota • Medián • Modus • Harmonický priemer • Geometrický priemer • Aritmetický priemer • Kvadratický priemer • ...

19. Stredná hodnota Popisuje polohu náhodnej veličiny, teda stred celého rozdelenia Stredná hodnota diskrétnej náhodnej veličiny Stredná hodnota spojitej náhodnej veličiny

20. Vlastnosti strednej hodnoty • Súčin konštanty a náhodnej veličiny • Súčet dvoch náhodných veličín x a y • Súčin dvoch nezávislých náhodných veličín

21. Medián je hodnota, ktorá delí súbor náhodnej veličiny na dve rovnako pravdepodobné polovice Medián

22. Modus Modus u diskrétnej náhodnej veličiny je hodnota s najväčšou početnosťou

23. Aritmetický priemer • je to zvláštny prípad strednej hodnoty • Všeobecný aritmetický priemer (vážený aritmetický priemer)

24. je to zvláštny prípad strednej hodnoty recipročných hodnôt Príklad: priemerná rýchlosť Harmonický priemer

25. Geometrický priemer • Príklad: finančný prírastok

26. Kvadratický priemer • Príklad: priemerná hodnoty výroby elektrickej energie

27. Momentové charakteristiky • Počiatočný moment k-teho rádu • Centrálny moment k- teho rádu

28. Momenty diskrétnej náhodnej veličiny

29. Momenty spojitej náhodnej veličiny

30. Charakteristiky premelivosti • Variancia • Smerodajná odchýlka (stredná kvadratická odchýlka) • Priemerná odchýlka • Pravdepodobná odchýlka

31. Variancia (rozptyl, disperzia) je mierou variability náhodnej premennej je definovaná ako druhý centrálny moment

32. Vlastnosti variancie • Variancia konštanty • Variancia súčinu konštanty a náhodnej veličiny • Variancia súčtu alebo rozdielu dvoch nezávislých NV

33. Smerodajná odchýlka • Základná charakteristika premenlivosti • Štandardná odchýlka

34. Priemerná lineárna odchýlka • Prvý absolútny centrálny moment

35. Pravdepodobná odchýlka • medián absolútnych odchýliek od strednej hodnoty

36. Normovaná náhodná veličina • Normovaná (štandardizovaná) veličina • Stredná hodnota normovanej veličiny • Variancia normovanej veličiny

37. Charakteristiky šikmosti • Tretí normovaný moment • Koeficient šikmosti • Symetrické rozdelenie:

38. Charakteristiky špicatosti • Štvrtý normovaný moment • Koeficient špicatosti • Pre normálne rozdelenie je rovný 0 • Pre E>0 je rozdelenie špicatejšie ako normálne • Pre E<0 je rozdelenie menej špicaté ako normálne