Calcolo delle Probabilità

1. Calcolo delle Probabilità

2. Introduzione • Fenomeno deterministico: se l’esperimento è condotto nelle stesse condizioni si trova lo stesso risultato • Esempi: • Moto di un grave • Traiettoria di una pallina in un biliardo • Fenomeno non deterministico: anche se gli esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni si trovano risultati diversi • Esempi: • Risultato del lancio di una moneta • Traiettoria di 100 palline in un biliardo • Vincita in una lotteria • Numero di lanci di un dado per ottenere un 6 La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici

5. Spazio campione: • Insieme S di tutti i risultati dell’esperimento • Esempio: • Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce} • Nel caso dei numeri di lanci di un dado necessari per avere 6 S=N (numeri naturali)

6. E3 E1 E5 E6 E2 E4

7. Gli eventi semplici sono costituiti da uno solo dei possibili risultati di un esperimento aleatorio. • Gli eventi composti sono costituiti da da più di uno dei possibili • risultati di un esperimento aleatorio. • Un evento composto può sempre essere scomposto in eventi • semplici. Se un evento non risulta ulteriormente scomponibile • è per definizione un evento semplice.

8. E Fenomeno casuale Evento elementare Spazio Campionario Un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario, ovvero un insieme di eventi elementari Evento Si usa dire che l’evento E si è realizzato se il fenomeno si manifesta con uno degli eventi elementari che appartengono ad E

9. E = , E Si realizza se viene faccia 3 o faccia 6 A = , , Modi di descrivere l’evento B = , , Lancio di un dado Faccia “pari” Faccia “dispari”

11. Si dice infinito non numerabile uno spazio campione i cui eventi semplici sono tali per cui, fissati due di essi, è sempre possibile determinarne almeno un terzo intermedio. Esempio. Lo spazio costituito dagli eventi “esatto momento della nascita” è uno spazio infinito non numerabile. Infatti, prese due qualunque persone nate ognuna in un certo momento, è sempre possibile individuarne una terza la cui nascita si colloca tra le due precedenti.

12. Si possono distinguere tre tipi di spazio campione: - spazio campione finito - spazio campione infinito numerabile - spazio campione infinito non numerabile

14. Fenomeno casuale o prova P Finito Evento elementare Infinito 0 max Lancio di un dado Spazio campionario (campione) Durata di una lampadina

16. Gli eventi mutuamente esclusivi possono essere rappresentati da insiemi disgiunti.

19. Eventi incompatibili B A A Eventi incompatibili

20. B B A A Eventi incompatibili Partizione di A Partizione di uno spazio campionario

21. B A Partizione di a) b) Partizione di uno spazio campionario Partizione finita Partizione infinita

22. Partizione dello Spazio Campionario Si dice che gli eventi A1,…,Ak appartenenti ad W formano una partizione dello spazio campionario se: (1) (2) cioè se sono a due a due incompatibili e necessari.

23. Unione Intersezione Proprietà Commutativa Idempotenza Associativa Distributiva Inoltre, si ha:

24. Leggi di De Morgan

26. Probabilità • Ogni tentativo di dare una definizione rigorosa dei concetti probabilistici più elementari si trova di fronte ad un problema; infatti, non solo esistono differenti formalizzazioni e assiomatizzazioni della probabilità ma a queste corrispondono, in generale, molteplici nozioni intuitive di probabilità spesso assai diverse fra loro. • Al di la delle differenze di carattere formale un elemento comune posseduto da tutte le forme di probabilità riguarda il suo significato intuitivo di valutazione della possibilità che un dato evento possa accadere o meno.

27. DEFINIZIONE DI PROBABILITA’ • A priori (o matematica, o classica, o di Pascal) • A posteriori (o statistica, o frequentistica, o legge empirica del caso) • Soggettiva Probabilità:regola che a ogni evento E associa un numero reale compreso tra 0 e 1 p: E p(E)

28. Definizioni di probabilità: Classica (Pascal) Se un evento si può verificare in N modi mutuamente esclusivi ed ugualmente probabili, se m di questi possiede una caratteristica E, la probabilità di E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il totale dei casi possibili (tutti equiprobabili)

29. Esempi • Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}. • p(Testa)=1/2 (casi favorevoli 1, possibili 2) • Lanciamo due dadi e calcoliamo la probabilità che la somma dei punti sia 4 Per semplicità scriviamo i numeri estratti come coppie: Le coppie di 6 numeri sono 6 * 6= 36 = numero di casi possibili; I casi favorevoli sono dati dalle coppie (1,3), (2,2) e (3,1) e sono quindi 3. Pertanto p(somma 4 in 2 lanci)=3/36=1/12

30. Discussione • Problemi della definizione classica: • non sempre posso dire che eventi sono equiprobabili (asimmetrie - esempio: ho un dato truccato) • il numero di casi deve essere finito • Aspetti positivi: • è una definizione operativa Determinazione della probabilità usando il calcolo combinatorio Definizione assiomatica

31. Assiomi del Calcolo delle Probabilità. Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi: 1. 2.

32. Probabilità L’area complessiva è uguale a 1 • L’interpretazione geometrica 1  L’area di un insieme di superfici che non si sovrappongono è la somma delle aree delle singole superfici 3 L’area di ogni sottoinsieme è sicuramente positiva 4 2

33. Operazioni sugli eventi (sugli insiemi) Se un insieme E non contiene nessun elemento (evento elementare) viene detto insieme vuoto e si indica con

34. Unione di insiemi (o eventi) B A A A A A A

35. E = , A = , , , , , Lancio di un dado

36. Unione B B A A C C Associativa Commutativa Ecc.

37. B A A A A A A A A Intersezione

39. B B A A C C Intersezione Associativa Commutativa Ecc.

40. A Negazione

41. Teoremi fondamentali del C.P. Siano A e B due eventi incompatibili allora Teo.1. Teo.2. Teo.3. Teo.4.

42. Definizione frequentistica (o a posteriori) Richard von Mises Si ripete un esperimento N volte e se un evento con una certa caratteristica E si verifica m volte, la frequenza relativa di successo è f(E) dà una stima per la probabilità di E

43. In base all’impostazione frequentista, per probabilità di un evento si intende il limite a cui tende la frequenza relativa delle prove in cui l’evento si verifica, quando il numero di prove tende all’infinito: con s = numero di “successi” e n = numero di prove.

44. Problemi della definizione frequentistica: • In situazioni concrete il passaggio al limite su cui si basa la definizione non può essere effettuato • È necessario ripetere l’esperimento un gran numero di volte

45. Definizione soggettiva (o bayesiana) Bernoulli, De Finetti Probabilità: grado di fiducia che una persona ha nel verificarsi dell’evento. Prezzo p che si è disposti a pagare per ricevere 1 se l’evento si verifica e 0 se non si verifica. Esempio: se lancio un dado il prezzo equo per la scommessa “esce il 4” dipende dalle informazioni di cui si dispone; se il dado non è truccato si può assumere p=1/6 • Problemi della definizione soggettiva: • Non è operativa • Una valutazione soggettiva non è necessariamente obiettiva

46. Definizione di probabilità. Def. 4. Classica La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili. Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso). In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità. L’approssimazione si riduce al crescere del numero di prove. Def. 6. Soggettivista. La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento.

47. ESERCIZI

48. A volte puo essere difficile, o almeno noioso, determinare per elencazione diretta gli elementi di uno spazio campione finito. CALCOLO COMBINATORIO • Disposizioni semplici • Disposizioni con Ripetizione • Permutazioni semplici • Permutazioni con oggetti identici • Combinazioni Semplici • Combinazioni con Ripetizione

49. Calcolo Combinatorio Problema: determinare il numero di elementi di un insieme finito elenco diretto (lungo!) Esempio:in un menù ho 3 antipasti, 2 primi, 4 secondi. Quanti sono i possibili pasti completi (includono tutte le 3 portate - scelte una sola volta)? Diagramma ad albero

50. Diagramma ad albero S1 S2 P1 S3 A1 S4 P2 ………. ………. ……….. A2 P1 P2 P1 A3 P2 3 x 2 x 4 = 24 pasti completi