Calcolo delle Probabilità seconda parte

Calcolo delle Probabilitàseconda parte Istituzioni di Matematiche Scienze Naturali

Probabilità condizionata e indipendenza stocastica Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere. Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive senza reimbussolamento una pallina rossa e poi una nera: A:=estraggo una rossa B:=estraggo una nera p(A)=15/20=3/4 La probabilità di estrarre una nera dopo aver estratto una rossa è 5/19. La conoscenza dell’evento A ha ridotto lo spazio dei campioni Dati due eventi A e B si dice probabilità di B condizionata ad Ap(B|A) la probabilità di B calcolata sapendo che si è verificato A. (E’ ovvio che si può definire una probabilità condizionata al verificarsi di A soltanto se A è possibile.)

p(B|A) = 5/19 La probabilità di estrarre prima una rossa e poi una nera è p(AB)=p(A)p(B|A)=3/4*5/19=15/76 Regola di moltiplicazione:

p(B|A) in funzione di p(A) e p(AB) se p(A)≠0 Esempio: trovare la probabilità che con un lancio di un dado si ottenga un numero < 5, sapendo che il risultato del lancio è dispari B:={ottengo un numero < 5} A:={ottengo un dispari} p(B)=2/3, p(A)=1/2, A B={1,3}, p(A B)=1/3 p(B|A)=p(A B)/p(A)=(1/3)/(1/2)=2/3

Esercizio La seguente tabella rappresenta la frequenza mensile in cui dei ragazzi vedono il telefilm “Friends” Numero di volte al mese Maschi Femmine Totale 0 4 5 9 1 - 5 7 9 16 6 - 10 21 23 44 11 - 15 11 9 20 >15 3 5 8 Totale 46 51 97 • Scelgo una persona a caso. • Qual è la probabilità che non veda mai il telefilm? p(0)=9/97 • Se è un maschio, qual è la probabilità che non veda mai il telefilm? p(0|M)=4/46

Indipendenza stocastica Se per due eventi A e Bp(A|B)=p(A) si dice: l’evento A è stocasticamente indipendente da B • Esempi: • Nell’esercizio precedente: non vedere mai il telefilm “Friends” ed essere maschio non sono stocasticamente indipendenti • Siano A:={una persona è alta più di 1 metro e 75} • B:={una persona non mangia Nutella} • Supponiamo che p(A)=0.5, p(B)=0.3, p(AB)=0.15 • Allora p(A|B)=p(AB)/p(B)=0.15/0.3=0.5=p(A) • Dunque A è stocasticamente indipendente da B. Nota:p(B|A)=p(AB)/p(A)=0.15/0.5=0.3=p(B) anche B è stocasticamente indipendente da A. Questo non è casuale: A è stoc. indipendente da BB è stoc. indipendente da A e diciamo “A e B sono indipendenti”

Indipendenza stocastica ≠ indipendenza logica ovvero in generale possiamo dedurre l’indipendenza stocastica solo dai dati che abbiamo a disposizione Però può accadere che dalla logica dell’evento si possa dedurre l’indipendenza Esempio: in un’urna ci sono 10 palline rosse e 12 nere. Estraiamo dall’urna una pallina poi la rimettiamo nell’urna (estrazione con reimbussolamento). Siano A1={estraggo una pallina rossa alla prima estrazione} A2={estraggo una pallina rossa alla seconda estrazione} L’aver estratto una rossa alla prima estrazione non influenza la probabilità che la seconda sia rossa A1 e A2 sono indipendenti

Regola di moltiplicazione per eventi indipendenti Esempio: Nel caso dell’estrazione con reimbussolamento dell’esempio precedente la probabilità di estrarre entrambe le volte una pallina rossa è p(A1A2)=p(A1)p(A2)=(10/22)2 Vale la seguente regola di moltiplicazione per eventi indipendenti A e B: p(AB)=p(A)p(B) Nota: non confondere i concetti di “eventi disgiunti” ed “eventi indipendenti”. Due eventi disgiunti non sono mai indipendenti (se cosi fosse avrei p(AB)=p(ø)=0=p(A)p(B), quindi p(A) o p(B) sarebbe nulla). In realtà due eventi disgiunti sono fortemente dipendenti: se un evento è realizzato non può esserlo l’altro.

Esercizio Si hanno tre urne. U1 ha 2 palline bianche e 2 nere U2 ha 1 pallina bianca e 3 nere U3 ha 4 palline bianche e 2 nere Si sceglie un’urna a caso e si estrae una pallina. Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca? 1/2 U1 bianca U2 bianca U3 bianca 1/3 1/3 1/4 1/3 2/3 P(bianca)=1/2 * 1/3 + 1/4 * 1/3 + 2/3 * 1/3=17/36

Teorema delle probabilità totali Dr. Daniela Morale Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A1,…,An effetto cause

Esercizio • In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di pioggia è del 30%. • La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se piove è dello 0.4% e dello 0.01%, se non piove. • Qual è la probabilità che vinca Mazzacane? Sia P={piove} M={vince Mazzacane} 0.3 P 0.004 M 0.7 Pc0.0001 M p(M)=0.3*0.004+0.7*0.0001=0.00127

Teorema di Bayes Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A1,…,An se sappiamo che B si è verificato, ci si può porre il problema di calcolare la probabilità che B venga da uno di tali eventi, un generico Ai cause effetto

Esercizio (continuazione) • In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di pioggia è del 30%. • La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se piove è dello 0.4% e dello 0.01%, se non piove. • Se vince Mazzacane qual è la probabilità che piova? Sia P={piove} M={vince Mazzacane} 0.3 P 0.004 M 0.7 Pc0.0001 M p(P|M)=0.3*0.004/0.00127=0,94488

Esercizio Sia C l’evento: la nuova sede di scienze sarà pronta nel 2009 e siaE : l’impresa a cui è dato l’appalto fallirà prima del 2008. Se la probabilità che la ditta fallisca prima del 2008 è del 60% e la probabilità che la sede sia pronta è del 0.15 o del 0.75 a seconda se la ditta fallisce o no prima del 2008, calcolare la probabilità che se la sede è pronta in tempo, la ditta sia non fallita prima del 2008 p(C|E)=0.15 E C p(E)=0.60 C p(C| Ec)=0.75 Ec p(Ec)=0.40

Da trovare p(Ec | C) Nella formula del teorema di Bayes A numeratore metto quanto viene moltiplicando i numeri del ramo relativo a S-E (quello in basso): p(Ec) * p(C | Ec)=0.40 * 0.75 = 0.30 A denominatore metto la somma di quanto viene dai prodotti delle probabilità di entrambi i rami p(E)*p(C | E)+p(Ec) * p(C | Ec)= =0.60 * 0.15 + 0.40 * 0.75 = 0.39 Trovo allora p(Ec | C)=0.30/0.39=0.77

Esercizio di riepilogo La seguente tabella mostra 1000 candidati ad una scuola per infermieri classificati secondo il punteggio riportato all’esame di ingresso all’università e la qualità della scuola superiore da cui provenivano Dire qual è la probabilità che un candidato 1. Abbia avuto un punteggio basso all’esame. 2. Si sia diplomato in una scuola ottima 3. Abbia avuto un punteggio basso e si sia diplomato in una scuola ottima. 4. Ammesso che si sia diplomato in una scuola ottima, abbia avuto un punteggio basso (Esercizio 7, pag. 72, Daniel - Biostatistica)

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