Consigli per la risoluzione dei problemi

1. Consigli per la risoluzione dei problemi • Individuare il punto o i punti materiali di cui si vuole studiare il moto • Introdurre un sistema di riferimento inerziale • Individuare tutte le forze agenti sul punto materiale o sui punti materiali • Ricercare i corpi dell’ambiente circostante che possono esercitare forze • Tener presente che alcune forze agiscono a distanza • Altre agiscono per contatto • Attenzione ai corpi a contatto • Costruirsi il diagramma del corpo libero • Scrivere la seconda legge in forma vettoriale • Ottenere le tre equazioni scalari corrispondenti • Attenzione alla scelta delle direzioni su cui proiettare G.M. - Edile A 2002/03

2. Consigli per la risoluzione dei problemi • Utilizzare tutte le ulteriori condizioni presenti nel problema • se due corpi sono connessi da una corda ideale, di lunghezza costante, è possibile scrivere delle relazioni tra i loro spostamenti e quindi tra le loro velocità e le loro accelerazioni. • Se un corpo è fermo (x,y e z costanti), tutte e tre le componenti dell’accelerazione sono nulle. • In alcuni casi solo alcune delle coordinate del punto materiale sono costanti, ne deriva le corrispondenti componenti dell’accelerazione sono nulle. • Se la traiettoria percorsa è curva, cioè non rettilinea, allora la componente normale dell’accelerazione vale (v=modulo della velocità, r raggio di curvatura della traiettoria). • Alcune delle forze possono avere lo stesso modulo: • .Coppia di forze di azione e reazione, in base alla terza legge. • .Forze esercitate su oggetti diversi dallo stesso tratto di corda. • Etc. G.M. - Edile A 2002/03

3. Consigli per la risoluzione dei problemi • Determinare le componenti dell’accelerazione • Dedurre dall’accelerazione trovata il moto del punto materiale. • Accelerazione costante: moto uniformemente accelerato • Proporzionale all’opposto della velocità: moto smorzato • Proporzionale all’opposto della posizione:moto armonico • Scrivere le leggi orarie tenendo conto delle condizioni iniziali • Determinare le eventuali forze mancanti. G.M. - Edile A 2002/03

4. Si consideri un corpo di massa m appoggiato su un piano inclinato rispetto al piano orizzontale con inclinazione variabile con continuità da zero a 90°. Sperimentalmente si osserva che quando l'angolo raggiunge il valore qs=30° il corpo inizia a muoversi. Se, una volta che il corpo di massa m si è messo in moto, si mantiene costante l'angolo al valore qs=30°, si osserva che il corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Se, invece, subito dopo aver messo in moto il corpo, l'inclinazione viene rapidamente diminuita e portata al valore qd=25°, il moto risulta essere rettilineo uniforme. Determinare i valori dei coefficienti di attrito statico e dinamico ms e md tra il piano inclinato e il corpo di massa m e l’accelerazione nel caso in cui l’inclinazione del piano viene mantenuta uguale a qs=30°. Applicazione G.M. - Edile A 2002/03

5. Innanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale. Conviene prendere l’asse y perpendicolare al piano inclinato e l’asse x parallelo al piano in modo che il piano xy sia verticale Fissiamo l’origine nella posizione iniziale del punto materiale. Applicazione N • Determiniamo le forze agenti • La forza peso • La reazione vincolare esercitata dal piano inclinato • Componente Normale • Forza di attrito Fas P • Possiamo anche predire la direzione e il verso della forza di attrito: • È opposta alla componente della forza peso parallela al piano Costruiamo il diagramma del corpo libero Scriviamo la seconda legge di Newton G.M. - Edile A 2002/03

6. Applicazione Scriviamo la seconda legge di Newton Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati. N Fas P Per q < qs il corpo rimane fermo: q Si ottiene: G.M. - Edile A 2002/03

7. Applicazione Se l’angolo viene mantenuto a qs Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati. Durante il moto il corpo rimane sempre appoggiato al piano inclinato N Fas Si ottiene: P q L’accelerazione è costante: il moto sarà uniformemente accelerato Se il piano è liscio, md=0 G.M. - Edile A 2002/03

8. Applicazione Se l’angolo viene ridotto a qc Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati. N Fad P Per q = qc il corpo si muove lungo l’asse x a velocità costante q Si ottiene: G.M. - Edile A 2002/03

9. Un punto materiale di massa m=1 kg può muoversi lungo una guida orizzontale rettilinea priva di attrito. Il corpo è attaccato ad una molla di costante elastica k=400 N/m, il secondo estremo della molla è connesso ad una parete verticale, come mostrato in figura. Inizialmente il corpo viene spostato in maniera da allungare la molla di un tratto di 10 cm e lasciato da questa posizione con velocità nulla. Determinare la legge oraria, mostrare che il moto è periodico e determinarne il periodo. Applicazione • Innanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale. • Conviene prendere l’asse y verticale e l’asse x orizzontale coincidente con l’asse della molla • Scegliamo l’origine nella posizione in cui si trova il punto materiale quando la molla non è deformata • Questo semplifica l’espressione della forza elastica • Determiniamo le forze agenti • La forza peso • La forza elastica • La reazione vincolare esercitata dal piano inclinato • solo la Componente Normale G.M. - Edile A 2002/03

10. Applicazione Scriviamo la seconda legge di Newton Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati. Durante il moto il corpo rimane sempre appoggiato al piano orizzontale L’accelerazione lungo l’asse x vale: L’accelerazione è proporzionale all’opposto della posizione: il moto è un moto armonico. A e j vanno determinate sulla base delle condizioni iniziali. G.M. - Edile A 2002/03

11. Applicazione A e j vanno determinate sulla base delle condizioni iniziali. Le condizioni iniziali: La soluzione j=0 è l’unica che da un’ampiezza positiva, pari a A=0.1 m. Pulsazione angolare Legge oraria G.M. - Edile A 2002/03

12. Un disco di massa m sta al di sopra di un tavolo orizzontale privo di attrito ed è collegato con una massa M appesa ad una fune che passa attraverso un foro al centro del tavolo, come illustrato in figura. Si determini la velocità del disco lungo la circonferenza di raggio r in grado di mantenere fermo il cilindro. Si assuma m=0.5 kg, M=0.3 kg, r=50 cm. Applicazione Innanzitutto poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton. • Determiniamo le forze agenti su ciascuno dei corpi • Corpo di massa m • La forza peso • La tensione della fune • La reazione vincolare esercitata dal piano • solo la Componente Normale • Corpo di massa M • La forza peso • La tensione della fune Il diagramma del corpo libero G.M. - Edile A 2002/03

13. Scriviamo la seconda legge di Newton per i due corpi. Applicazione Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale. Non siamo tenuti a scegliere gli assi coordinati: qualunque direzione noi scegliamo, la relazione tra le componenti lungo la direzione fissata deve essre simile all’equazione vettoriale. Nel caso del corpo di massa m conviene utilizzare le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari: Per il corpo di massa M l’unica equazione non banale è quella lungo l’asse verticale y: G.M. - Edile A 2002/03

14. Un’automobile di massa m=1000 kg percorre una curva piana di raggio costante r=80 m con una velocità costante di 60 km/h. Determinare il minimo coefficiente di attrito statico tra asfalto e ruote dell’automobile necessario perché l’automobile si mantenga la traiettoria curva. Applicazione Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton. • Determiniamo le forze agenti sull’automobile • La forza peso • La reazione vincolare esercitata dalla strada • La Componente Normale • La forza di attrito (statico) • La parte di ruota a contatto con la strada è ferma rispetto alla strada. • Il diagramma del corpo libero G.M. - Edile A 2002/03

15. Scriviamo la seconda legge di Newton per l’automobile. Applicazione Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale. Come nel caso precedente utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari: Poiché il modulo della velocità è costante Poiché l’automobile rimane attaccata alla strada La forza di attrito statica necessaria a mantenere l’automobile in traiettoria è: La forza di attrito statico è limitata superiormente Da cui ricaviamo G.M. - Edile A 2002/03

16. Un’automobile di massa m=1000 kg percorre una curva di raggio costante r=80 m con una velocità di 60 km/h. Determinare l’angolo di cui deve essere sopraelevato l’esterno della curva rispetto all’interno perché l’automobile si mantenga sulla traiettoria curva senza far ricorso alla forza di attrito. Applicazione Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton. • Determiniamo le forze agenti sull’automobile • La forza peso • La reazione vincolare esercitata dalla strada • Solo la Componente Normale • Il diagramma del corpo libero Scriviamo la seconda legge di Newton per l’automobile. Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale.Come nei casi precedenti utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari: G.M. - Edile A 2002/03

17. Applicazione Poiché l’automobile si muove su una traiettoria orizzontale L’accelerazione tangenziale è nulla: Il moto avviene con velocità di modulo costante Dalla prima ottenaimo: G.M. - Edile A 2002/03

18. Due parallelepipedi di masse m1 ed m2 sono posti uno sopra l’altro. Il coefficiente di attrito tra m1 ed il piano è m1 mentre quello tra i due corpi è m2. Studiare il moto del sistema quando ad m1 è applicata una forza orizzontale. Applicazione N Fa12 N21 m2 F N12 m1 F m2 m1 Fa21 P1 P2 G.M. - Edile A 2002/03

19. I due blocchi della figura, di massa m=16 kg e M=88 kg, non sono collegati tra loro. Il coefficiente di attrito tra i blocchi è ms=0,38, mentre la superficie su cui appoggia M è priva di attrito. Qual è l’intensità minima della forza orizzontale F necessaria per mantenere m contro M? Applicazione m F M FamM NmM NM NMm FamM F Pm PM G.M. - Edile A 2002/03