Het werk van wiskundige L.E.J. Brouwer

1. Het werk van wiskundige L.E.J. Brouwer D. van Dalen HOVO Groningen 2009

2. Situatie in de grondslagen van de wiskunde rondom de eeuwwisseling. Axiomatiek - Peano, Dedekind, Pasch, Hilbert, ... Formalisme - Schubert, Thomae, Hilbert Logicisme - Frege, Russell, Whitehead, ... Cantorisme - Bolzano, Cantor, Zermelo, ... De CRISIS IN DE WISKUNDE: Russell’s paradox - verzamelingsleer inconsistent. In Nederland weinig activiteit. Algemeen - Bolland, Bierens de Haan, Mannoury.

3. Luitzen Egbertus Jan Brouwer Overschie 27.02.1881 Onderwijzersgezin Broers: Lex 1883-1963 Aldert 1886-1973

4. De lotgevallen van Brouwer senior: Overschie 1880, Medemblik 1882, Haarlem1892 (hoofd MULO). Bertus’ scholen lagere school - grotendeels thuis HBS - 1890-94 gymnasium - 1894-97 HBS Hoorn 1890-1892 HBS Haarlem 1892-1894 eindexamen HBS 1895 gymnasium Haarlem 1984-1897

5. Friese afstamming Brouwer: onderwijzers herders, kleine boeren. Poutsma: onderwijzers, kunstenaars, juristen, geleerden, medici. Bertus was een natuurkenner. Fysiek krachtig, ruig voetbal, etc.

6. Belangrijke invloed: Van der Waals, Korteweg, Mannoury Universiteit van Amsterdam 1897-1904 D.J. Korteweg Wis- en natuurkunde met sterrenkunde candidaatsexamen 1900 dotoraalexamen 1904 G. Mannoury

7. Dat ik heb, heeft zijn oorsprong voor geen deel in een verstandelijke overweging in dien zin, dat ik uit verschillende verschijnselen, die ik om mij heen waarneem, zou zien de openbaring van een "hogere macht" maar juist in de volkomen machteloosheid van mijn verstand. Immers het enige ware voor mij is mijn eigen ikheid van het ogenblik, omgeven door een schat van voorstellingen, waaraan de ikheid gelooft, en die haar doen leven. Een vraag, of die voorstellingen “waar” zijn, heeft geen zin, voor mijn ikheid bestaan alleen de voorstellingen en zijn als zoodanig reëel; van een tweede, onafhankelijk van mijn ikheid, daaraan beantwoordende realiteit is geen sprake. Mijn leven nu in mijn overtuiging van mijn ikheid en is mijn geloven in mijn voorstellingen en daaraan knoopt zich direct vast het geloof in dat, wat de oorsprong van mijn ikheid is, en dat mij mijne voorstellingen geeft, onafhankelijk van mij, dus iets dat, evenals ik, leeft, en boven mij staat, en dat is mijn God. Godsgeloof

8. disputen: NEWTON - wis- en natuurkunde PHILIDOR - schaken CLIO - literair Studenten Corps Vriendschap met Carel Steven Adama van Scheltema (1877-1924); charismatische persoonlijkheid, groot gezag. Studeerde medicijnen, werd toneelspeler, daarna toonaangevende socialistische dichter. Nam Bertus’ persoonlijke en sociale opvoeding ter hand.

9. Dit is verreweg de grootste mens die ik tot nu heb ontmoet en ik geloof niet er grotere te zullen ontmoeten, -- hij is in alle opzichten het voorbeeld van een buitengewoon geniaal mens -- om een genie te wezen mist hij het verband tussen eigen geest en de stoffelijke wereld om hem heen Het essentiëele van de verhouding was steeds mijn waarlijk onvermoeid pogen om hem tot de materiële wereld te laten naderen. (Dagboek Scheltema)

10. Invloed Thorbecke - HBS Sterke natuur- en scheikunde. Nobel prijzen Wiskunde op een afstand van het onderzoek. Belangrijkste negentiende eeuwer: Stieltjes. Geen invloed in Holland. De exacte vakken in Nederland Internationaal niveau: Korteweg, Schoute Algemeen opleidingsniveau in Nederland: keurig maar wars van niewerwetsigheden. Degelijk midden negentiende eeuw.

11. Waarom studeert zo’n slimme jongen 7 jaar? Het was de militaire dienst. Vele zenuw inzinkingen, met alle begeleidende verschijnselen. Dienst in vacanties. Briljante student. Origineel onderzoek - decompostie van 4-dimensionale rotaties SO4 ≈ SU2 x SU

12. - doctoraal • - Kocht grond in Blaricum. Zijn vriend Ru Mauve ontwierp de hut. • trouwde met Lize de Holl, een gescheiden vrouw, 11 jaar ouder, met een dochter, Louise. 1904

13. Eerst een aantal (7) publicaties over vectordistributies, potentiaal theorie in niet-Euclidische ruimten (novum “parallel verplaatsing”). Promovendus van Korteweg Zelfstudie Brouwer - Riemann-Helmholtz-Lie meetkunde, Hilbert stijl meetkunde, Cantor-Schoenflies topologie en verzamelingsleer, groepen theorie, ..... 1905 - koopt apotheek van schoonmoeder

14. Dieren en mensen lieten uit oorsprong elkander ongemoeid, tot de niet tevreden mensen op een deel gingen parasiteren. en de andere trachtten uit te roeien. Zoo werd de schepping tot ellende uit haar verband gerukt; tot moeite zorg en arbeid van ‘t onderhoud der huisdieren, tot ziekte door parasitaire voeding, tot zware strijd een tijd lang tegen wilde dieren die nog niet waren uitgeroeid, of nog zwaarder werd de mens door ongedierte in huis en hof en door bacteriën in ‘t eigen lijf. En bij den strijd daartegen voelt de wetenschap nog fierheid en berusting in Gods wil. Uit òpstand tegen Gods wil is alles voortgekomen! Leven, kunst en mystiek (1905)

15. Roemt de geneeskunde in den laatste tijd op verlenging van de, overigens nog veel te korte, menselijke levens-duur, wat heeft dat voor waarde? Het is even droevig, na zijn tijd, als voor zijn tijd dit leven te verlaten, en de dood? “Die Natur zerbricht nie, ohne dass sie ein Besseres dafür gibt.”

16. Het leven van de mensheid als geheel is een arrogant uitvreten van haar nesten over de gave aarde, een knoeien aan haar moederend gewas, knagend, schendend, een steriel maken van haar rijke scheppingskracht totdat ze alle leven heeft vervreten, en om de dorre aarde dort de mensenkanker weg. De dwaasheid in hun hoofd, die dàt begeleidt, en hen zelf gek maakt, noemen ze: “De wereld begrijpen.”

17. Ook kent ge bij uzelf, nu en dan, het religieuze gevoel, waarbij het net is, alsof ge uit uw hartstochten, uit vresen begeerte uit tijd en ruimte, uit de gehele aanschouwings- wereld retireert. En eindelijk kent ge als een betekenisvolle uitdrukking: ”Tot zichzelf inkeren.” Zelfinkering

18. nooit nog heeft door de taal iemand zijn ziel aan een ander meegedeeld; TAAL De taal heeft op zichzelf geen zin. en alle wijsbegeerte, die zó er vastheid in wou brengen, kwam in verlegenheid; .... Een taal, die geen vastheid aan den wil ontleent, die op zichzelf wil voortleven in het reine ``begrip", is een onding; een tijdlang door te kunnen spreken, en te worden betrapt nòch op tegenstrijdigheden, nòch op stilzwijgende, in den wil wortelende, vooronderstellingen, is een grote kunst, het hegelen, waarvoor de hersenkracht van iemand, als de heer Bolland, nodig is, maar te schatten op de waarde van die van een acrobaat. De heer Bolland laat zien, dat spreken in de afgesloten rede, dat onttrekken van de taal aan de souvereiniteit van passie en aandoening, waar uit ze zo goed, als alle levensuitingen ontstaan is, mogelijk is, zonder dat je er ziek of gek van`wordt.

19. Alleen in zéér eng afgegrensde fantazieën, zo in insluit-end intellectuele wetenschappen, zonder verband met de aanschouwingswereld, die dus het minst aan ‘t eigenlijk mens-zijn raken, daar is het elkander verstaan vrij lang en goed vol te houden; over “gelijk”, over “driehoek”, zal weinig misverstaan mogelijk zijn; toch zullen daarbij nooit twee personen precies hetzelfde voelen, en zelfs bij de meest beperkte wetenschappen, logica en wiskunde, die eigenlijk niet scherp te scheiden zijn, zullen bij de grond-begrippen, waaruit ze zijn opgebouwd, geen twee hetzelf-de denken.

20. Het hooggeschatte Intellect dan is tegelijk het ver-mogen en de dwang, om dóór te leven in Begeerte en Vrees, en niet uit heilzame verlegenheid tot Zelfin-kering terug te vluchten .... Sprong van doel op middel Dat Intellect doet in het Leven van Begeerte den mensen den duivelsdienst van den band doel-middel tusschen twee fantazieën.

21. Geboorte van de implicatie Het subject, S, ondergaat (genereert) rijen van sensaties, s1, s2, s3, ....sm, ....... sn (verband met de oer-intuïtie). Stel het doel, sn, is gewenst, moet het subject dan de hele rij doorlopen? De sprong van doel op middel geeft het subject de mogelijkheid om de weg te bekorten door direct naar een tussenstadium, sm, te gaan (middel). Brouwers implicatie: als S een constructie voor sm heeft en de voortzetting van sm naar sn is algorithmisch, dan is de implicatie “als sm, dan sn” aangetoond.

22. De dissertatie (1907) Over de Grondslagen der wiskunde Twee thema’s: Meetkunde en Lie groepen 2. Grondslagen Claim (in brief aan Korteweg): Hilbert’s problemen 1, 2, en een speciaal geval van 5 opgelost.

23. De objecten van de wiskunde Geconstrueerd in de geest van het subject. Oer-intuïtie van de wiskunde: move in time (het uiteenvallen van een levensmoment in twee qualitatief verschillende dingen, waarvan het ene voor het andere terugtreedt en door de herinnering wordt vastgehouden). geboorte van de tweeheid Door indentificatie (abstractie) ontstaat de “lege tweeheid”, d.w.z. het getal 2 Tegelijkertijd ontstaat het (intuitieve) continuum. tijdsintuïtie = oer-intuïtie

24. Afgekeurde bladzijde

25. Inductie en recursie De “move in time” levert om te beginnen de individuele getallen 2,3,4,..., en natuurlijk ook 1. Hoe zit het met de getallenrij? De herhaalbaarheid van de successor-operatie is een onderdeel van de oer-intuïtie, de z.g. “zelfontvouwing”. De oer-intuïtie levert ook de recursor! Ik stel in plaats van het “axioma van volledige inductie” de “wiskundige opbouw-handeling van volledige inductie”, en laat zien, hoe die na de tijdsintuïtie niets nieuws meer is. Later ook wel de “intuïtie van enzovoort” genoemd.

26. A(0)n(A(n)A(n+1))nA(n) gegeven- a:A(0) voor zekere f geldt voor alle p,n p:A(n)  f(p):A(n+1) Dus f(a):A(1), en f(f(p)):A(2), ..., fk(p):A(k); stel g(k) = fk(p), dan g(k):A(k) en g:nA(n) inductie uit recursie

27. De sleutelproblemen van de grondslagen Logica - filosofisch commentaar constructie interpretatie Verzamelingsleer - alleen geconstrueerde (gegenereerde) vezamelingen Continuum - intuitieve schepping Second number class - denumerably unfinished Choice sequences appear as “unknown numbers”

28. Kritische inhoud Axiomatische methode: alleen aanvaardbaar als “boekhouding” van eigenschappen van bestaande structuren. Geen scheppende rol (d.w.z. niet-strijdige axioma’s worden niet automatisch in de wiskunde gerealiseerd). NIET consistent => existentie van model

29. “... zo b.v. wordt nergens bewezen, dat als een eindig getal aan een stelsel voorwaarden moet voldoen, waarvan bewe-zen kan worden, dat ze niet contradictoir zijn, dat dan dat getal ook bestaat....” “Het is dus a fortiori niet zeker, dat van elk wiskundig probleem òf de oplossing kan worden gegeven òf logisch kan worden aangetoond, dat het onoplosbaar is; iets, waarvan intussen Hilbert in “Mathematische Probleme” meent, dat ieder wiskundige ten innigste is overtuigd” (Hilberts Dogma).

30. Verzamelingsleer • De “grote” verzamelingen van Cantor bestaan niet (zelfs de tweede getalklasse niet). • Het continuum is niet op te vatten als een verzameling van individuele punten • “Actueel oneindige verzamelingen bestaan wiskundig, ook al treden bij de practische toepassingen slechts eindige verzamelingen op.” • “De wetenschappelijke tijd moet worden onderscheiden van de intuïtieve tijd”

31. Logica Kritiek: een calculus van de wiskundige taal; blijft verwijderd van de wiskunde zelf. Sommige principes correct, andere twijfelachtig. Verwerpt de leugenaars- en Russell’s paradox Poincaré: les mathématiques sont indépendantes de l'existence des objets matériels; en mathématiques le mot exister ne peut avoir qu'un sens, il signifie exempt de contradiction."

32. Het raadsel van de uitgesloten derde (PEM) A is waar of niet-A is waar - AA Brouwers vergissing: PEM gelezen als AA anders: als A niet waar is dan is Awaar. Waarschijnlijk ontleend aan college van Bellaar Spruyt: als Alexander geen groot man is, dan is hij geen groot man Brouwer had het bijna goed: als A niet waar is dan isAwaar - AA Gecorrigeerd 1908

33. Brouwers (=intuïtionistische) logicabewijs-constructie interpretatie Algemeen idee: “wiskunde vóór logica” Centraal begrip:a is een bewijsconstructie voor A a:A denk aan a: 2+5=7 a: AB a=(a0,a1) en a0: A en a1: B a: AB a=(a0,a1) en (a0=0 a1: A)en (a0=1  a1: A) Uitgewerkt in Heyting's Bewijsinterpretatie

34. Brouwers implicatie Een bewijs vanABis een constructie die een bewijs van A over voert in een bewijs vanB negatie: a: A  a zet een bewijs van A om in een bewijs van een tegenspraak (zeg 0=1), d.w.z. a: A  0=1 I.h.b a: A  A heeft geen bewijs

35. Hilbert’s dogma (1900) Ieder wiskundig probleem kan hetzij opgelost worden door een bewijs te geven, hetzij weerlegd door te laten zien dat er geen bewijs is. equivalent met PEM - AA a:AA  [a kiest A en a:A] of [a kiestA en a:A]  [a kiest A en a:A] of [a kiestA en A heeft geen bewijs ] Een alwetendheids principe

36. Echter, Hilbert’s zwakkere “er is geen in de wiskunde” is intuïtionistisch correct ignoramibus Stel A is absoluut onoplosbaar, d.w.z. (1) er zal nooit een bewijs van A gevonden worden en (2) ook niet voor A. Echter, (1) betekent dat A een bewijs heeft. Contradictie

37. sensaties abstractie de abstractie sterren abstractie wiskunde 3 e

38. theorievorming Door abstractie uit sensaties “causale reeksen” Verdere abstractie naar wiskundige objecten. Behalve “werkelijke” ook “onwerkelijke” causale reeksen, d.w.z. wiskundige fantasieën. Hierdoor klaarliggende reeksen voor nog niet waargenomen sensaties (experimenten). “Verklaring” van verschijnselen (diss. p.91). Splitsing in een toevallig en een essentieel deel. “Veld van inductie geopend”, dat via inhoudsloze abstracties nieuwe reeksen produceert. “Voorspelling”.

39. voorbeeld: Vooreerst dus over de objectiviteit; men noemt de massa der lichamen objectief, en denkt daarbij aan haar onver-nietigbaarheid; we hebben echter boven gezien, dat de massa's niets zijn, dan door hun invoering het wiskundig natuurbeeld vereenvoudigende coëfficiënten, die bij de wiskundige transformaties, die de natuurverschijnselen afbeelden, invariant blijven

40. En het levensgedrag der mensen zoekt zoveel mogelijk van die wiskundige volgreeksen te kunnen waarnemen, om telkens, waar in de werkelijkheid bij een vroeger element van zulk een reeks met meer succes schijnt te kunnen worden ingegrepen, dan bij een later, ook dan, wanneer alleen bij dat latere het instinct wordt aangedaan, het eerste te kiezen als richting voor hun daden Citaten uit de dissertatie

41. De mathematische intuïtie is niet in staat anders dan aftelbare hoeveelheden geïndividualiseerd te scheppen, n.l. zó, dat men een procédé geeft, dat elk element der verzameling na een eindig aantal operaties genereert. Het continuüm als geheel was ons echter intuïtief gegeven; een opbouw ervan, een handeling die “alle” punten ervan geïndividualiseerd door de mathematische intuïtie zou scheppen, is ondenkbaar en onmogelijk. Het onbekende irrationale punt is meer de limiet van een Strecke (``het intuitieve continuum'' of ``het andere van het punt in het cont.'’ of de relatie van 2 punten in het continuum), dan van een punt. Maar het bekende irrationale punt, bv. wortel 2, is wel degelijk een punt.

42. Het enige aprioristische element in de wetenschap is de tijd. - Natuurlijk wordt hier bedoeld de intuïtieve tijd, wel te onderscheiden van de wetenschappelijke tijd, die, wel zeer a posteriori, eerst door de ervaring blijkt, als met een eenledige groep voorziene eendimensionale coördinaat geschikt te kunnen ingevoerd tot het catalogiseren der verschijnselen.

43. hoofdpunten van Kant's Transcendentale Aesthetiek: a). Ten opzichte van het onafscheidelijk verbondene aan de uitwendige ervaring: Niet alleen bestaat, zoals pag. 98 is gezegd, de wiskunde onafhankelijk van de ervaring, maar ook is alle ervaring onafhankelijk van alle wiskunde. Geen enkel wiskundig systeem wordt door ons mèt onze ervaringen passief ondergaan; niet eens de tijdcoördinaat, niet eens het maatloze tijdcontinuüm b). Ten opzichte van noodzakelijk optreden in het wiskundig receptaculum der ervaring: Die noodzakelijkheid bestaat alleen voor de wiskundige oer-intuïtie, daar het wiskundig receptaculum der ervaring aan geen andere beperking onderhevig is, dan de wiskunde zelf, en deze ontwikkelt zich uit haar oer-intuïtie in een door vrije willekeur geleide zelfvermenigvuldiging; de enige synthetische oordelen a priori voor de uitwendige ervaring, en tevens de enige synthetische oordelen a priori in het algemeen zijn dus die welke worden afgelezen als wiskundige bouwmogelijkheden op grond van de oer-intuïtie van tijd of van veelenigheid, m.a.w. worden afgelezen als mogelijkheden van puntsystemen op het continuüm. Men trachte echter niet, die oordelen aan de wiskunde of aan de ervaring ten grondslag te leggen: ze zijn het gevolg van het wiskundig bekijken der oer-intuïtie, vooronderstellen dus de oer-intuïtie zowel in het bekijken als in het bekekene; ze behoren tot wat we in het volgende hoofdstuk zullen noemen wiskunde der tweede orde.

44. De conclusies omtrent de logistiek moet luiden: dat ze niets kan leren omtrent de grondslagen der, omdat ze onherroepelijk van de wiskunde gescheiden blijft; dat ze integendeel, om een bestaan in zichzelf te handhaven, d.w.z. zich voor contradicties te bewaren, al haar eigen speciale principes heeft te verwerpen en zich er toe heeft te beperken, de rol te spelen van stenografische taal der wiskunde, die zelf geen wiskunde is, doch alleen een gebrekkig hulpmiddel voor de mensen, om wiskunde aan elkaar mee te delen, en hun geheugen voor wiskunde te ondersteunen.

45. De geoorloofdheid der volledige inductie kan niet alleen niet worden bewezen,maar behoort ook geen plaats als afzonderlijk axioma of afzonderlijk ingeziene intuïtieve waarheid in te nemen. Volledige inductie is een daad van wiskundig bouwen, die in de oer-intuïtie der wiskunde reeds haar rechtvaardiging heeft. Stellingen De verstandhouding der mensen berust op het bouwen van gemeenschappelijke wiskundige systemen, en het verbinden aan eenzelfde element van zulk een systeem van een levenselement voor elk der individuen.

46. De transcendentale Esthetiek van Kant kan niet worden aanvaard; de poging van Russell, om haar te corrigeren moet als mislukt worden beschouwd. De verhouding tussen wiskunde en natuurkunde wordt door Ostwald geheel verkeerd weergegeven. Toelichting: De fysische meetkunde en de verdere fysica en alle verdere natuurwetenschap zijn volkomen gelijkwaardige toepassingen der wiskunde. Wiskunde is zelf niet een wetenschap, maar een moment in de daad, die het bedrijven van wetenschap is.

47. Vrije wil en keuzenrijen Op het intuïtieve continuüm kunnen punten benaderd worden, wanneer dat wetmatig gebeurt wijzen we een uniek punt aan. Dat zijn de punten die in één verzameling gestopt kunnen worden. Daarnaast zijn er benaderingen waarvan de toekomst volledig of gedeeltelijk open is. Die komen in de dissertatie voor als “onbekende punten”. Pas na de invoering van de keuzenrijen (1918) werd een goede behandeling mogelijk. Echter - Brouwer had wel degelijk keuzenpunten in gedachten. Zie de latere literatuur, i.h.b. de correspondentie met Fraenkel.

48. 1909 privaatdocent. Rede “Het wezen der meetkunde” 1912 lid KNAW, buitengewoon hoogleraar - Rede “Intuïtionisme en Formalisme” 1913 gewoon hoogleraar Amsterdam voorgedragen als no. 3 in Göttingen als opvolger van Klein 1919 aanbod uit Göttingen en Berlijn De lotgevallen van Dr Brouwer

49. De topoloog Brouwer Bij uitwerking van het Lie groepen deel van de dissertatie voor de Mathematische Annalen vond Brouwer onnauwkeurigheden in Schoenflies’ Bericht (1908), die gebruikt waren. Begin van topologisch onderzoek. Verzamelingstheoretische topologie - 1911 Analysis Situs Varieteiten topologie - 1910-1913 Invariantie dimensie, afbeeldings graad, sympliciale approximatie, dekpuntsstelling, uniformizatie, dimensietheorie Brouwer in een klap aan de top. Mysterieuze meetkundige intuïtie.

50. Reputatie van tovenaar van de topologie.