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RECTAS EN EL ESPACIO

RECTAS EN EL ESPACIO. ¿Cómo se puede determinar de manera única una recta en el espacio? . Eje Z. Eje Y. Eje X. Un punto P y una dirección u. L. P. u. ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P para estar en la recta L que pasa por Po con dirección u?.

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RECTAS EN EL ESPACIO

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Presentation Transcript

  1. RECTAS EN EL ESPACIO

  2. ¿Cómo se puede determinar de manera única una recta en el espacio?

  3. Eje Z Eje Y Eje X Un punto P y una dirección u L P u

  4. ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P para estar en la recta L que pasa por Po con dirección u?

  5. Eje Z P Po L tu O u Eje Y Eje X PL Un punto P y una dirección u

  6. Ecuación de la recta L que pasa por P0(xo,yo,zo) con vector director u=(a,b,c) El punto P(x,y,z) L si y sólo si P-Po  u, es decir, si P-Po=tu, t   (x-xo, y-yo, z-zo)=t (a,b,c). Ecuaciones paramétricas de la recta L

  7. Ecuación de la recta L que pasa por P0(xo,yo,zo) con vector director u=(a,b,c) Si las coordenadas del vector director u=(a,b,c) son todas no nulas, abc0 Ecuación simétrica de la recta L

  8. Ejercicio Nº1 Encuentre la ecuación de la recta L que pasa por P(1,2,-1) y es paralela al vector u=(2,3,-2). ¿Está el punto (2,1,2) sobre la recta L? ¿Está el vector (3,5,-3) en la recta L?

  9. Ejercicio Nº2 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2,3,-4) y Q(3,-2,5)

  10. Encuentre la ecuación de la recta L que contiene a (2,3,-2) y es paralela a la recta Ejercicio Nº3

  11. Ejercicio Nº4 Encuentre la intersección de las rectas

  12. Ejercicio Nº5 Encuentre la ecuación de la recta L que pasa por (-2,3,4) y es ortogonal a:

  13. Solución Nº1: (x,y,z)L si al sustituir en las ecuaciones anteriores hay algún valor de t que las satisfaga. 2=1+2t  t=1/2 pero para y, 1 2+3(1/2). Por lo tanto el punto (2,1,3)L. (3,5,-3)L, ya que satisface las ecuaciones paramétricas de la recta para el valor del parámetro t=1. Sin embargo el vector v=(3,5,-3) no está en L ya que para eso el origen también debería estar en L y no lo está

  14. Solución Nº2: El vector director de la recta es: u=(3,-2,5)-(2,3,-4)=(1,-5,9). La ecuación de la recta viene dada por: t.

  15. Solución Nº3: Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, por lo tanto, podemos tomar como vector director de L el mismo vector director de la recta dada que es (3,6,2) y así la ecuación de L es

  16. Solución Nº4: ¿Hay valores de t, s para los cuales 1+ t = 17+ 3s-3+2t = 4+ t -2 - t = -8 – s ?  Punto de intersección es (2,-1,-3)

  17. =(13, 22, -8) La ecuaciónes Solución Nº5: El vector director de L debe ser ortogonal a las rectas L1 y L2.Por lo tanto debe ser ortogonal a sus vectores directores(-2,3,5) y (4,-2,1), es decir , el producto vectorial de los dos

  18. Secantes: • Se cortan en un punto • Sus vectores directores no son paralelos • Se cruzan: • No se cortan • Sus vectores directores no son paralelos • Paralelas • Susvectoresdirectoressonparalelos P = L1 L 2 L1 L 2 =  POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS

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