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VECTORES EN EL ESPACIO

VECTORES EN EL ESPACIO. Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B). Semestre 99-00 B. Eje Z. Eje Y. Eje X. O. Sistema de coordenadas de la mano derecha. Eje Z. c. b. a. u. Eje Y. Eje X. Dado un vector u se le asocia el punto P(a,b,c) así:.

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VECTORES EN EL ESPACIO

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Presentation Transcript

  1. VECTORES EN EL ESPACIO Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Semestre 99-00 B

  2. Eje Z Eje Y Eje X O Sistema de coordenadas de la mano derecha

  3. Eje Z c b a u Eje Y Eje X Dadoun vector u se le asocia el punto P(a,b,c) así: u=(a,b,c) son las coordenadas del punto P y del vector u

  4. Eje Z c b a u Eje Y Eje X Dado (a,b,c)3se le asocia el vector u así: u=(a,b,c)

  5. Punto P en el espacio Vector u=OP desde el origen hasta P (a,b,c)3 Esta correspondencia se llama: Sistema de coordenadas rectangulares

  6. Eje Z O Eje Y Eje X Plano XY={(x,y,z)3/ z=0}

  7. Eje Z Eje Y O Eje X Plano XZ= {(x,y,z)3/ y=0}

  8. Eje Z Eje Y O Eje X Plano YZ={(x,y,z)3/ x=0}

  9. Seanu=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) vectores en el espacio y  un número real. Se define el vector: • suma u+v como • u+v= (u1+ v1, u2+ v2, u3+v3) • producto por un escalar  u como •  u=(au1, au2, au3).

  10. La magnitud o norma de un vector u=(u1,u2,u3)es su longitud, es decir, de acuerdo al teorema de Pitágoras. Un vector de norma 1 se llama vector unitario

  11. Ejemplo Nº1 a) Encuentre el vector de norma 4 en la dirección del vector (2,-2,-1) b) Encuentre el vector unitario que forma un ángulo de /4 con el eje X

  12. (2,-2,-1) es el vector buscado Solución Nº1 a) por lo tanto

  13. Eje Z Eje Y Eje X b) Hay infinitos vectores de norma 1, que forman un ángulo de /4 con el eje X.

  14. Eje Z u  Eje Y   Eje X Por lo tanto en 3 se define una dirección como un vector unitario. u=(a,b,c) unitario a= cos  b= cos  c= cos  cos2+cos2+cos2 =1 , , son los ángulos directores

  15. Productoescalar Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) como: u.v=u1v1+u2v2+u3v3 Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño  entre u y v.

  16. Eje Z Eje Y Eje X  /2 Productoescalar Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o . Dos vectores son ortogonalessi forman un ángulo de /2

  17. Sean u y v vectores no nulos y  el ángulo entre ellos, entonces u  v ucos Proyvu= Teorema: Interpretación geométrica:

  18. Sea v un vector no nulo, entonces para cualquier vector u se tiene que es un vector ortogonal a v w= u  w=u-proyvu v Proyvu Teorema:

  19. w.v= w.v= Prueba del Teorema: Por lo tanto wv

  20. Ejercicio Nº2 a) Calcule la proyección de u=(2,3,-1) sobre v=(2,-1,3). b) Sean u=(1,0,0), v=(0,1,1) y w=(3,0,0). Encuentre el ángulo entre u y v, u y w, v y w. c) Encuentre todos los vectores ortogonales a (1,-1,2) y (0,1,-2)

  21. Productovectorial El producto vectorial o producto cruz fue definido por Hamilton (1848) y solo está definido para 3. Es un producto de vectores en 3 cuyo resultado es un vector perpendicular a ambos factores, de manera que se mantenga el sistema derecho Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)

  22. ixi=0 jxj=0kxk=0 ixj=k jxi=-kkxi=jixk=-j jxk=ikxj=-i u= ai+bj+ck v= xi+yj+zk uxv Productovectorial (bz-cy)i- (az-cx)j +(ay-bx)k

  23. uxv= Productovectorial Una regla nemotécnica para recordar la definición de producto vectorial es escribir uxv como el “determinante”: y calcular el mismo por cofactores de la primera fila

  24. Productovectorial Teorema: Si  es el ángulo entre los vectores u y v, entonces Prueba:

  25. Producto vectorial • Teorema:Sean u,v,w vectores en 3 y  un número real, entonces: • ux0 = 0xu = 0 • uxv = - vxu (propiedad anticonmutativa) • (u)xv = (uxv) = ux( v) • ux(v+w) = uxv + uxw (propiedad distributiva) • u.(uxv) = v.(uxv) = 0, es decir , uuxv, vuxv • uxv = 0 si y solo si u||v. • (uxv).w = u.(vxw) (producto triple) Prueba: Use MATLAB

  26. Eje Z usen  u  v Eje Y Eje X Interpretación geométrica del producto cruz Area= vusen  uxv Area del paralelogramo generado por los vectores u y v = uxv

  27. Eje Z w v Eje Y u Eje X Interpretación geométrica del producto cruz Area de la base uxv Volumen |uxv|Proyuxvw Volumen del paralelepípedo generado por los vectores u, v y w= |w.(uxv)|

  28. Proyvu= Proyvu= u.v=0, v.w=0, de donde uv y v  w (forman un ángulo de /2). u.w=3, , por lo tanto u.w= de donde uw y el ángulo que forman es cero ya que tienen la misma dirección Solución Nº2

  29. Solución Nº2 u=(a,b,c) es ortogonal a (1,-1,2) y (0,1,-2) si a-b+2c=0 y b-2c=0 Sistema homogéneo cuya matriz asociada es Solución: a=0; b=2t; c=t , t, es decir, todos los vectores de la forma (0,2t,t).

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