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PLANOS EN EL ESPACIO

PLANOS EN EL ESPACIO. Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B). Semestre 99-00 B. ¿Cómo se puede determinar de manera única un plano en el espacio? . Eje Z. Eje Y. Eje X. Tres puntos no alineados P, Q, R. Q. P. R. Eje Z. Eje Y. Eje X.

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PLANOS EN EL ESPACIO

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Presentation Transcript

  1. PLANOS EN EL ESPACIO Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Semestre 99-00 B

  2. ¿Cómo se puede determinar de manera única un plano en el espacio?

  3. Eje Z Eje Y Eje X Tres puntos no alineados P, Q, R Q P R

  4. Eje Z Eje Y Eje X Un punto P y direcciones no paralelasu, v u P v

  5. Eje Z Eje Y Eje X Un punto P y un vector ortogonal   P

  6. ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P para estar en el plano  que pasa por P0 y es ortogonal a ?

  7. Eje Z P (x,y,z)  P0 Eje Y Eje X P-Po si y sólo si P(x,y,z)    P-Po

  8. Ecuación del plano  que pasa por P0(xo,yo,zo) y es ortogonal a =(a,b,c) El punto P(x,y,z)  si y sólo si   P-Po, es decir si .(P-Po)=0  (a,b,c).(x-xo, y-yo, z-zo)=0. a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0  ax+by+cz=axo+byo+czo Si d= axo+byo+czo Ecuación normal del plano  ax+by+cz=d

  9. ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P para estar en el plano  determinado por las direcciones no paralelas u, v y el punto P0?

  10. P Eje Z Po u v Eje Y Eje X tu+sv tu PoP sv O

  11. Ecuación del plano  que pasa por P0(xo,yo,zo) con vectores directores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) P(x,y,z)  si y sólo si (x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(u1,u2,u3)+s(v1,v2,v3)  Ecuaciones paramétricas del plano 

  12. ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto para estar en el plano  que pasa por los puntos no alineados P,Q, R?

  13. Q P R Pasa por P con normal =(Q-P)x(R-P) Pasa por P con vectores directores u=(Q-P) y v=(R-P)

  14. ax+by+cz=dEcuación normal (a,b,c)= Ecuación del plano  que pasa por los tres puntos no alineados P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3)

  15. Ecuación del plano  que pasa por los tres puntos no alineados P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3) Ecuaciones paramétricas

  16. Ejercicio Nº1 Encuentre el plano que pasa por los puntos P(2,0,1), Q(1,2,0), R(-3,2,1) de tres maneras distintas

  17. Ejercicio Nº2 Encuentre el plano que pasa por el punto P(-2,3,4) y es perpendicular a la recta que pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)

  18. Ejercicio Nº3 y : 3x-2y+6z=-5 Sea L: Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano , que pasa por el origen. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L y pasa por el origen.

  19. Ejercicio Nº4 y : x-y+z=1 Sea L: Hallar la distancia de la recta L al plano .

  20. Solución Nº1: PQ=(-1,2,-1) y PR=(-5,2,0) =(2,5,8) 2x+5y+8z=2.2+5.0+8.1 2x+5y+8z=12

  21. Solución Nº1: Vectores directores del plano: u=(-1,2,-1) y v=(-5,2,0) Ecuaciones paramétricas

  22. Pasar de las ecuaciones paramétricas a la ecuación normal

  23. Solución Nº1: Un punto (x,y,z) en el plano debe satisfacer la ecuación: ax+by+cz-d=0 Como (2,0,1), (1,2,0) y (-3,2,1)están en el plano, se debe cumplir: Sistema homogéneo en la variables a,b,c,d que debe tener infinitas soluciones.

  24. Por lo tanto, el determinante de la matriz del sistema debe ser nulo 2x+5y+8z-12=0

  25. Solución Nº2: El vector director de la recta es el vector normal al plano. Como la recta pasa por (4,-2,5) y (0,2,4) Su vector director es: (4,-4,1) =(4,-4,1) 4(x+2)-4(y-3)+(z-4)=0 Ecuación del plano: 4x-4y+z+16=0

  26. Solución Nº3: El vector director de la recta debe ser paralelo al vector normal al plano, por lo tanto =(3,-2,6). Como además debe pasar por el (0,0,0), la ecuación de la recta buscada es:

  27. u v Solución Nº3: Para encontrar el vector normal al plano tomamos primero dos vectores en el plano y como el (0,0,0) queremos que esté en el plano, esto equivale a tomar dos puntos cualesquiera sobre la recta, por ejemplo, para valores de t=0, 1 obtenemos u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) =(8,-16,-4) Ecuación normal: 2x-4y-z=0

  28. u v Solución Nº3: Otra forma es tomar u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) como los vectores directores del plano y hallar las ecuaciones paramétricas Ecuación paramétricas del Plano

  29. d Solución Nº4: Vector director de la recta u=(1,2,1) Vector normal del plano =(1,-1,1) (1,2,1).(1,-1,1)=0  u    L y  son paralelos Sustituimos las ecuaciones de L en la del plano y obtenemos: ¿(1+t)-(2+2t)+(3+t)=1? 21 La recta y el plano no se cortan

  30. d Solución Nº4: Un punto de la recta Q=(1,2,3) Un punto del plano P=(1,1,1) PQ=(1,2,3)-(1,1,1)=(0,1,2)  Q P

  31. POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS • Paralelos: • Sus vectores normales son paralelos • Ortogonales: • Sus vectores normales son ortogonales

  32. La intersección de dos planos puede ser: • Un plano • Son paralelos • Una recta: • Son secantes • El conjunto vacío • Son paralelos

  33. La intersección de un plano y una recta puede ser: • Una recta • La recta está incluida en el plano • Un punto: • Son secantes • El conjunto vacío • El vector director de la recta es ortogonal al normal del plano

  34. ANGULOS ENTRE PLANOS Y RECTAS • El ángulo entre dos rectas es el formado por sus vectores directores • El ángulo entre dos planos es el formado entre sus vectores normales • El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del formado entre el vector director de la recta y el vector normal al plano

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