GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

1. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

2. En la realidad, la figura plana de dos dimensiones no existe como tal sino formando parte de una figura del espacio. Así, cuando manipulamos papel, cartón, madera,..., lo hacemos con figuras tridimensionales, ya que éstas tienen un cierto grosor; sólo mentalmente separamos la figura plana de la del espacio. Las figuras cuyos elementos básicos están situados en el espacio son el objetivo de la geometría sólida o espacial.

3. ESPACIO Rectas y planos en el espacio Figuras poliédricas Figuras de revolución Cónicas y cuádricas

4. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO   Podemos imaginar una superficie plana prolongada en todas sus direcciones y con ello tendremos la imagen del plano geométrico. En el espacio, existe, una infinidad de planos ¿cómo determinar uno de ellos en concreto. Con un solo punto del espacio no queda determinado un plano, ni con dos. En el espacio, tres puntos no alineados determinan un plano. Otras formas son mediante: Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas que se corten Dos rectas paralelas

5. Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio (I) La recta y el plano tienen un punto común r y p se cortan La recta y el plano no tienen ningún punto en común r y p son paralelos La recta y el plano tienen en común todos los puntos de la recta r está contenida en p Las dos rectas están en un mismo plano y no tienen ningún punto común Rectas paralelas Las dos rectas tienen un punto en común Rectas que se cortan No tienen ningún punto en común Rectas que se cruzan

6. Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio(II) Planos que se cortan Los dos planos tienen una recta común Planos paralelos No tienen ningún punto en común Tienen todo un plano en común Planos coincidentes • ¿Cuántas rectas pasan por un punto del espacio? • ¿Cuántos planos pasan por una recta? ¿Y por un punto? • Si tres rectas son concurrentes, ¿cuál es el menor número de planos que pueden formar? ¿Y cuál es el mayor número de planos que pueden formar? ¿Y cuál es el mayor número de ellos? • Si dos rectas son paralelas a un plano, ¿son necesariamente paralelas entre sí? • ¿Estarán siempre en un mismo plano tres rectas paralelas? ¿Cuál es el número máximo y mínimo de planos que pueden determinar? • ¿Existe siempre un plano que pase por dos rectas? • ¿Por qué las cámaras fotográficas y de TV se montan sobre trípodes? • ¿Por qué una mesa de cuatro patas es menos estable que una de tres? • ¿Existen rectas que corten a otras dos que se cruzan?

7. Recta perpendicular a un plano. Distancia de un punto a un plano r r p p A A’ Se dice que una recta r es perpendicular a un plano si lo es a cualquier recta contenida en dicho plano. En este caso, cualquier plano que pasa por r, es también perpendicular al plano Recta perpendicular al plano Recta oblícua al plano Por un punto A del espacio solamente se puede trazar una sola recta AA’ perpendicular a un plano dado; las demás son oblícuas. La longitud del segmento AA’, perpendicular al plano, se llama distancia del punto A al plano p. Observa que si A pertenece a dicho plano, la distancia es nula. El punto A’ recibe el nombre de proyección ortogonal de A sobre el plano p.

8. Figuras poliédricas Ángulos diedros, triedros, poliedros. Poliedro Prismas Pirámides Volumen de un poliedro

9. ÁNGULOS DIEDROS cara arista cara Dos planos que se cortan, dividen el espacio en cuatro regiones. Cada una de ellas se llama ángulo diedro o simplemente diedro. Caras del diedro son los semiplanos que lo determinan y arista la recta común a las dos caras Para medir un ángulo diedro, hacemos uso del llamado ángulo rectilíneo correspondiente al diedro. Este es el ángulo formado por dos rectas, una en cada cara, perpendiculares a la arista en un mismo punto. Ángulos rectilíneos de un diedro

10. ÁNGULOS POLIEDROS Poliedro convexo Si fijas tu atención en tu habitación puedes observar cómo dos paredes contiguas junto con el techo se encuentran en un punto. El espacio alrededor de ese punto y comprendido entre las paredes y el techo recibe el nombre de triedro Se llama ángulo poliedro a la región del espacio limitada por tres o más plano que se cortan dos a dos según rectas concurrentes en un mismo vértice. Al igual que lo diedros, tienen caras y aristas Según el número de diedros, el ángulo poliedro se llamará: ángulo triedro, tetraedro, pentaedro, hexaedro, etc. Pudiendo ser cada uno de ellos convexos o cóncavos. En un ángulo poliedro, las secciones producidas por planos paralelos son semejantes y la razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón entre sus lados, y también de sus distancias al vértice Poliedrocóncavo experimenta

11. FIGURAS POLIÉDRICAS Poliedro es todo sólido limitado por caras en forma de polígonos. Según el número de caras, los poliedros pueden ser tetraedros, pentaedros, hexaedros,... Diagonal de una cara Vértice Diagonal cara arista Plano diagonal

12. FÓRMULA DE EULER Todos los poliedros convexos cumplen la relación aritmética: Nº de caras+Nº de vértices=Nº de aristas +2 Expresión conocida con el nombre de relación de Euler, matemático suizo del siglo XVIII 6 8 12 2 5 6 9 2 5 5 8 2 11 11 20 2 7 7 12 2

13. POLIEDROS REGULARES 60º 90º 108º 120º Se llaman poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí y de modo que en cada vértice concurren el mismo número de caras. Sólo hay cinco, y se llaman también sólidos platónicos. TETRAEDRO 3 180º 4 240º OCTAEDRO 5 300º ICOSAEDRO 6 360º Imposible 3 270º HEXAEDRO o CUBO 4 360º Imposible 3 324º DODECAEDRO 4 Imposible >360º 3 Imposible 360º

14. SÓLIDOS PLATÓNICOS Platón, filósofo griego del siglo IV a.J:C:, concebía el mundo como constituido por los cuatro principios básicos:tierra, fuego, aire y agua. Según Platón, la tierra correspondía al cubo, es decir a la forma “más sólida y menos móvil”, y el fuego al tetraedro, porque es el sólido que tiene la forma “más aguda y más móvil”, el aire y el agua correspondían al octaedro y al icosaedro. El quinto y último sólido regular, el dodecaedro, fue considerado por Platón como símbolo del universo. Sin duda nos hallamos entre el misticismo y la ciencia propia de la época. En cuanto al figura de Platón no parece que haya contribuido mucho a las matemáticas por sí mismo, pero no cabe duda de que su influencia a través de la Academia, institución por él fundada en Atenas, les dio un gran prestigio. Es célebre la inscripción por él fundada en Atenas, les dio un gran prestigio. Es célebre la inscripción que figuraba a la entrada de la Academia: “No entre aquí nadie que ignore la geometría” Siglos mas tarde, los poliedros regulares inspiraron a Johannes Kepler, astrónomo alemán del siglo XVII, en el estudio del movimiento de los seis planetas conocidos hasta entonces. Kepler concebía Saturno, Júpiter, Marte, Venus y Mercurio como moviéndose en unas esferas separadas la una de la otra por el cubo, por el tetraedro, por el dodecaedro, por el octoedro y por el icosaedro. Todo había de ser regulado por las leyes matemáticas, porque “no hay armonía si no hay matemáticas”

15. PRISMAS Cara básica Arista lateral Cara lateral Arista básica Los prismas son poliedros cuyas caras básicas, paralelas entre sí, son dos polígonos iguales, siendo sus caras laterales paralelogramos. Si las aristas laterales del prisma son perpendiculares a la base se dice que el prisma es recto; en caso contrario el prisma es oblícuo. Los prismas rectos se llaman regulares si sus bases son polígonos regulares. Según sean los polígonos de la base, los prismas se llaman: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales,...etc.

16. ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN PRISMA PB Árealateral=PB.h h AB El área lateral de un prisma es la suma de la superficie de todas sus caras laterales. El desarrollo plano de un prisma recto, es un rectángulo de base el perímetro de la base y de altura su arista lateral Áreatotal=A L+ 2 . A B

17. PARALELEPÍPEDOS Ortoedro Cubo Romboedro M c d O m b a N Unos prismas muy particulares son los paralelepípedos, en los que todas sus caras son paralelogramos. • Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en su punto medio. • b) En el ortoedro, todas sus diagonales son iguales. Para calcular la diagonal del ortoedro es preciso hacer uso del teorema de Pitágoras: En el triángulo rectángulo MON: d2 = m2 + c2 Pero m es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos a y b, y por tanto: m2 = a2 + b2 De donde d2 = a2 + b2 + c2 o también

18. PIRÁMIDES Arista lateral altura Cara lateral Cara básica apotema La pirámide es un poliedro limitado por un ángulo poliedro y un plano que corta todas sus aristas en puntos distintos del vértice. La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. Pirámide recta y pirámide oblícua Según sean los polígonos de la base, las pirámides se llaman: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales,...etc. Si la base es un polígono regular y es recta, se dice que la pirámide es regular. En una pirámide regular, apotema es la altura de una cualquiera de sus caras laterales.

19. ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UNA PIRÁMIDE Y DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE Ab h a h AL AB AB El área lateral de una pirámide es la suma de la superficie de todas sus caras laterales. Si es recta y de base regular (sus caras son triángulos isósceles todos ellos iguales): aapotema lateral aapotema lateral

20. VOLUMEN DE POLIEDROS:VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO c b l a h El volumen de un ortoedro es igual al área de la base (rectángulo) por la altura. El volumen de un cubo es igual al cubo del lado. Si el paralelepípedo es oblícuo, el volumen equivale al del ortoedro con iguales base y altura. Ab

21. PRINCIPIO DE CAVALIERI Si en dos cuerpos de igual altura las áreas de las secciones producidas por planos paralelos a la base son iguales, los cuerpos tienen el mismo volumen. Cavalieri advirtió que tres pilas de igual número de cartulinas iguales tienen el mismo volumen Sin embargo, no es necesario que las cartulinas tengan la misma forma, basta con que las secciones tengan igual área (las bases tengan el mismo área)

22. VOLUMEN DEL PRISMA Y DE LA PIRÁMIDE h h Ab Ab El principio de Cavalieri simplifica el cálculo del volumen de un prisma. Basta comparar éste con el ortoedro de igual altura y base de igual área. Sobre cada una de las seis caras de un cubo, podemos construir una pirámide con el vértice en el centro. Ello supone que el volumen de la pirámide será: Y siendo l = 2 h, tenemos: Lo anterior está referido a una pirámide cuadrangular, no obstante, para otras pirámides sigue siendo válido al tener en cuenta el Principio de Cavalieri. Es decir:

23. D D F F E D E C A C C A B B B III = + I II Un prisma triangular se descompone en tres pirámides triangulares de igual volumen.

24. VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE h Ab H AB VTRONCO DE PIRÁMIDE=VPIRÁMIDE GRANDE-VPIRÁMIDE PEQUEÑA

25. Figuras de revolución En general Cilindro Cono. Tronco de cono Esfera Figuras esféricas

26. FIGURAS DE REVOLUCIÓN Son figuras de revolución las que se obtienen al hacer girar una figura plana alrededor de un eje. experimenta eje eje eje El cilindro como rotación de un rectángulo alrededor de un lado El cono como rotación de un triángulo rectángulo alrededor de un cateto La esfera como rotación de una semicírculo alrededor de su diámetro

27. r r h h 2pr ÁREA Y VOLUMEN DEL CILINDRO  AL=2prh AB=pr2 AT=AL+2 AB Vcilindro= AB h Vcilindro= p r2h

28. ÁREA Y VOLUMEN DEL CONO 2pr g g r h h r AL=prg  AB=pr2 AT=AL+AB

29. r 2pr R 2pR ÁREA Y VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO RECTO Si nos imaginamos un cono cortado por un determinado plano obtenemos otra figura geométrica denominada tronco de cono (recto u oblícuo según sea el plano paralelo o no a la base del cono) AT=AL+AB+ Ab AB=pR2 Ab=pr2 VTRONCO DE CONO=VCONO GRANDE-VCONO PEQUEÑA

30. LA ESFERA Cuerpos como una pelota, una canica o un globo aerostático, nos recuerdan el cuerpo de revolución obtenido por rotación de un semicírculo alrededor del diámetro: la esfera La propiedad que define la esfera es la de que todos sus puntos están a igual distancia de un punto fijo llamado centro; dicha distancia se llama radio de la esfera. R Arquímedes de forma experimental llegó a observar que el volumen de la esfera equivale a Dando pie a que en su tumba fuera grabada la esfera inscrita en un cilindro con las expresiones de sus volúmenes

31. VOLUMEN DE LA ESFERA (I) R O R Imaginemos una semiesfera de radio R así como un cilindro de altura y radio de la base también R, colocados tal como muestra la figura. Vsemiesfera=Vcilindro-Vcomplemento Pero usando el Principio de Cavalieri, demostraremos que el volumen de este complemento es igual al del cono de vértice en O y base la del cilindro Vcomplemento=Vcono Vsemiesfera=Vcilindro-Vcono

32. R O R O O O a E N N E M F H VOLUMEN DE LA ESFERA(II) Recordemos el Principio de Cavalieri: “Si en dos cuerpos de igual altura, las áreas de las secciones producidas por planos paralelos a la base son iguales, ambos tienen el mismo volumen” En nuestro caso se reduce a comprobar que la corona circulardel complemento y el círculo del cono son equivalentes en áreaa cualquier altura El triángulo OHF, rectángulo en H, es isósceles OH=R=HF Por semejanza, lo es igualmente el triángulo OEN. Por tanto EN=OE=a a Resumiendo, ambas secciones son de igual área y por el Principio de Cavalieri el volumen del complemento y del cono son iguales

33. R R O O R R 2R R VOLUMEN DE LA ESFERA (III) Vcomplemento=Vcono Vsemiesfera=Vcilindro-Vcomplemento= Vcilindro-Vcono experimenta

34. ÁREA DE LA ESFERA 2R R La superficie de la esfera se llama superficie esférica. No se puede desarrollar sobre el plano más que aproximadamente. Imaginemos la esfera envuelta por un cilindro que se ajusta por completo a ella. Pues bien, el área de la esfera es igual que el área lateral de ese cilindro VOLUMEN DE LA ESFERA (Otra forma)

35. O UNA RELACIÓN INTERESANTE Es interesante observar que el volumen de la esfera es igual a los 2/3 del volumen del cilindro circunscrito a ella: Vsemiesfera + Vcono = Vcilindro Vsemiesfera El volumen de la zona del cilindro comprendido entre los mismos planos que determinan a aquellos El volumen de la zona esférica El volumen del tronco de cono + =

36. FIGURAS ESFERICAS(I) Huso esférico Cuña esférica Zona esférica Segmento esférico de dos bases

37. FIGURAS ESFERICAS(II) Segmento esférico de una base Casquete esférico Sector esférico Sector esférico de dos bases V=Vsector exterior-Vsector interior

38. Cónicas y cuádricas En general Elipse Parábola Hipérbola Cuádricas

39. CÓNICAS Recuerda cómo el cono venía engendrado por su generatriz al girar ésta alrededor de un eje. Si consideramos tal generatriz como una recta ilimitada, la figura resultante del giro es una superficie cónica, la cual resulta estar compuesta por dos conos ilimitados, unidos por el vértice Cortando una superficie cónica por diferentes planos, obtenemos unas curvas llamadas secciones cónicas o simplemente cónicas. Según la distinta posición del plano, dichas secciones pueden ser: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.

40. SECCIONES CÓNICAS Circunferencia Elipse Según la inclinación del plano que corta la superficie cónica, tenemos las diferentes cónicas: Hipérbola Parábola

41. Círculo Elipse (h) Parábola (h) Hipérbola (h)

42.  B O A A’ F’ F B’ B a b O A c F’ F B’ La elipse La elipse es una curva cuyos puntos cumplen que la suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante(2a). PF+PF’=2a La elipse es la curva obtenida al cortar todas las generatrices de una superficie cónica mediante un plano.   En un corcho fija una cartulina y clava dos chinchetas con 12 cm de separación. Enlaza en cada una de ellas los extremos de un cordón de 20cm de longitud. Manteniendo el cordón tenso con la punta de un lápiz, dibuja la curva que éste te permita trazar. La figura muestra los elementos notables de la elipse. Los diámetros son cuerdas que pasan por el centro, teniendo éstos longitudes variables. El mayor se denomina eje mayor (AA’=2a), y el menor de ellos, eje menor (BB’=2b); ambos son perpendiculares y resultan ser ejes de simetría. F y F’ se denominan focos. La distancia que separa los focos, se llama distancia focal(FF’=2c). Observando el dibujo podemos comprobar que: a2 = b2 + c2 El grado de achatamiento de la elipse se mide por la excentricidad de la elipse, definida como experimenta

43. Excentricidad de la elipse e=0 (los focos coinciden con el centro) 0< e <1 (los focos no coinciden con el centro) 0< e <1 (los focos se van separando del centro) 0< e <1 (los focos se siguen separando del centro y la excentricidad sigue aumentando) e=1 (los focos coinciden con los extremos del eje mayor) experimenta

44. Algo de Historia • Kepler, en el siglo XVII, observó la gran utilidad de las cónicas en astronomía al constatar que las trayectorias de los planetas del sol son elípticas, llegando a enunciar sus tres conocidas leyes sobre el movimiento de los planetas: • Los planetas se mueven alrededor del sol siguiendo órbitas elípticas en uno de cuyos focos esta el sol. • El radio vector que va del sol a un planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales. • Los cuadrados de los tiempos empleados por cada planeta en describir la órbita completa son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas, lo que significa que es idéntica para todos los planetas la relación

45. b R a Área encerrada en una elipse Si sobre una pieza elástica se dibuja un cuadrado y una circunferencia inscrita en él, al estirar la pieza observaremos que el cuadrado se transforma en un rectángulo, mientras que la circunferencia lo hará en la elipse inscrita en dicho rectángulo. Ello permite plantear la siguiente proporción entre áreas: De donde

46. Propiedades de los focos de la elipse En la elipse, los focos tienen la propiedad de que cualquier rayo emergente de uno de ellos se refleja pasando por el otro. En esta propiedad se basan los los espejos y las bóvedas elípticas. Basándose en esta propiedad de la elipse, Miguel de Guzmán, en su libro Cuentos con cuentas, nos presenta las siguientes escenas: El secreto del Salón Ovalado: El gran Salón Ovalado estaba lleno hasta rebosar de espías, contraespías y contracontraespías. Y, sin embargo, el Primer Ministro tenía absoluta necesidad de comunicar inmediatamente a Su Majestad el gran secreto del que acababa de enterarse. Como quien no quiere la cosa, al aproximarse al Rey le dijo con voz bien perceptible: “Majestad, parece que los focos de rebeldes reclaman nuestra atención”. Todos los espías se fueron hacia las paredes del salón para sacar de los forros de sus capas allí colgadas las claves de los mensajes cifrados. Les siguieron, naturalmente con gran sigilo, los contraespías, y a éstos, los contracontraespías. El Rey, con paso tranquilo, pero decidido, se dirigió hacia un lado del ovalado salón. El Ministro, por su parte, se dirigió en dirección contraria al otro lado del salón ovalado. Los espías los observaban de reojo mientras consultaban en sus libretas “parece”, “focos”, “rebeldes” y “exigen”. Los contraespías estaban atentos a los espías, y los contracontraespías no perdían de vista ni un momento a sus contraespías correspondientes. El Rey se paró un momento y el Ministro, respetuoso, se paró también en su camino. Estaban a más de 20 metros de distancia cuando un espía más astuto observó y apuntó en su libreta. “Este Ministro, o habla solo o está rezando”. Pero nadie pudo oir nada. Sólo el Rey pudo percibir claramente en sus oídos el mensaje del Ministro: “Majestad, con todos mis respetos, su bragueta está completamente abierta”

47. directriz eje V La parábola La parábola es la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano paralelo a una sola generatriz. La parábola es una curva cuyos puntos equidistan de una recta (directriz) y de un punto fijo llamado foco. En Física existen diversos movimientos con forma parabólica. Fue Galileo quien demostró que la trayectoriaseguida por un proyectil es una parábola y calculó una tabla de distancias y elevaciones en la cual el artillero podía hallar la altura a que debía elevar la mira de su cañón para hacer blanco en un punto situado a una distancia determinada. En la parábola el foco es tal que los rayos que emergen de él “rebotan” en ella saliendo paralelos al eje y viceversa. Esta propiedad permite múltiples aplicaciones, en hornos parabólicos, antenas parabólicas de TV, estufas, espejos o faros. experimenta

48. La hipérbola asíntota asíntota b c a F’ La hipérbola es una curva cuyos puntos cumplen que la diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante(2a). PF-PF’=2a La hipérbola es la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano paralelo a dos generatrices. La figura muestra los elementos notables de la hipérbola. Las longitudes de los lados del rectángulo de la figura son las medidas del eje real (AA’=2a), y del eje imaginario (BB’=2b); ambos son perpendiculares y resultan ser ejes de simetría. F y F’ se denominan focos. La distancia que separa los focos, se llama distancia focal(FF’=2c). Observando el dibujo podemos comprobar que: c2 = a2 + b2 Un punto luminoso colocado en uno de los focos, al emitir rayos sobre ella, son reflejados de forma divergente como si procedieran de otro foco. En esta propiedad se basan los espejos hiperbólicos usados en superficies amplias como los estadios de fútbol. experimenta

49. Excentricidad de la hipérbola e=2’24 e=1’25 e=1’03 experimenta

50. Superficies engendradas por cónicas: las cuádricas El balón de rugby, las antenas parabólicas de telecomunicación o las chimeneas de una central térmica son figuras engendradas por cónicas, ya sea por rotación de éstas alrededor de uno de sus ejes o bien por simple traslación o desplazamiento. Todas ellas constituyen una nueva familia de figuras, las cuádricas.