Download
1 / 56
560 likes | 865 Views
Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D Spelen en Delen. Frank Thuijsman 1 juli 2010. Inhoudsopgave Boekje. Een Bankroet Probleem uit de Talmud Coöperatieve Spelen Rationaliteit en Kennis Spelen in Strategische Vorm Matrixspelen
E N D
Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D Spelen en Delen Frank Thuijsman 1 juli 2010
Inhoudsopgave Boekje • Een Bankroet Probleem uit de Talmud • Coöperatieve Spelen • Rationaliteit en Kennis • Spelen in Strategische Vorm • Matrixspelen • “Huwelijksproblemen” • Eindopdrachten • Antwoorden
Programma vanmiddag • Een Bankroet Probleem uit de Talmud • Coöperatieve Spelen • Spelen in Strategische Vorm • Matrixspelen • “Huwelijksproblemen”
Een Bankroet Probleem uit de Talmud Nalatenschap 50 50 Weduwe 75 100 75 150 Gelijk ??? Proportioneel “Andere verdeelproblemen moeten op dezelfde manier opgelost worden.’’ Hoe moet 400 verdeeld worden? Wat als een vierde weduwe 400 claimt?
Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen De waarde van coalitie S is het bedrag dat overblijft, als eerst de claims van de andere spelers betaald worden. De nucleolus van het spel 0 0 100 200 0 0 0 0
Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen De waarde van coalitie S is het bedrag dat overblijft, als eerst de claims van de andere spelers betaald worden. De nucleolus van het spel 0 0 0 0 0 0 0 100
Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen De waarde van coalitie S is het bedrag dat overblijft, als eerst de claims van de andere spelers betaald worden. De nucleolus van het spel 0 0 0 100 200 300 0 0
Coöperatieve Spelen kosten ofwinsten verdelen op basis van de waarden van de coalities
De Core (0,0,14) (6,0,8) (7,0,7) (0,7,7) Leeg (6,8,0) (7,7,0) (14,0,0) (0,14,0)
Lloyd S. Shapley A value for n-person games, In: Contribution to the Theory of Games, Kuhn and Tucker (eds), Princeton, 1953
De Shapley-waarde Voor coöperatieve spelen is er precies één oplossingsconcept dat voldoet aan de eigenschappen:- Anonimiteit - Efficiëntie - Dummy - Additiviteit De Shapley-waardeΦgeeft elke speler het gemiddelde van zijn marginale bijdragen
De Shapley-waarde Marginale bijdragen 6 3 5 6 3 5 2 7 5 3 7 4 4 3 7 3 4 7 24 27 33 4 4.5 5.5
David Schmeidler The nucleolus of a characteristic function game, SIAM Journal of Applied Mathematics 17, 1969
De Nucleolus (0,0,14) Φ = (4, 4.5, 5.5) (4,5,5) de nucleolus Leeg (14,0,0) (0,14,0)
Talmud-spelen (0,0,100) de nucleolus (100,0,0) (0,100,0)
Talmud-spelen (0,0,200) (200,0,0) (0,200,0)
Talmud-spelen (0,0,200) de nucleolus (200,0,0) (0,200,0)
Talmud-spelen (0,0,300) (300,0,0) (0,300,0)
Talmud-spelen (0,0,300) de nucleolus (300,0,0) (0,300,0)
Een Bankroet Probleem uit de Talmud Nalatenschap 50 50 Weduwe 75 100 75 150 “Andere verdeelproblemen moeten op dezelfde manier opgelost worden.’’ Hoe moet 400 verdeeld worden? Wat als een vierde weduwe 400 claimt?
De Oplossing Een andere Mishna uit deTalmud luidt: “Twee houden een kleed vast; de een claimt het hele kleed, de ander claimt de helft. Dan krijgt de een 3/4, de ander 1/4.” Baba Metzia 2a, Fol. 1, Babylonian Talmud, Epstein, ed, 1935
Consistentie De één claimt 100, de ander alles dus 25 is voor de ander; de rest (100) claimen beiden, dus daarvan krijgt elk de helft
Consistentie Ieder claimt alles, dus elk krijgt de helft
Consistentie De één claimt 200, de ander alles dus 50 is voor de ander; de rest (200) claimen beiden, dus daarvan krijgt elk de helft
Marek M. Kaminski ‘Hydraulic’ rationing, Mathematical Social Sciences 40, 2000
Communicerende Vaten 50 100 150 50 100 150
Communicerende Vaten: 100 33.33 33.33 33.33
Communicerende Vaten: 200 75 75 50
Communicerende Vaten: 300 150 100 50
Communicerende Vaten: 400 125 225 50
Communicerende Vaten: 400 voor 4 125 125 100 50
Spelen in Strategische Vorm Nash-evenwicht voor een n-persoons spel: Een n-tal strategieën, voor elke speler één, met de eigenschap dat voor elke speler zijn strategie een beste antwoord is tegen de strategieën van de anderen.
“A Beautiful Mind” Reinhard Selten John F. Nash John C. Harsanyi 1994: Nobelprijs Economie Non-cooperative games, Annals of Mathematics 54, 1951
Evenwicht in een Bimatrixspel? 1-p p q 1-q “gemengde acties” “verwachte uitbetalingen”
Evenwicht in een Bimatrixspel? Verwachte uitbetaling: 4(1-q) = 4-4q -(1-q)+5q = -1+6q 1-q q Als q= 0.5, dan geldt 4-4q = -1+6q, en dan is Boven even goed als Onder voor speler 1. De verwachte uitbetaling voor speler 1 is dan 2, ongeacht of hij Boven of Onder kiest.
Evenwicht in een Bimatrixspel? 1-p p 3p 3(1-p) Verwachte uitbetaling: Als p = 0.5, dan geldt 3p = 3(1-p), en dan is Links even goed als Rechts voor speler 2. De verwachte uitbetaling voor speler 2 is dan 1.5, ongeacht of hij Links of Rechts kiest.
Evenwicht in een Bimatrixspel! 0.5 0.5 0.5 0.5 een “gemengd” evenwicht met (verwachte) uitbetaling (2, 1.5)
Matrixspelen 1-p p 4-5p 5p Verwachte uitbetaling: 5 4 0 p 1 0 -1
Matrixspelen 1-p p 4-5p 5p 5 Speler 1 wil p zo kiezen dat het minimum van 4-5p en 5p maximaal is. Bij p = 0.4, minimum 2. 4 2 0 p 0 0.4 1 -1
Matrixspelen 4-4q -1+6q 1-q q 5 Speler 2 wil q zo kiezen dat het maximum van 4-4q en -1+6q minimaal is. Bij q = 0.5, maximum 2. 4 4-4q -1+6q 2 0 q 0 0.5 1 -1
De Waarde van het Spel het maximum van de minima = 2 = het minimum van de maxima 5 5 4 4 4-4q -1+6q 2 2 0 0 p q 0 0.4 1 0 0.5 1 -1 -1
De Minimax-stellingJohn von Neumann, 1928 Voor elk matrixspel bestaat er een getal v, de waarde, en optimale strategieënx en y, zodat x aan speler 1 een uitbetaling van minstens v en y aan speler 1 een uitbetaling van hoogstens v garandeert. In andere woorden: Voor elke matrix A geldt: max min xAy = min max xAyxyyx
John von Neumann Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944
Het Oplossen van (Bi-)Matrixspelen • Matrixspelen kunnen opgelost worden m.b.v. lineair programmeren; bijv. met de simplexmethode. • De minimax-stelling kan bewezen worden met de dualiteitsstelling van lineair programmeren. • Voor bimatrixspelen kunnen evenwichten gevonden worden d.m.v. een pivoting algoritme dat lijkt op de simplexmethode.
