1 / 34

Wiskunde en Woestijnen

Wiskunde en Woestijnen. De Dynamica van Patronen:. Arjen Doelman CWI & UvA. Wat zijn patronen?. Zeer verschillende ordes van grootte. (On)regelmatig. Patroonvorming vindt plaats in natuurlijke processen die gemodelleerd kunnen worden met differentiaalvergelijkingen .

saniya
Download Presentation

Wiskunde en Woestijnen

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Wiskunde en Woestijnen De Dynamica van Patronen: Arjen Doelman CWI & UvA

  2. Wat zijn patronen?

  3. Zeer verschillende ordes van grootte ...

  4. (On)regelmatig

  5. Patroonvorming vindt plaats in natuurlijke processen die gemodelleerd kunnen worden met differentiaalvergelijkingen. Een patroon verandert (bijna per definitie) in de ruimte en in de tijd. [De zand-/windgolfjes: -- de hoogte H van een golfje wordt (wiskundig) beschreven door een functie van twee plaatsvariabelen (x & y); -- de ligging verandert als functie van de tijdsvariabele t. Dus: H = H(x,y,t).] Wiskundig gezien zijn patronen dan ook oplossingen van `partiёle differentiaalvergelijkingen’ (PDVs). JARGON (en zeer grofweg): Een PDVis een `oneindig-dimensionaal dynamisch systeem’. [Q: Wat is dat???]

  6. Als voorbeeld van het type vragen en methodes die een rol spelen in het vakgebied `pattern formation’ beschouwen we een expliciete en relevante toepassing: `vegetatiepatronen’ en hun rol in het proces van `verwoestijning’. We gaan met name in op een aspect dat er binnen de wiskunde soms/vaak bekaaid vanaf komt: de modelvorming. Motivatie: Alleen met een goede kennis van het model kan je de vragen vanuit de toepassing vertalen in een wiskundige probleemstelling. En andersom: alleen in dat geval kan je de wiskundige inzichten correct interpreteren. Opm. `Toegepaste vragen’ geven (zeer) vaak aanleiding tot het ontwikkelen van nieuwe wiskunde.

  7. Enige achtergrond: Woestijngebieden in de wereld

  8. Verwoestijning in Afrika (als voorbeeld)

  9. WISKUNDE? numerieke simulaties Een `catastrofale hysterese-loop’

  10. `Spotted patterns’ als indicatie voor verwoestijning Negev, Isreal; schaal: tientallen centimeters Niger, Africa; schaal: tientallen meters

  11. Pearson 1993 `Complex patterns in a simple system’ (D=0.5)

  12. De Gray-Scott vergelijking is vooral bestudeerd voor het fenomeen van `self-replicating spots’ chemische reactie numerieke simulatie [Pearson, Swinney et al. 1994] Self-replicating vegetatie-patronen?? Negev, Isreal

  13. [Pearson, Swinney et al. 1994] `Volcanoes’ en `Rings’ Negev, Isreal

  14. Opmerking: Het is nu verleidelijk om bij elk vegetatie-patroon een soortgelijk patroon te zoeken dat optreedt in simulaties van de Gray-Scott vergelijking (voor zekere (A,B,D)) ... Maar is dit ook wiskunde/wetenschap?? Probeer de patronen wiskundig te begrijpen.

  15. Wat voor oplossingen zijn er mogelijk? Ga op zoek naar stationaire/stilstaande `patronen’ De PDV wordt een gewone DV:

  16. begroeiing woestijn woestijn

  17. Restrictie tot 1 ruimtelijke dimensie Om de vegetatiepatronen te begrijpen bestudeer je eerst de homocliene bouwstenen, de `oases’. begroeiing woestijn woestijn

  18. Stabiliteit • Vraag: • Wat gebeurt er als je een homocliene oase iets verstoord? • Groeit deze verstoring? • Dan is de oase instabiel, en kan deze in de praktijk niet worden waargenomen. • Dempt de verstoring uit? • Dan is de oase stabiel, en kan inderdaad gezien worden als bouwsteen voor de meer complexe (en realistische) patronen.

  19. Stabiliteit

  20. CONCLUSIE: • De homocliene oases zijn instabiel, en kunnen dus niet worden waargenomen. • Sterker nog: • De ruimtelijk periodieke patronen zijn allemaal instabiel. • (Hoe toon je dat aan?) • Met andere woorden: • De woestijn (W=0) is het enige stabiele patroon in de gereduceerde vergelijking! WAT NU?

  21. De reductie naar het versimpelde model was een te grote stap! Bestudeer de `echte’ Gray-Scott vergelijking. Conclusie: Afhankelijk van de parameters kunnen de homocliene oases en de `bijna homocliene’ ruimtelijk periodieke patronenWEL stabiel zijn. begroeiing (water) begroeiing woestijn woestijn Opm: `nieuwe’ wiskunde! [D., Gardner, Kaper] (2002).

  22. NIEUWE WISKUNDE? Het splitsingsproces is door velen uitgebreid bestudeerd, maar nog steeds niet helemaal begrepen. Het is `ontdekt’ in het Gray-Scott systeem en komt voor in klasses van reactie-diffusie vergelijkingen.

  23. De `vulkaan/ring-patronen’ zijn wiskundig vrij goed begrepen Voorbeeld: de overgang van een `vulkaan’ naar een multi-spot patroon. [Morgan & Kaper, 2004]

  24. TERUG NAAR DE WOESTIJN: • Wat kan de wiskunde doen? • Vind een fundamentele verklaring - kwalitatief en zo mogelijk kwantitatief - voor het optreden van de hysterese loop onafhankelijk van het preciese model en de gekozen parameters. • Nieuw researchproject Geertje Hek, Sjors van der Stelt & AD met Max Rietkerk & zijn groep (Aardwetenschappen, Utrecht).

  25. begroeiing begroeiing • DE WISSELWERKING: • De vragen/waarnemingen van `de aardwetenschappers’ kunnen al snel niet met bestaande wiskunde worden beantwoord ... • Hoe `nuttig’ is de interactie? • Multi-stabiliteit & sommige patterns `overleven’ langer dan andere ... • De dynamica van patronen aan de rand van een woestijn ... Beide voorbeelden staan sterk in de belangstelling als wiskundige problemen in het vakgebied `pattern formation’. Beide voorbeelden zijn uiterst relevant (`Kun je aan het karakter van een patroon zien hoe groot de `overlevingskans’ is?’)

More Related