Cours 4-a Méthode des éléments finis 2D

1. Cours 4-aMéthode des éléments finis 2D • Généralités • Technique d’affaiblissement en 2D et 3D • Approximation d’un élément triangulaire simple : T3 • Intégration des termes de contour • Application à la thermique : ailette de refroidissement NF04 - Automne - UTC

2. Réaliste mais complexe Basique et/mais simple Passage 3D 2D 1D 3 dimensions caractéristiques = aucune négligeable 2 dimensions caractéristiques = 1 négligeable 2D-Plan ou 2D-axi 1 dimension caractéristique = 2 négligeables Le choix dépend du degré de réalisme recherché mais aussi du phénomène que l’on souhaite étudier, car tout est 3D dans la nature ! NF04 - Automne - UTC

3. Équation de la chaleur en 2D • Équation d’équilibre thermique : • Conditions aux limites : • Domaine : A (Aire) NF04 - Automne - UTC

4. Normale extérieure au domaine Formes intégrales en 2 dimensions (2D) Démarche identique au cas 1D • Pondération et intégration : • Intégration par parties : Propriété k isotrope (simplification volontaire) Car 2D On l’élimine par la suite Important : à l’issue de ces 2 étapes, vérifier que chacun des termes de W est toujours un scalaire ! NF04 - Automne - UTC

5. Termes de contour : C. aux L. naturelles Écriture formelle de W : Où : Triangle à 3 nœuds : T3 Barre Cauchy Terme qui sera éliminé par la prise en compte des conditions de Dirichlet ! Barre Neumann NF04 - Automne - UTC

6. Maillage 2D : exemple Eléments barre Convention : sens de lecture des nœuds = sens trigonométrique NF04 - Automne - UTC

7. Formes intégrales élémentaires Avec : NF04 - Automne - UTC

8. Élément triangulaire à 3 nœuds : T3 Sens de lecture des nœuds ! Ae NF04 - Automne - UTC

9. Choix des fonctions d’approximation • Approximation par éléments finis : • Fonctions d’approximation linéaires : (équation d’un plan) Astuce : utiliser le triangle de Pascal pour choisir la forme de l’approximation NF04 - Automne - UTC

10. Calcul des fonctions d’approximation • On applique la relation générale : Soient les 3 systèmes à 3 équations suivants à résoudre : NF04 - Automne - UTC

11. Calcul des fonctions d’approximation • Après résolution des 3 systèmes : Avec : (Aire de l’élément) NF04 - Automne - UTC

12. Calcul de la surface élémentaire • La surface élémentaire d’un triangle quelconque se calcule à l’aide d’un simple produit vectoriel NF04 - Automne - UTC

13. Illustration des fonctions d’approximation NF04 - Automne - UTC

14. Reconstruction globale à partir d’approximations élémentaires L’approximation par éléments finis T3 assure la continuité inter-éléments sur la variable inconnue mais pas sur ses dérivées ! NF04 - Automne - UTC

15. Calcul des formes intégrales discrètes • Pour rappel, la forme élémentaire à discrétiser est : • Le terme de gradient est déduit de l’approximation sur T : • avec [B] : matrice gradient • De même pour le gradient de la fonction-test. NF04 - Automne - UTC

16. Suite … • La forme élémentaire s’écrit alors : Si f =f(x,y), on considèrera : • Pour l’élément T3, la matrice [B] est composée de constantes, d’où : Avec : • Intégration rendue possible (!!) soit : • Par changement de variables (prochain cours) • Intégration numérique (prochain cours) NF04 - Automne - UTC

17. S : abscisse curviligne Traitement des termes de contour : Neumann • La ou les conditions de Neumann sont « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds. • Les fonctions sont (cf cours « Eléments finis 1D ») : Soit : NF04 - Automne - UTC

18. S : abscisse curviligne Traitement des termes de contour : Cauchy • La ou les conditions de Cauchy sont aussi « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds. Soit : NF04 - Automne - UTC

19. Assemblage NF04 - Automne - UTC

20. Traitement des termes de contour : Dirichlet • Ces conditions sont introduites dans le système en TOUTE DERNIERE ETAPE : • Par la méthode du terme unité sur la diagonale ou • Par la méthode du terme diagonal dominant ou • Par élimination de la ligne et colonne correspondante (hors NF04). Ces méthodes sont analogues au cas 1D (cf cours « Eléments finis 1D ») NF04 - Automne - UTC

21. Application : ailette de refroidissement • Modèle physique + maillage Table des coordonnées : Table des connectivités : f=0 Flux nul NF04 - Automne - UTC

22. Calcul des matrices et vecteurs élémentaires • Elément T3 n°1 : • Elément T3 n°2 : NF04 - Automne - UTC

23. Calcul des matrices et vecteurs élémentaires • Elément Neumann n°3 : • Elément Cauchy n°4 : NF04 - Automne - UTC

24. Phase d’assemblage • Connectivités : • Matrice globale : • Vecteur global : NF04 - Automne - UTC

25. Application : ailette de refroidissement • Résolution et post-traitement Affichage des champs de couleurs NF04 - Automne - UTC