Méthodes de prévision (STT-3220)

1. Méthodes de prévision (STT-3220) Section 6 Classe des modèles ARMA Version: 16 décembre 2008

2. Classe des processus ARMA(p,q) • Soit le processus tel que et supposons que . Le processus est autorégressif moyenne mobile d’ordre (p,q) s’il satisfait la relation: • Le processus est un bruit blanc • Les paramètres sont des nombres réels. STT-3220; Méthodes de prévision

3. Opérateur retard B(backward shift operator) • Soit le processus . L’opérateur retard B se définit comme suit: STT-3220; Méthodes de prévision

4. Opérateur retard (suite) • On suppose également que de sorte que . • De plus: . • L’opérateur retard est linéaire: STT-3220; Méthodes de prévision

5. Opérateur retard (suite) • Considérons l’opérateur polynomial B: • On a alors que: STT-3220; Méthodes de prévision

6. Opérateur retard (suite et fin) • Somme, produit et produit par un scalaire se définissent de la même façon que pour des polynômes d’une variable réelle. STT-3220; Méthodes de prévision

7. Opérateur « différence » ainsi que « différence saisonnière » • D’autres opérateurs sont utiles: • Opérateur différence: • Par exemple: • Opérateur différence saisonnière: Soit s. On le définit comme: • Exemple: STT-3220; Méthodes de prévision

8. Réécriture des modèles ARMA à l’aide de l’opérateur retard • Posons: • Il est élégant et économique d’écrire: • Si , on dit que le processus est ARMA(p,q) si STT-3220; Méthodes de prévision

9. Processus autorégressifs; Processus moyennes mobiles • Un processus ARMA(p,0) est souvent noté AR(p): • Un processus ARMA(0,q) est souvent noté MA(q): STT-3220; Méthodes de prévision

10. Racines communes • Considérons un modèle ARMA: • Comme nous allons le constater, la stationnarité et l’inversibilité reposeront sur l’étude des racines du polynôme autorégressif (stationnarité) et du polynôme moyenne mobile (inversibilité). • Cependant, il faudra s’assurer que les deux polynômes n’ont pas de racines communes. Si tel est le cas, on retire simplement les facteurs communs. • Exemple: n’est pas un ARMA(1,1), mais le bruit blanc: . STT-3220; Méthodes de prévision

11. Étude de la stationnarité d’un processus ARMA(p,q) • Soit un processus qui est ARMA(p,q). Se demander si ce processus est stationnaire est se questionner si admet une représentation du genre: • On rappelle que: • On aimerait faire « disparaître » l’opérateur . • On aimerait multiplier par de chaque côté. STT-3220; Méthodes de prévision

12. Étude de la stationnarité (suite) • Un résultat stipule que pour avoir l’existence de l’opérateur , il faut étudier les racines de l’équation: • Résultat fondamental: • existe si et seulement si les racines de l’équation sont plus grandes que un en module. STT-3220; Méthodes de prévision

13. Exemple: processus AR(1) • Le processus est: • De manière équivalente: • L’équation caractéristique est: • La racine de cette équation est: • Si on a alors que: STT-3220; Méthodes de prévision

14. Stationnarité d’un ARMA(p,q) • Si est un opérateur qui existe, on a alors que l’équation peut être multipliée de chaque côté par l’opérateur , ce qui nous donne: STT-3220; Méthodes de prévision

15. Inversibilité d’un processus ARMA(p,q) • Soit un processus qui est ARMA(p,q). Se demander si ce processus est inversible est se questionner si admet une représentation du genre: • La discussion est en tout point similaire à celle sur la stationnarité. Dans , on veut multiplier de chaque côté par . STT-3220; Méthodes de prévision

16. Inversibilité d’un ARMA(p,q) (suite) • L’opérateur existe si et seulement si les racines de l’équation sont plus grandes que un en module. • Dans un tel cas: STT-3220; Méthodes de prévision

17. Inversibilité d’un ARMA(p,q) (suite) • On note que dans: • Ainsi: STT-3220; Méthodes de prévision

18. Exemple: Inversibilité d’un processus MA(1) • Le processus est: • De manière équivalente: • L’équation caractéristique est: • La racine de cette équation est: • Si on a alors que: STT-3220; Méthodes de prévision

19. Remarques • Soient l’éqn , ou l’éqn avec • En général, les racines de ces équations pourraient être des nombres complexes. • On rappelle que si est racine d’une équation, avec , il en est de même du conjugué, i.e. que sera également racine. • Rappel: le module d’un nombre complexe est donné par la formule: STT-3220; Méthodes de prévision

20. Plan complexe STT-3220; Méthodes de prévision

21. Expressions consacrées! • Vous allez souvent rencontrer des expressions du genre: • « Les racines de (…) sont plus grandes que un en module ». • Ou encore: • « Les racines de (…) sont à l’extérieur du cercle unité ». STT-3220; Méthodes de prévision

22. Cercle unité (dans le plan complexe) STT-3220; Méthodes de prévision

23. Étude de la stationnarité et de l’inversibilité d’un AR(p) • Processus AR(p): • Ce processus est stationnaire ssi les racines de sont plus grandes que un en module. • Ce processus est toujours inversible. • Exemple: AR(1)admet une représentation en terme des valeurs passées et est stationnaire ssi STT-3220; Méthodes de prévision

24. Étude de la stationnarité et de l’inversibilité d’un MA(q) • Processus MA(q): • Ce processus est inversible ssi les racines de sont plus grandes que un en module. • Ce processus est toujours stationnaire. • Exemple:MA(1) admet une représentation en terme d’un bruit blanc et est inversible ssi STT-3220; Méthodes de prévision