5. LE CARATTERISTICHE DINAMICHE

1. 5. LE CARATTERISTICHE DINAMICHE Indice Generale

2. CARATTERISTICHE DINAMICHE DEGLI STRUMENTI DI MISURA Modello generale : equazione differenziale lineare a coeff. costanti qo ,qi sono funzioni del tempo SOLUZIONE DI EQ. DIFFERENZIALE

3. Forma simbolica con operatore Funzione di trasferimento sinusoidale

4. Utilizzo della funzione di trasferimento operazionale: definizione di modelli dinamici di sistemi composti se si possono trascurare gli effetti di carico

5. SOLUZIONE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFF. COSTANTI q0g :soluzione dell’ equazione q0p : integrale particolare che dipende dalla forma della funzione

6. q0g ha n costanti arbitrarie che dipendono dalle condizioni iniziali, cioè dai valori di all’ istante t=0 q0p non ha nessuna costante arbitraria per la determinazione di qog esiste un metodo generale che consiste nel risolvere l’ equazione algebrica associata

7. Per ogni radice reale singola s si somma nella soluzione q0g un termine del tipo cest • Per ogni radice reale s n-pla si somma nella soluzione q0g un termine del tipo (c0+c1t+c2t2+ … +cn-1tn-1)est • Per ogni radice complessa a+ib singola si somma nella soluzione q0g un termine del tipo c1eatsin(bt+c2) • Per ogni radice complessa a+ib, ripetuta n volte, nella • soluzione q0g si aggiunge un termine del tipo

8. La funzione di trasferimento sinusoidale è una funzione complessa che può essere espressa nella forma polare è estremamente importante

9. IL MODULO M di questa funzione è il rapporto tra le ampiezze dell’ uscita (sinusoidale) e dell’ ingresso quando l’ ingresso è sinusoidale • LA FASE di questa funzione è pari alla differenza di fase tra l’ uscita (sinusoidale) e l’ ingresso quando l’ ingresso è sinusoidale QUESTA FUNZIONE CARATTERIZZA COMPLETAMENTE STRUMENTI DI QUALSIASI ORDINE QUANDO L’ INGRESSO E’ DI TIPO SINUSOIDALE

10. DIMOSTRAZIONE PROPRIETA’ DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO SINUSOIDALE Per ogni strumento la risposta A REGIME ad un ingresso sinusoidale del tipo è un’ uscita del tipo cioè con la stessa frequenza dell’ ingresso, diversi ampiezza e fase.

11. Se rappresentiamo le quantità dinamiche qi e qo con esponenziali complessi per la relazione di Eulero si ha

12. cioè: Sostituendo nell’ equazione differenziale che descrive il modello dello strumento di misura alle quantità qi e qo le loro rappresentazioni con esponenziali complessi si ha questa eq. complessa sarà soddisfatta se le parti reali dei due termini saranno uguali e lo stesso vale per le parti immaginarie.

13. Dalla eq. precedente si ha inoltre e e quindi

14. STRUMENTO DI ORDINE ZERO Unico parametro che lo caratterizza : k=SENSIBILITA’ STATICA ESEMPIO: POTENZIOMETRO Eb L Xi e0

15. Funzione di traferimento sinusoidale dello strumento di ordine zero M K 0 STRUMENTO PERFETTO

16. STRUMENTO DI ORDINE UNO Sensibilità statica Costante di tempo

17. ESEMPIO :Termometro

18. K=1 poiché abbiamo considerato sia come ingresso che come uscita delle temperature • Se consideriamo come qo lo spostamento xo • sia KV il coefficiente di espansione volumetrica del liquido del termometro

19. Risposta al gradino dello strumento del primo ordine

20. Integrale generale della integrale particolare soluzione completa condizioni iniziali: quindi

21. = Differenza percentuale per quindi  è il tempo necessario perché l’uscita raggiunga il 63,2% del valore finale

22. Risposta ad una rampa dello strumento del primo ordine

23. Come per il caso precedente l’integrale generale è e l’integrale particolare è La soluzione risulta quindi Con le condizioni iniziali: si ottiene

24. Il grafico di questa risposta è il seguente

25. Risposta in frequenza dello strumento del I ordine

26. Risposta all’impulso dello strumento del I ordine Definizione di impulso Funzione picco p(t)

27. Funzione impulso Per lo strumento del I ordine con ingresso p(t) Come per il gradino , la soluzione è Valida però solo fino al tempo t = T

28. All’istante t = T sarà (I) Per t > T l’eq. Differenziale da risolvere è Che ha per soluzione La costante iniziale C si determina con la condizione iniziale (I) , si ottiene

29. E quindi La risposta all’impulso si ottiene facendo il limite di questa espressione per T  0 e applicando la regola di L’Hopital per la forma indeterminata 0/0 ( il limite del rapporto tra le derivate) si ottiene

30. Che riportata in un grafico ha l’andamento seguente Proprietà dell’impulso

31. STRUMENTI DEL SECONDO ORDINE Dividendo, al solito , per ao e posti Sensibilità statica frequenza naturale non smorzata rapporto di smorzamento

32. Si ottiene la funzione di trasferimento operazionale ESEMPIO DI STRUMENTO DEL II ORDIINE : LA BILANCIA

33. fi xo dove

34. Risposta in frequenza (Risposta ad un ingresso sinusoidale) In forma polare si ottiene : Modulo fase