ARTE Y COMBINATORIA

1. ARTE Y COMBINATORIA ¿Inspiración o simple probabilidad? Álvaro Fernández Fernández del Amo 04297

2. 1-BREVE BIOGRAFÍA DE MOZART Wolfgang Amadeus Mozart nació en Salzburgo, el 27 de enero de 1756 y murió en Viena el 5 de diciembre de 1791. Es considerado como uno de los más grandes compositores de música de todos los tiempos. A pesar de que murió muy joven, nos ha legado una obra que abarca todos los géneros musicales de su época: óperas, conciertos, sonatas, sinfonías…. Según el testimonio de sus contemporáneos era, un virtuoso del piano, el violín y la viola. A los cuatro años practicaba el clavicordio y componía pequeñas obras de considerable dificultad; a los seis, tocaba con destreza el clave y el violín. Podía leer música a primera vista, tenía una memoria prodigiosa y una inagotable capacidad para la improvisación. Existen numerosas leyendas acerca de su enemistad con Salieri, algunas de las cuales involucran a éste último en la muerte de Mozart. Sin embargo parecen infundadas, aunque son aceptadas por muchas personas debido a la literatura y el cine. • Mozart perteneció a una logia masónica, de la que llegó a ser Maestro. Algunas evidencias de esto se encuentran en sus obras, como la Flauta Mágica. Sin embargo, también sobre este hecho se ha construido una leyenda de tintes oscurantistas y misteriosos que distorsionan una realidad mucho más simple.

3. 2-EL JUEGO DE LOS DADOS Entre las obras de Mozart se encuentra Musikalisches Würfelspiel. Se publica por primera vez en 1793. Es en realidad un generador de valses. Consta de 176 compases, de los que se pueden obtener un número de valses “casi infinito”, de 16 compases cada uno, sin más que tirar unos dados. La manera de seleccionar los compases y su orden es la siguiente: • Se tiran dos dados, y según sea su suma, se toma el compás correspondiente a esa suma, de la primera columna. Para dos dados, la suma está comprendida entre 2 y 12 (11 posibles valores), que son las 11 filas de la tabla. • Se repite el proceso con las 16 columnas, obteniéndose los 16 compases que formarán nuestro vals. El número que aparece en cada casilla indica el número de compás, de entre los 176, que se ha de coger. Véase que cada compás puede salir solo una vez, pues en total hay 176 casillas Por ejemplo, si al tirar los dados 16 veces obtenemos las sumas 5,4,7,3,12,7,6,9,10,8,8,2,6,8,3,7 deberíamos coger los compases: 40,95,27,63,28,68,36,94,65,155,57,9,76,168,116,151

4. Si no tenemos en cuenta que algunos compases son iguales entre sí, el número total de posibles piezas es de (en cada tirada hay 11 posibles resultados, y se realizan 16 tiradas) Al tirar los dos dados, no todos los números del 2 al 12 tienen la misma probabilidad de salir: De este modo, el vals más probable sería el: (7,7,7,…..7,7), correspondiente a sacar un siete en cada tirada, con una probabilidad Por contra, el vals más improbable sería el (2,2,2……2) ó el (12,12,12,….12), ambos con probabilidad

5. 3-ALGUNOS CÁLCULOS Si cada vals dura unos 30segundos: En 1minuto escuchamos →2valses En 1día →172800valses En 1año →63.072.000valses ….para escucharlos todos seguidos… La edad del universo se calcula en 15 mil millones de años, “sólo” 15 veces más

6. Vamos a calcular la posibilidad de escuchar repetido uno de los valses: Si tomamos el vals más frecuente, el (7,7….7), con posibilidad: Vemos que su complementario -la probabilidad de que éste no ocurra- es: (¡atención!) Así pues, la posibilidad de que se repita el vals (7,7,…..7) al cabo de N lanzamientos es: Y si lo que queremos ver es cuántos lanzamientos han de hacerse para tener una cierta probabilidad de que se repita:

7. Si analizamos la función Vemos que es del tipo Que para Se comporta de la siguiente manera -No tiene sentido estudiar la función para valores de N menores que 0 pues significaría un número de lanzamientos negativo -Vemos que necesitaríamos infinitos lanzamientos para tener una probabilidad del 100%. La función tiende asintóticamente a 1 y es cero en el origen. Para el resto de valores nos da una posibilidad entre 0 y 1 Calculamos algunos valores significativos: lanzamientos lanzamientos

8. Si hacemos los mismos cálculos para el vals menos probable, el (2,2,…..2), tenemos: lanzamientos lanzamientos • Traduciendo estos valores en tiempo, como ya hicimos, vemos que necesitaríamos: • -100.000años para tener un 50% de posibilidades de que se repitiera el vals más probable • años para que aleatoriamente se volviera a repetir el menos probable de todos con un 95% de posibilidades!!! • De esta manera, si tiramos los dados y escuchamos el vals que nos salga, casi con toda seguridad seremos las únicas personas que han escuchado esa melodía en la historia, y las únicas que la escucharán también en muchos millones de años!!! • El sol se apagará en “sólo” 5mil millones de años ( ) de modo que hará falta que viajemos por el espacio y nos establezcamos en otros mundos para confiar en que nuestra melodía vuelve a ser escuchada Esto es casi la edad del Universo al cuadrado!!!!!!!!

9. 4-UNA BREVE INTRODUCCIÓN A LA ESCRITUA MUSICAL El compás es la unidad en la que se estructura una pieza musical. En una partitura, cada compás se marca con unas barras verticales, que marcan la separación con el anterior y con el siguiente. El compás se divide en unidades de tiempo, que pueden ser ocupadas por notas musicales o por silencios. El número de unidades tanto de sonido como de silencio es exacto y no puede ser vulnerado. La escritura musical tiene unas leyes y una estructura muy matemática y precisa, pese a lo que pueda parecer. Toda melodía, por muy anárquica que parezca, siempre estará dividida de manera precisa en compases. Ahora la voz de arriba toca cuatro corcheas, que equivalen a dos negras, mientras la voz de abajo está en silencio Al principio de la pieza se indica el tiempo mediante los dos números que aparecen. En este caso cada compás tendrá dos notas negras Compás. En este caso, la voz de arriba se mantiene en silencio, mientras que la de abajo toca dos notas negras Esta pieza tiene dos voces, cada una representada en un pentagrama. Los compases de cada voz han de coincidir de manera exacta Melodía: longitudinal Armonía: vertical La dificultad de componer música estriba no solo en componer una melodía que se ajuste a estas reglas, sino también en lograr que al sucederse unos a otros, los compases formen una melodía coherente y bella, a la vez que cada uno esté en armonía con los sonidos de las otras voces que suenan a la vez.

10. 5- ¿INSPIRACIÓN O SIMPLE PROBABILIDAD? Más que los cálculos sobre el número de valses que se obtendrían y el tiempo que se requeriría para escucharlos, lo que realmente importa es la calidad de estos. Cualquier persona con mínimos conocimientos musicales podría hacer algo similar: escoger unos compases y crear unas tablas similares a las de Mozart de modo que también generaría una infinidad de piezas distintas. Pero, para obtener un resultado satisfactorio, Mozart no pudo limitarse simplemente a escribir 176 compases independientes unos de los otros (algo que podría hacer cualquiera), sino que de alguna manera tuvo que pensarlos para que formasen melodías coherentes entre ellos, ordenándolos de manera adecuada en las tablas. ¿Sería Mozart consciente de las distintas posibilidades que cada vals tenía de salir como resultado de lanzar los dados? Si fuera así, el vals (7,7,7…), o los valses con más cincos y seises obtenidos de los dados, deberían ser los más brillantes, mientras que otros como el (12,12,12….12) o el (2,2,2….2) deberían ser los menos logrados. Es probable que si, aunque escuchándolos, resulta muy difícil asegurar nada. Tras haber visto las casi infinitas posibilidades de valses que se pueden obtener, resulta asombroso que cualquier vals que generemos suene sorprendentemente bien, incluidos aquellos con menos posibilidades de ser obtenidos al azar. Vemos entonces la verdadera dificultad de idear algo similar a esto, cosa que no está precisamente al alcance de cualquiera con unos mínimos conocimientos musicales, como podría parecer. No en vano se dice que Mozart fue el mayor genio de la música de todos los tiempos.

11. Hemos visto que componer consiste simplemente en combinar adecuadamente los elementos, ya sean notas o palabras. Obviamente no cualquier composición aleatoria de notas resultaría una obra de arte, pero podemos hacernos la siguiente pregunta: • 6-¿LA MUERTE DEL ARTE? Mozart dijo: “Todo está ya compuesto, solo falta escribirlo” ¿Podríamos llegar a componer todas las músicas posibles o escribir todas las novelas imaginables? En la “Historia Interminable” de Michael Ende, se plantea precisamente este problema en un momento del relato: “los lunáticos (a ese estado están reducidos los antiguos emperadores) hacen rodar unos dados con letras inscritas en las caras. Ya no saben narrar. Han perdido el lenguaje. Por eso he inventado ese juego para ellos. Como ves, los entretiene. Y es muy fácil. Si lo piensas, tendrás que admitir que todas las historias del mundo, en el fondo, se componen solo de veintiséis letras. Las letras son siempre las mismas y solo cambia su combinación. Con las letras se hacen palabras, con las palabras frases, con las frases capítulos y con los capítulos historias. (…) Y si se juega eternamente tendrán que surgir todos los poemas, todas las historias posibles, y luego todas las historias de historias, incluida esta precisamente en la que estamos hablando. ¿Es lógico, no?”

12. Realizando todas las combinaciones posibles, podríamos llegar a agotar todas las posibilidades de novelas, poemas, sinfonías, sonatas…o cuadros. Tanto en la música como en la escritura, se plantea el problema de la extensión que pudieran tener las obras, infinita en principio. Veamos un ejemplo con la pintura, aunque algo similar podría plantearse con la literatura o la música: Si suponemos un lienzo de y lo dividimos en pequeños cuadrados de tendríamos un total de cuadraditos. Si suponemos una gama de 100 colores distintos para cada cuadrado, al hacer todas las posibles combinaciones, tendríamos un total de: De este modo, con un ordenador suficientemente potente que realizase todas las combinaciones, podríamos en cuestión de días o meses, pintar todos los cuadros posibles que jamás se hayan pintado, y los que aun no han sido pintados. Yendo desde un lienzo totalmente en blanco hasta uno totalmente en negro, pasando por el Guernica o un Rembrandt, abarcaríamos toda la pintura y ya nada nuevo y original podría ser dibujado por nadie. Sería el fin del arte como tal: ningún hombre podría jamás volver a crear una obra nueva. (Podría hacerse el mismo cálculo con un lienzo más grande o un mayado más fino) …. …. …. …. Mona Lisa. Leonardo New York. Mondrian ¿Sentiríamos la misma admiración por un Picasso si el ordenador se le hubiera adelantado, sin que el propio artista nunca lo hubiese llegado a pintar?¿Se pagaría lo mismo por él?

13. 7-BIBLIOGRAFÍA http://laberintos.itam.mx/despliega.php?idart=162 http://www.dpye.iimas.unam.mx/mozart/2.html http://www.anarkasis.com/pitagoras/100_composicion_combinacion/ http://www.filomusica.com/filo41/mozart.html Wikipedia Apuntes Estadística Aplicada de Bartolomé Luque Serrano, profesor de la ETSIA