Construction de la notion d’aire : apports d’une analyse comparative

1. Construction de la notion d’aire : apports d’une analyse comparative Valentina CELI IREM de Grenoble

2. En guise d’introduction :trois problèmes sur les aires

3. Un premier problèmeLe triangle des milieux (1) Soit ABC un triangle et I, J et K les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [AC]. Comparer les aires de ABC et de IJK.

4. Un premier problèmeLe triangle des milieux (2) • Relation des longueurs des hauteurs de ABC et IJK et recours à la formule • Mesurage et recours à la formule • ABC est constitué de quatre triangles isométriques • ABC et IJK sont semblables (agrandissement/réduction) • Recours à la perception • Propriétés fausses (Aire(ABC)=2×Aire(IJK))

5. Un deuxième problèmeTriangle partagé par une de ses médianes D’après Charnay R., Mante M., Préparation à l’épreuve de mathématiques du CRPE, Hatier, 1995, Tome 1, p.220 Tracer un triangle ABC tel que : BC = 6 cm, AB = 5 cm et AC = 3 cm. Soit I le milieu de [BC]. Quel est des deux triangle AIB et AIC celui qui a la plus grande aire ? (Une médiane d’un triangle le partage en deux triangles de même aire)

6. Un troisième problème D’après Barussaud G., Eckenschwiller M., Tests psychotechniques, aptitude numérique, Concours Paramédical, Foucher, 2005, p. 103 Dans la figure ci-contre, ABCD est un rectangle et les droites (DE) et (BF) sont parallèles. Parmi les équations proposées, quelle est celle qui exprime que l’aire de la surface grisée est le double de l’aire de la surface en blanc ? A B C D E

7. L’AIRE… … UNE NOTION AU CARREFOUR DES DOMAINES GEOMETRIQUE ET NUMÉRIQUE (OU ALGÉBRIQUE) • DANS L’ENSEIGNEMENT, COMMENT CES DOMAINES S’ARTICULENT-ILS DANS LA CONSTRUCTION DE LA NOTION D’AIRE ? • QUELS SONT LA PLACE ET LE RÔLE DE LA FORMULE ?

8. LES MANUELS SCOLAIRES - UNE RÉFÉRENCE CULTURELLE PROPRE À METTRE EN ÉVIDENCE CERTAINS ASPECTS CARACTÉRISTIQUES D’UNE INSTITUTION SCOLAIRE - UNE IMAGE APPROCHÉE DES PRATIQUES D’ENSEIGNEMENT POSSIBLES • ANALYSE SYNCHRONIQUE ACTUELLEMENT, LA NOTION D’AIRE DANS LES MANUELS SCOLAIRES FRANÇAIS ET DANS LES MANUELS ITALIENS • ANALYSE DIACHRONIQUE AU FIL DU TEMPS (1925 À NOS JOURS), LA NOTION D’AIRE DANS LES MANUELS FRANÇAIS

9. La notions d’aire dans deux manuels italiens (encore) actuels

10. D’après un manuel italien, niveau Collège • Notion de surfaces planes congruentes (en relation avec les triangles) • Notion de surfaces planes équivalentes (même étendue) • - Deux surfaces congruentes sont équivalentes • - En général, deux surfaces équivalentes ne sont pas congruentes • Propriétés de l’équivalence de surfaces • « Somme » et « différence » de surfaces. Critères d’équivalence de surfaces • Mesure de l’aire d’une surface (« nombre qui indique combien de fois l’aire d’une surface contient l’aire d’une surface choisie comme unité de mesure »)

11. Formule de calcul de la mesure de l’aire d’un(e)… • rectangle • par pavage en carreaux congruents • carré • rectangle particulier • parallélogramme • transformation du parallélogramme en un rectangle équivalent (équidécomposabilité)

12. Formule de calcul de la mesure de l’aire d’un(e)… • triangle • par la méthode de complémentation, lien avec le parallélogramme En fonction des - longueurs d’un côté et de sa hauteur associée - des longueurs des trois côtés • trianglerectangle • triangle particulier En fonction - des côtés de l’angle droit - de l’hypoténuse

13. Formule de calcul de la mesure de l’aire d’un(e)… • losange • parallélogramme particulier En fonction des longueurs d’un côté et de sa hauteur associée • par la méthode de complémentation, lien avec le rectangle En fonction des longueurs des diagonales

14. Formule de calcul de la mesure de l’aire d’un(e)… • quadrilatère ayant les diagonales perpendiculaires • par la méthode de complémentation, lien avec le rectangle En fonction des longueurs des diagonales • carré En fonction des longueurs des diagonales • trapèze • transformation du trapèze en un triangle équivalent (équidécomposabilité)

15. Formule de calcul de la mesure de l’aire d’un(e)… • polygone régulier • décomposition en triangles congruents • polygone circonscrit à un cercle • décomposition en triangles ayant la même hauteur • polygone quelconque • décomposition en triangles, rectangles, trapèzes • bande polygonale

16. D’après un manuel italien, niveau Lycée • Notion de surfaces planes congruentes (en relation avec les triangles) • Notion de surfaces polygonales équidécomposables • - Les polygones congruents sont équidécomposables (la réciproque n’est pas vraie) • - La relation d’équidécomposabilité est une relation d’équivalence • - « Somme » ou « différence » de polygones équidécomposables • Notion de surfaces polygonales équivalentes • - Deux polygones qui sont « somme » de polygones congruents (équidécomposables) ou « différence » de polygones congruents sont équivalents

17. Polygones équivalents • Un parallélogramme et un rectangle ayant la même base et la même hauteur sont équivalents • Deuxparallélogrammes ayant la même base et la même hauteur sont équivalents • Tout triangle est équivalent à un parallélogramme ayant pour base la moitié de sa base et la même hauteur • Deux triangles de même base et de même hauteur associée sont équivalents • Un trapèze est équivalent à un triangle de même hauteur et dont la base est la somme des bases du trapèze

18. Un polygone peut être transformé en un polygone équivalent ayantuncôtéenmoins • Tout polygone peut être transformé en un triangle équivalent • Tout polygone peut être transformé en un rectangle équivalent • Deux problèmes résolus • Construire un triangle équivalent à un triangle donné et dont la hauteur est congruente à un segment donné • Construire un rectangle équivalent à un rectangle donné et dont un côté est congruent à un segment donné « Un polygone quelconque étant donné, nous savons maintenant le transformer en un rectangle équivalent et dont la longueur d’un côté est donnée »

19. Mesures de grandeurs « La mesure d’une grandeur par rapport à une unité choisie au préalable est le « nombre réel positif » qui exprime le rapport entre cette grandeur et une grandeur choisie comme unité… » « … la mesure d’une surface est dite aire » On définit ensuite la mesure en tant que fonction et on expose les propriétés de la mesure en précisant que « ces propriétés permettent de passer des grandeurs aux mesures correspondantes » et de résoudre ainsi des problèmes géométriques dans un domaine numérique ou algébrique

20. Proportionnalité entre grandeurs « … pour simplifier les calculs, il convient de choisir comme surface unitaire le carré construit sur le segment choisi comme unité de longueur  » On introduit alors les formules de calcul de l’aire du rectangle, du carré, du triangle, du trapèze, d’un polygonerégulier

21. La notions d’aire dans des manuels français (1985-2006)

22. En Sixième Unité de surface (système métrique) • rectangle • par pavage en carreaux congruents • Carré • rectangle particulier • Triangle rectangle • à partir du rectangle • (Losange) • à partir du rectangle

23. En Cinquième • Parallélogramme • à partir du rectangle • Triangle • à partir du rectangle ou du parallélogramme • (Trapèze : proposé dans un exercice)

24. En était-il de même autrefois ?La notions d’aire dans des vieux manuels français (1925-1977)

25. Mauguin, Mathématiques 6e, istra (1977) • Surfaces planes : • Superposables • Qui ne se recouvrent pas • Constituées de parties ne se recouvrant pas et superposables deux à deux • Notion d’aire • Aire-somme, aire multiple • Mesure des aires • Système métrique • Mesure de l’aire du • rectangle (pavage), du carré, • du parallélogramme (décomposition), • du triangle, • du trapèze, • (du losange)

26. Bréard, Mathématiques 6e, Éditions de l’École (1969) • Aire définie en tant qu’application • Aire d’une surface • Rectangulaire • Carrée • Trapézoïdale • Triangulaire (en considérant le triangle comme étant un trapèze dont une base est réduite à un point) • Ayant pour frontière un parallélogramme (considéré comme un trapèze) • Unités d’aire

27. Chenevier, Précis de géométrie plane, Hachette (1925) • Unité de surface. Aire d’une surface • Surfaces équivalentes • Aire d’un • Rectangle • Triangle rectangle (à partir d’un rectangle) • Triangle quelconque (à partir d’un triangle rectangle) • Parallélogramme (à partir d’un triangle) Deux parallélogrammes (triangles) qui ont la même base et la même hauteur sont équivalents • Trapèze (à partir d’un triangle)

28. Aire d’un • Polygone quelconque (décomposition en triangles ou trapèzes) • Problème. Construire un triangle équivalent à un polygone donné • Problème. Construire un rectangle équivalent à un triangle donné • Polygone régulier (décomposition en triangles isocèles superposables)

29. En résumant • Dans l’enseignement français, la notion d’aire était et est encore abordée en se limitant presque exclusivement aux domaines numérique et algébrique • Dans l’enseignement italien, le lien avec le domaine géométrique demeure plus marqué