Cinématique du solide

1. P.T.S.I. Cinématique du solide F. Socheleau

2. 1 - Définition du solide indéformable. Soit R un repère de référence d’origine O . Soit (S) un solide Soit S un repère lié au solide (S) Soient A et B deux points quelconque du solide indéformable (S)

3. 2 - Champ des vitesses d’un solide. 2.1 - Torseur distributeur des vitesses. dans le repère S avec Or par définition : car A est fixe / S et O est fixe / R car B est fixe / S et O est fixe / R

4. 2 - Champ des vitesses d’un solide. 2.1 - Torseur distributeur des vitesses. Moment en A Moment en B Résultante On reconnait ici la formule d’un champ de moment d’un torseur entre les points A et B.

5. 2 - Champ des vitesses d’un solide. 2.1 - Torseur distributeur des vitesses. On définit donc un torseur distributeur des vitesses : est la résultante du torseur distributeur des vitesses du solide Sdans son mouvement par rapport au repère R au point A. C'est le VECTEUR ROTATION du solide (S) dans son mouvement par rapport au repère R. est le moment du torseur distributeur des vitesses du solide Sdans son mouvement par rapport au repère R au point A. C'est le VECTEUR VITESSE DU POINT A appartenant au solide (S) dans son mouvement par rapport au repère R.

6. 2 - Champ des vitesses d’un solide. 2.2 - Théorème de l’équiprojectivité des vecteurs vitesses. Soit en multipliant scalairement par Interprétation : La projection orthogonale de sur (AB), est égale à la projection orthogonale de sur (AB), (même sens et même longueur).

7. 3 - Champ des accélérations d’un solide. Question : Existe-t-il un torseur des accélérations Avec Relation d’un champ de moment de torseur

8. 3 - Champ des accélérations d’un solide. Question : Existe-t-il un torseur des accélérations Faux On sait :

9. 3 - Champ des accélérations d’un solide. Cette formule est a appliquer que si le point A n’est pas fixe (n’appartient pas) par rapport au solide S. Si le point A est fixe (appartient) par rapport au solide S, il faut mieux utiliser la définition : car A est fixe / S

10. 5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses. Le repère lié au solide (S1). Le repère lié au solide (S2). Le repère lié au solide (S3). Liaisons Soit le point M appartenant au solide (S3) donc au repère R3.

11. Liaisons 5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses. 5.1 - Composition des vecteurs vitesses. Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R1.

12. 5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses. 5.1 - Composition des vecteurs vitesses. Vitesse relative Vitesse d’entrainement Vitesse absolue La vitesse relative se calcule par dérivation vectorielle ou par cinématique du solide car M est fixe / R3 et O2 est fixe / R2 La vitesse d’entrainement se calcule uniquement par cinématique du solide Faux M est fixe / R3 et O1 est fixe / R1

13. 5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses. Interprétation : 5.1 - Composition des vecteurs vitesses. Position à l’instant : t1 Liaison encastrement Position à l’instant : t0 Mouvement 2/1 Mouvement 3/2 Liaison encastrement Liaison encastrement Mouvement 2/1 Mouvement 3/2 Liaison encastrement

14. 5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses. 5.2 - Composition des vecteurs rotations.

15. 5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses. 5.3 - Composition des torseurs distributeur des vitesses. Résultante Or Moment Généralisation :

16. 5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses. 5.3 - Composition des torseurs distributeur des vitesses. Conséquence :

17. Liaisons 6 - Composition des vecteurs accélérations. Rappel (§5.1) Vitesse relative Vitesse d’entrainement Vitesse absolue

18. 6 - Composition des vecteurs accélérations. Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R1. car M est fixe / R3 (formule de dérivation vectorielle) car M est fixe / R3

19. 6 - Composition des vecteurs accélérations. Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R1. car O2 est fixe / R2 (formule de dérivation vectorielle)

20. 6 - Composition des vecteurs accélérations. Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R1. car M est fixe / R3 et O2 est fixe / R2

21. 6 - Composition des vecteurs accélérations. Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R1.

22. 6 - Composition des vecteurs accélérations. Accélération de Coriolis Accélération absolue Accélération relative Accélération d’entrainement • L’accélération relative se calcule par dérivation vectorielle car M est fixe / R3 • L’accélération d’entrainement se calcule par le champs des accélérations d’un solide : Faux M est fixe / R3 • L’accélération de Coriolis :

23. 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides. Soit (S1) un solide. Soit (S2) un solide en contact avec (S1). Soit I le point de contact entre (S1) et (S2). Remarque :I point de contact n’appartient ni a (S1) et ni a (S2).I n’est pas fixe / à (S1).I n’est pas fixe / à (S2). Les surfaces extérieures de (S1) et de (S2) sont régulières, c'est à dire qu'il existe un plan tangent commun () à (S1) et (S2) en I. Soit , le vecteur unitaire normal au plan tangent commun () en I, orienté de (S1) vers (S2) .

24. 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides. Problème : détermination du torseur distributeur des vitesses du solide (S2) dans son mouvement par rapport au solide (S1) au point I .

25. 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides. 7.1 - Vecteur pivotement, vecteur roulement. Vecteur de rotation Vecteur pivotement Vecteur roulement Il est porté selon la normale au plan tangent () orienté de (S1) vers (S2). Il est dans le plan tangent ().

26. 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides. 7.1 - Vecteur pivotement, vecteur roulement.

27. 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides. 7.2 - Vecteur glissement. Composante normale au contact  RUPTURE Cas de la rupture de contact Cas du glissement

28. 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides. 7.2 - Vecteur glissement. Conséquence : Comme I point de contact n’appartient ni a (S1) et ni a (S2), pour calculer, il ne faudra jamais dériver un quelconque vecteur position , mais utiliser : • Si un vecteur vitesse en un point M du mouvement S2/S1 est connu • Par loi composition en faisant intervenir un solide ou repère R Le choix de R doit être judicieux pour minimiser les calculs.

29. (D12) M I  7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides. 7.4 - Axe instantané de rotation (A.I.R.). * Si L’axe instantané de rotation est l’axe central du torseur est un glisseur Posons

30. 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides. 7.5 - Axoïdes du mouvement. PAR DÉFINITION : Les axoïdes du mouvement de (S2)/(S1) sont les deux surfaces engendrées par l'axe instantané de rotation (AIR : 12) au cours du temps, d'une part sur le solide (S2), d'autre par sur le solide (S1). Ces axoïdes sont dites "surfaces réglées" car elles sont générées par le déplacement relatif d'une droite : l'AIR. La surface obtenue sur le solide (S1) est appelée axoïde base (ou base du mouvement de (S2)/(S1)). La surface obtenue sur le solide (S2) est appelée axoïde roulante (ou roulante du mouvement de (S2)/(S1)). La roulante roule sur la base au niveau de l'axe instantané de rotation (12) car l'A.I.R. est l'ensemble des points de vitesse nulle.

31. 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides. 7.5 - Axoïdes du mouvement. Roulante = cylindre Exemple : Base = cylindre Assuré par l’obstacle des dents