Teorija potražnje II

1. Teorija potražnje II Funkcije potražnje i komparativna statika

2. Blagostanje • Ekonomiste često zanima pojam blagostanja (welfare) • Kako procijeniti učinak promjene cijene na pojedinca? • Kako usporediti ove učinke između nekoliko pojedinaca?

3. Blagostanje • Indirektna funkcija korisnosti može nam poslužiti kao prvi korak u analizi učinka promjene cijena • Pretpostavimo promjenu cijena sa na učinak =

4. Blagostanje • Ali, sjetimo se da je korisnost ordinalni a ne kardinalni koncept (!) • Brojevi koje pojedinac pridružuje košarama dobara su subjektivni i svakako neusporedivi između više pojedinaca • Zato nam prethodni izraz može pomoći samo da shvatimo je li nova situacija bolja ili lošija od stare ali ne i za koliko je bolja/lošija

5. Blagostanje • Pokušajmo ovom problemu prići na sljedeći način: • Inicijalno cijene i dohodak za pojedinca su • Zanima nas učinak promjene cijena na • Pitanje: Za koliko je potrebno promijeniti dohodak pojedinca tako da on bude indiferentan između i ? • Preciznije, za koju vrijednost od vrijedi

6. Blagostanje • Promjena dohotka, , pokušaj je da se učinku ove promjene pridruži ekvivalent u monetarnoj vrijednosti • Ovaj pokazatelj je donekle usporediv • Može se promatrati koliko je dodatnog dohotka potrebno dati potrošaču, ili raznim potrošačima, da ga (ih) se kompenzira za promjenu cijene

7. Blagostanje • Iznos novca potrebnog za kompenzaciju je nesavršena mjera učinka promjene cijena ali njena je prednost da se može opaziti (eksperimenti, ankete, razne tehnike procjene...) • Skale korisnosti su neopazive

8. Blagostanje • Procjenu promjene dohotka potrebnu za kompenzaciju potrošača teško je izvršiti samo uz pomoć indirektne funkcije korisnosti • Potrebna je nova funkcija • Uz pomoć ove funkcije želi se odrediti koliko je dohotka potrebno da se ostvari određena razina korisnosti • Treba nam funkcija izdataka

9. Minimizacija izdataka • Problem: Koja je minimalna razina novčanih izdataka koje potrošač mora učiniti u uvjetima fiksnih cijena i dohotka da bi postigao određenu razinu korisnosti? • Dakle, ako su cijene p koliko potrošač minimalno mora potrošiti da bi postigao razinu korisnosti u ?

10. Minimizacija izdataka • Ovaj se problem formalno postavlja kao t.d. ... (4.1)

11. Minimizacija izdataka • Identificirajmo endogene varijable i parametre u ovome problemu • Endogena varijabla: košara dobara x • Parametri: cijene p i ciljna razina korisnosti u • Rješenje: • Košara dobara x koja minimizira trošak postizanja razine korisnosti u kada su cijene p i • Vrijednosna funkcija problema minimizacije izdataka (funkcija izdataka)

12. Slika 4.1: Problem minimizacije izdataka x2 x1

13. Minimizacija izdataka • Postupak traženja optimalnog vektora dobara x* uključuje formiranje Lagrange-ove funkcije i njenu minimizaciju • Ako je funkcija korisnosti kvazikonkavna i rastuća u svim svojim argumentima, ograničenje će biti obvezujuće • To znači da će vrijediti u (x) = u • Također, postojat će jedinstveno rješenje za sve p i u • Rješenje ovog problema:

14. Hicksova funkcija potražnje • je L-dimenzionalni vektor čija j –ta komponenta, , predstavlja količinu dobra j koju potrošač konzumira kada minimizira trošak postizanja korisnosti pri cijenama p • Funkcija naziva se Hicksova ili kompenzirana funkcija potražnje • To je funkcija potražnje zato jer specificira košaru dobara

15. Razlika između Hicksove i Walrasove funkcije potražnje • Argumenti Hicksove funkcije potražnje su p i u, • Argumenti Walrasove funkcije potražnje su p i , • Ove dvije funkcije odgovaraju na dva različita ali povezana pitanja: • H: Koja košara dobara minimizira trošak postizanja razine korisnosti u kada su cijene p? • W: Koja košara dobara maksimizira korisnost kada su cijene p i dohodak w?

16. Razlika između Hicksove i Walrasove funkcije potražnje • Kao što je indirektna funkcija korisnosti vrijednost funkcije cilja u problemu maksimizacije korisnosti u (x) u optimalnoj košari dobara x*, sličnu funkciju možemo definirati za problem minimizacije izdataka • To je funkcija izdataka, , koju definiramo kao • Ona je jednaka minimumu izdataka potrebnih za postizanje korisnosti u za svaki dati p i u

17. Dualnost • Uvjeti tangencijalnosti koje smo izveli u problemu maksimizacije korisnosti vrijede i ovdje (omjeri graničnih korisnosti jednaki su omjeru cijena) • Košara dobara x* rješenje je za oba problema i proizlazi iz uvjeta tangencijalnosti • Kod maksimizacije korisnosti, razina korisnosti pri x* je maksimalna i jednaka je u (x*) • Kod minimizacije izdataka , izdaci su u x* minimalni i jednaki su w

18. Dualnost • Problem maksimizacije korisnosti i problem minimizacije izdataka smatraju se dualnima jer ograničenje i funkcija cilja mijenjaju mjesta • Ono što je u problemu maksimizacije funkcija cilja to je u problemu minimizacije ograničenje i obrnuto • Ovo je ilustrirano na Slici 4.2.

19. Dualnost – Slika 4.2 • Slika 4.2.(b) Problem minimizacije izdataka • Slika 4.2.(a) Problem maksimizacije korisnosti u(x*) = u* u(x*) = u* p·x = w p·x = w x* x*

20. Dualnost • Dualnost problema maksimizacije korisnosti i minimizacije izdataka sadržana je u sljedećim izrazima: • Riječima: Košara dobara koja minimizira trošak postizanja maksimalne korisnosti koja se može postići kada su cijene p i dohodak w, je košara dobara koja maksimizira korisnost kada su cijene p i dohodak w

21. Dualnost • Riječima: Košara dobara koja maksimizira korisnost kada su cijene p i dohodak jednak minimumu dohotka potrebnog da se postigne razina korisnosti u pri tim cijenama, jednaka je kao košara dobara koja minimizira izdatke potrebne za postizanje korisnosti u kada su cijene p

22. Dualnost • Ovi odnosi mogu se predstaviti i koristeći funkcije indirektne korisnosti i funkcije izdataka • Napomena: Na Slici 3.G.3 u MWG nalazi se greška na horizontalnoj liniji koja povezuje v (p,w) i e (p,u ). Uvrstite gornje odnose umjesto tamo napisanih.

23. Dualnost • Glavna implikacija ove analize je sljedeća: • Funkcija izdataka sadrži identične informacije kao i funkcija indirektne korisnosti • Zahvaljujući Royevom identitetu iz indirektne funkcije korisnosti može se dobiti Walrasova funkcija potražnje a preko nje se može doći do preferencija • Funkcija izdataka, dakle, sadrži iste informacije kao i funkcija korisnosti

24. Dualnost • Dovoljno je, dakle, poznavati samo jednu od njih • Za razliku od funkcije korisnosti, funkcija izdataka je opaziva • Upravo zato se i kaže da su problemi maksimizacije korisnosti i minimizacije izdataka dualni: oni sadrže iste informacije

25. Svojstva Hicksove funkcije potražnje • Pretpostavljamo da je funkcija korisnosti neprekidna i da predstavlja lokalno nezasićenu relaciju preferencije ≿ • Hicksova funkcija potražnje tada posjeduje sljedeća svojstva: • Homogenost nultog stupnja u cijenama • Nema viška korisnosti • Ako su preferencije konveksne, h (p, u) je konveksni skup

26. Homogenost nultog stupnja u cijenama • Napomena: Ovo je homogenost u p a NE u p i u ! za • Homogenost nultog stupnja proizlazi iz činjenice da ako se sve cijene povećaju u istoj proporciji, optimalni vektor potrošnje ostaje isti • To jest, optimalni vektor kada potrošač minimizira isti je i kada minimizira za proizvoljni skalar

27. Nema viška korisnosti • Ovo svojstvo slijedi iz neprekidnosti funkcije korisnosti u • Posljedica je ovog svojstva da je u problemu minimizacije izdataka ograničenje uvijek obvezujuće • To znači da ne postoji košara dobara koja ostvaruje veću korisnost uz manji izdatak nego optimalna

28. Konveksnost • Ako je preslikavanje višeznačno, i ako su preferencije konveksne, tada je konveksan skup • Ako su preferencije strogo konveksne, to jest, funkcija korisnosti je strogo kvazikonkavna, onda je rješenje jedinstveno pa je funkcija

29. Funkcija izdataka • Drugi dio rješenja problema minimizacije izdataka odnosi se na dobivanje vrijednosne funkcije, funkcije izdataka • Na osnovi svojstava Hicksove funkcije potražnje možemo izvesti svojstva funkcije izdataka

30. Svojstva funkcije izdataka • Homogena prvog stupnja u cijenama • Strogo rastuća u korisnosti i ne-opadajuća u cijenama • Konkavna je u cijenama • Neprekidna u cijenama i korisnosti

31. Homogenost prvog stupnja u cijenama • Ako se sve cijene povećaju za isti faktor, ista košara dobara (homogenost nultog stupnja Hicksove funkcije potražnje!), koštat će za taj isti faktor više ... (4.2)

32. Ne-opadajuća u cijenama • Ovo svojstvo najkraće je ilustrirati parcijalnom derivacijom prvog reda funkcije izdataka po cijeni za svako dobro, i ... (4.3) • Riječima: povećanje svake cijene povisit će minimum izdataka da bi se dosegla ista razina korisnosti

33. Konkavna u cijenama • Ako se cijene promijene i potrošač nastavlja kupovati istu košaru dobara, izdaci rastu ili padaju linearno • Nazovimo ovu hipotetsku funkciju izdataka funkcijom pseudoizdataka

34. Konkavna u cijenama • Ako potrošač može mijenjati košaru dobara, zbog mogućnosti supstitucije, kupljena košara dobara bit će manja od hipotetske (stvarna funkcija izdataka) • Funkcija pseudoizdataka je tangenta na funkciju izdataka u točci originalne košare dobara i krivulja izdataka uvijek leži ispod nje • Ovo vrijedi za svaku točku na krivulji izdataka

35. Slika 4.3: Funkcija izdataka je konkavna u cijenama

36. Odnos između funkcije izdataka i Hicksove potražnje • Kao što postoji odnos između indirektne funkcije korisnosti i Walrasove funkcije potražnje • Tako postoji i veza između funkcije izdataka i Hicksove funkcije potražnje

37. Odnos između funkcije izdataka i Hicksove potražnje • Kako je , može se pokazati da je derivacija funkcije izdataka po cijeni nekog dobra jednaka Hicksovoj potražnji za tim dobrom • Kako iz ranijih predavanja znamo da je vektor p okomit na derivaciju od po , drugi sumand u derivaciji od e je jednak nuli • Dakle vrijedi, ... (4.4)

38. Odnos između funkcije izdataka i Hicksove potražnje • Vijednost rezultata (4.4) slična je kao kod Royevog identiteta: često je lakše mjeriti funkciju izdataka nego Hicksovu funkciju potražnje

39. Odnos između funkcije izdataka i Hicksove potražnje • Pretpostavimo da je u neprekidna funkcija korisnosti koja predstavlja lokalno nezasićenu i strogo konveksnu relaciju preferencije ≿ definiranu na skupu mogućih potrošnji te da je neprekidna i diferencijabilna • Matrica cjenovnih derivacija Hicksove korespondencije potražnje tada ima neka dodatna svojstva:

40. Hicksova korespondencija potražnje • (i) Jacobijeva matrica (parcijalnih derivacija prvog reda) Hicksove potražnje jednaka je Hesseovoj matrici (parcijalnih derivacija drugog reda) funkcije izdataka

41. Hicksova korespondencija potražnje • Napomena: U matrici element koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu je

42. Hicksova korespondencija potražnje • Svojstva (ii) i (iii) slijede direktno iz svojstva (i): • (ii) je negativno semidefinitna matrica • (iii) je simetrična matrica • Budući da je neprekidna dva puta diferencijabilna konkavna funkcija, ona ima simetričnu i negativno definitnu Hesseovu matricu

43. Hicksova korespondencija potražnje • Implikacija negativne semidefinitnosti H matrice je da su njeni dijagonalni elementi, to jest • Simetričnost znači da nije važno kojim redom se parcijalne derivacije računaju jer vrijedi

44. Hicksova korespondencija potražnje • To znači da su unakrsni učinci jednaki • Drugim riječima, učinak povećanja na jednak je učinku povećanja na

45. Hicksova korespondencija potražnje • (iv) slijedi iz homogenosti nultog stupnja (Dokažite!)

46. Kompenzirana potražnja • Hicksova potražnja poznata je i kao kompenzirana potražnja • Tako se naziva zato jer je u definiciji Hicksove funkcije (korespondencije) potražnje implicitno sadržana ideja da će potrošač nakon promjene cijena dobiti kompenzaciju u dohotku koja će ga održati na istoj razini korisnosti na kojoj je bio prije promjene cijena

47. Kompenzirani zakon potražnje • Budući da je (dijagonalni elementi u ) ta je matrica negativno semidefinitna • Kažemo da su učinci promjene cijene istog proizvoda ne-pozitivni • Time se izražava kompenzirani zakon potražnje: Kada cijena nekog dobra poraste i potrošač je kompenziran za promjenu cijene, on neće povećati potrošnju tog dobra

48. Supstituti i komplementi • Dva dobra l i k su supstituti u ako vrijedi • Za komplemente vrijedi obrnuti znak nejednakosti • Kod Walrasovih potražnji ovi odnosi se nazivaju odnosima bruto supstitabilnosti i komplementarnosti (nisu kompenzirani)

49. Kompenzirani zakon potražnje • Kada se potrošač kompenzira na način da postiže istu korisnost kao i prije promjene cijena – supstitucija po Hicksu • Kada se potrošač kompenzira na način da može ponovno konzumirati istu košaru dobara kao i prije promjene cijena – supstitucija po Slutskom

50. Jednadžba Slutskog • Prisjetimo se da je svrha minimizacije izdataka i računanja funkcije izdataka bila da se omoguće procjene promjena blagostanja potrošača • Funkcija izdataka omogućuje da se učinak promjene cijene izrazi u novčanim terminima