Indeks terminów i nazw dotychczas omówionych: doświadczenie Michelsona-Morleya, doświadczenie Younga, prawo Snella , z

1. Indeks terminów i nazw dotychczas omówionych: • doświadczenie Michelsona-Morleya, • doświadczenie Younga, • prawo Snella, • zasada Huygensa, • korpuskularno-falowa teoria światła

2. FaleWykład 2. Fale podłużne a fale poprzeczne Równanie falowe, fala harmoniczna Prędkość fazowa i grupowa Jak pokonać prędkość światła Opis fal przy pomocy liczb zespolonych Fala płaska Równania Maxwella Fale elektromagnetyczne Fotony Spin Ciśnienie światła; wiatr słoneczny Chłodzenie atomów Zadania

3. Poprzeczna podłużna Fale podłużne a fale poprzeczne zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni. kierunek drgań jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (np. fala elektromagnetyczna) poprzeczne: drgania odbywają się w kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia (np. fala dźwiękowa, fale gęstości, fale trzęsień Ziemi, fale p) podłużne: http://gcsephysics.com/pwav2.htm

4. Równanie falowe Jednowymiarowe skalarne równanie falowe funkcjif: Skalarne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące propagację różnorodnych fal (elektromagnetycznych, dźwiękowych, fal powierzchniowych). Fale elektromagnetyczne (w tym pole elektryczne E fali świetlnej) są rozwiązaniem równania falowego z v = c.

5. Równanie falowe gdzief (u)może być dowolną funkcąj podwójnie różniczkowalną. Jednowymiarowe skalarne równanie falowe posiada proste rozwiazanie:

6.  = 0  = 3/2 Fale: parametryzacja Najbardziej elementarna funkcja jednowymiarowa spełniająca równanie falowe: E(x,t) = E0 cos[(k x – w t ) – q ] A-amplituda q-faza początkowa (faza absolutna) A Oscylacje w czasie i przestrzeni p

7. długość fali wektor falowy: k = 2/ liczba falowa: 1/ okres fali częstość kołowa: =2/ częstość: =1/ Fala harmoniczna: Długość fali E(x,t) = A cos[(k x – w t ) – q ] Amplituda ulega skróceniu w ośrodku o wyższym n Amplituda Amplituda Zmianaw ośrodku niejednorodnym z tłumieniem  w pewnym momencie czasu

8. długość fali wektor falowy: k = 2/ liczba falowa: 1/ okres fali częstość kołowa: =2/ częstość: =1/ Fala harmoniczna E(x,t) = A cos[(k x – w t ) – q ] wielkościprzestrzenne: wielkości czasowe:

9. Prędkość fazowa fali harmonicznej długość fali -nie wystarczy, by opisać fale bardziej złożone! prędkość z jaką rozchodzą się miejsca fali o tej samej fazie: vp =  / T , lub:vp =  / k Na przykład: W ośrodkach dyspersyjnych fale o różnych różnych częstotliwościach rozchodzą się z różnymi:  = (k). Przemieszczanie się paczki falowej złożonych z fal o różnych  opisuje dodatkowa wielkość: prędkość grupowa

10. vg vp Prędkość grupowa Dla fali harmonicznej o zmieniającej się (modulowanej)amplitudzie prędkość grupowajest prędkościąobwiedni fali nośnej. Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową. Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową. vgºdw /dk

11. vg = c0 / (n + wdn/dw) Prędkość grupowafal w ośrodkach z dyspersją: n() vgºdw /dk Częstość fali harmonicznejwjest taka sama w ośrodku, jak i poza nim, ale: k = k0 n = k0jest wektorem falowym w próżni, n()jest parametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka. Tak więc wygodnie jest pomyśleć o wjako o zmiennej niezależnej: Mamy więc: k = wn(w) / c0, pochodna k: dk /dw = ( n + wdn/dw ) / c0 vg = c0 / ( n + wdn/dw) = (c0 /n) / (1 + w /n dn/dw) v =  / k = c0 /n, Ostatecznie: - prędkość światła w próżni zmniejszona przez wsp. załamania

12. vgºdw /dk Częstość fali harmonicznejwjest taka sama w rozważanym ośrodku, jak i poza nim, ale k = k0 n, gdziek0jest wektorem falowym w próżni injest parametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka. Tak więc wygodnie jest pomyśleć o wjako o zmiennej niezależnej: Ponieważ: k = wn(w) / c0, pochodna k: dk /dw = ( n + w dn/dw ) / c0 vg = c0 / ( n + wdn/dw) = (c0 /n) / (1 + w /n dn/dw) v =  / k = c0 /n, Ostatecznie: vg = c0 / (n + wdn/dw) Prędkość grupowa a dyspersja ośrodka: n() vg = v Tak więc prędkość grupowa równa jest prędkości fazowej, gdy dn/dw = 0, (brak dyspersji, tak jak np. w próżni).

13. czasowy początek impulsu czasowy koniec impulsu vgr(żółta) < vgr(czerwona) Dyspersja prędkości grupowej a impulsy światła Impuls światła jest szeroki spektralnie (zawiera wiele częstości). Prędkość grupowa będzie różnadla różnych długości światła. Ponieważ ultrakrótkie impulsy laserowe zawierają szeroki zakres długości fal, dyspersja prędkości grupowej stanowi poważne wyzwanie, które nie istnieje w przypadku pracy z laserem o pracy ciągłej (CW).

14. Dyspersja prędkości grupowej jest szkodliwa w układach telekomunikacyjnych: Dyspersja sprawia, że impulsy rozciągają się w czasie. Ciąg impulsów wchodzących Wiele kilometrów światłowodu Dyspersja narzuca długości fal, dla których transmisja systemów telekomunikacyjnych jest możliwa oraz stawia wysokie wymagania na parametry światłowodów (kompensacja dyspersji). Ciąg impulsów wychodzących

15. Czy można: • zatrzymać światło? • przyspieszyć światło?!? Prędkość grupowa (vg) a prędkość fazowa (vp) http://www.hno.harvard.edu/gazette/1999/02.18/light.html

16. Obszary dyspersji anomalnej vg < c0 vg < c0 vg < c0 Dyspersja normalna Dyspersja normalna Dyspersja normalna Współczynnik załamania n Prędkość grupowa a dyspersja ośrodka A co się dzieje w obszarze anomalnej dyspersji? vg = c0 / (n + wdn/dw) dn/dwjest ujemn. Tak więcvgmoże przewyższyc0dla tych częstości! Ale w rejonach tych absorpcja jest duża, a dn/dw< 0 w wąskich przedziałach częstości (schodek), tak wiec osiągniecie vg > c0 nie jest trywialne (np. w doświadczeniach z impulsami, które zawierają szerokie spektrum częstości) Prędkość grupowa może przekroczyć cw ośrodku w obszarze anomalnej dyspersji

17. Nachylenie zbyt duże Obszar przydatny Współczynnik załamania Współczynnik absorpcji Nachylenie zbyt małe Czy można pokonać prędkość światła? Aby prędkość grupowa mogła być większa, niż prędkośćc0, musimy dysponować ośrodkiem o ujemnej dyspersjidn/dww dostatecznie dużym obszarze częstości. Nachylenie zależności nie powinno by zbyt strome, a absorpcja powinna być jak najmniejsza. Trick:przygotować ośrodekprzez uprzednie rezonansowe wzbudzenie impulsem światła laserowego. Impuls świetlny „napompuje” układ stwarzając warunki dla wzmocnienia światła w miejsce absorpcji; odwrócenie krzywej). Między dwoma rezonansami powstanie obszar o minimalnej absorpcji i prawie liniowym, ujemnym nachyleniu: 2

18. Opis fal przy pomocy liczb zespolonych Pole elektryczne fali świetlnej o częstości  można opisać: E(x,t) = A cos(kx – wt – q) Ponieważexp(ij) = cos(j) + i sin(j) (formuła Eulera ): E(x,t) = Re { A exp[i(kx – wt – q)] } lub E(x,t) = 1/2 A exp[i(kx – wt – q)] + c.c. gdzie "+ c.c." oznacza "plus oznacza sprzężenie zespolone wszystkiego, co jest przed plusem. Możemy wygodnie różniczkować exp(ikx):

19. z Przypomnienie: liczby zespolone Każdą liczbę zespoloną z, można zapisać: z = Re{ z } + i Im{ z } Tak więc: Re{ z } = 1/2 ( z + z* ) i Im{ z } = 1/2i ( z – z* ) gdziez*jest liczbą sprzężoną liczby z ( i® –i ) Wielkość| z | (moduł), liczby zespolonej: | z |2 = z z* = Re{ z }2 + Im{ z }2 Liczbę zzapisać można w postaci polarnej:A exp(ij). A2 = Re{ z }2 + Im{ z }2 tan(j) = Im{ z } / Re{ z }

20. uwaga na Fale zapisane przy pomocy zespolonych amplitud W opisie fal wygodnie jest dopuścić zespolone amplitudy: Szybko-zmienne części zostały odseparowane od części stałych w czasie. W wyniku otrzymujemy „zespolone amplitudy": Tak więc: Pole tak zapisane jest całkowicie zespolone! Jak odróżnić, E0jest rzeczywiste, czy zespolone? Nie wszyscy używają znaczka "~", by oznaczyć zespoloność amplitudy. Lepiej jest zawsze założyć, że jest zespolona.

21. Liczby zespolone w optyce ułatwiają życie Dodawanie fal o tych samych częstościach i różnych fazach początkowych daje falę o tej samej częstości. Nie jest to takie oczywiste w zapisie z użyciem funkcji trygonometrycznych, a jest natychmiastowe z użyciem eksponensów: gdzie wszystkie fazy początkowe zostały włączone w E1, E2, iE3.

22. Na oznaczenie fali płaskiej zazwyczaj rysujemy linie. Fala płaska: Jest to fala o stałej częstotliwości, której powierzchnie falowe (powierzchne jednakowej fazy) tworzą równoległe do siebie płaszczyzny. Wypełniają one całą przestrzeń. Płaszczyzny frontów falowych fal elektromagnetycznych wędrują w próżni z prędkością światła. Płaszczyzny frontów falowych są odległe o długość fali. Są one prostopadłe do kierunku propagacji.

23. z w y Plamka wiązki laserowej na ścianie Zlokalizowane fronty falowe x Wiązka laserowa a fala płaska Płaszczyzniane fronty falowe fali płaskiej wypełniają całą przestrzeń. Fala płaska niesie więc nieskończoną energię. Fala taka nie istnieje realnie! Wiązkalaserajest przestrzennie zlokalizowana. Można ją przybliżyć jako falę harmoniczną względem czasu z rozkładem Gaussa w płaszczyźnie frontu falowego.

24. Równania Maxwella Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu): - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m2 ], e0 - przenikalność elektryczna, m0 - przenikalność magnetyczna, - operator dywergencji, [1/m],  - operator rotacji, [1/m]. Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe fali elektromagnetycznej.

25. Równania Maxwella Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W ośrodkach liniowych: - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m2], - indukcja elektryczna, [ C / m2] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] er - przenikalność elektryczna ośrodka, mr - przenikalność magnetyczna ośrodka, - gęstość prądu swobodnego, [A/m2],  - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m3] - operator dywergencji, [1/m],  - operator rotacji, [1/m]. sformułowanie „makroskopowe”

26. Fala elektromagnetyczna w próżni (powietrzu) Pola elektryczne i magnetyczne oscylują w tej samej fazie. Kierunek pola elektrycznego, magnetycznego i wektora falowego są wzajemnie prostopadłe: Migawka w czasie t:

27. Fotony Foton posiada energię: i pęd: Wielkość pędu wynosi: , gdzie: h jest stałą Plancka, kjest wektorem falowym (o liczbie falowej k=2 /, ),  jest częstością kołową. Wektor kwskazuje kierunek propagacji.

28. Fotony Foton posiada energię: i pęd: Wielkość pędu wynosi: , gdzie: h jest stałą Plancka, kjest wektorem falowym (o liczbie falowej k=2 /, ),  jest częstością kołową. Wektor kwskazuje kierunek propagacji. W pustej przestrzeni foton porusza się z prędkością światła c i jego energia E i pęd p powiązane są relacją: E=cp. Dla porównania, odpowiadający temu związek energii i pędu dla cząstki posiadającej masę byłby: E2= (cp)2+(mc2)2 (szczególna teoria względności).

29. Fotony Foton niesie również moment pędu (spin), który nie zależy od częstości. Długość momentu pędu wynosi , tak więc jego składowe mierzone wzdłuż kierunku ruchu (jego skrętności) wynoszą odpowiednio . Wartości te odpowiadają dwóm możliwym stanom polaryzacji kołowej (lewo- i prawo-skrętnej). Polaryzacja liniowa to superpozycja tych polaryzacji. Foton posiada więc spin całkowity (jest bozonem), podlega więc statystyce Bosego–Einsteina. Dowolna liczba bozonów może dzielić ten sam stan kwantowy.

30. Bose-Einstein Poisson Doświadczenia ze zliczaniem fotonów informują nas o charakterze źródła światła. Przypadkowe (niespójne) źródła światła takie jak gwiazdy (Słońce) i żarówki, emitują fotony przypadkowo rozłożone w czasie i statystyce Bosego-Einsteina. Laserowe (spójne) źródła światła, posiadają bardziej jednorodne (choć nadal przypadkowe) rozkłady czasowe o poissonowskim rozkładzie prawdopodobieństwa.

31. Pęd fotonów w oddziaływaniu z atomami Jeśli atom emituje foton, podlega odrzutowi w przeciwnym kierunku, zgodnie z zasada zachowania pędu. Jeśli atomy zostaną wzbudzone, a następnie emitują światło, wiązka atomowa stanie się bardziej rozbieżna, niż wiązka atomów przed wzbudzeniem światłem.

32. Fotony – ciśnienie światła Fotony nie mają masy, ale po zaabsorbowaniu przez przekazują swój pęd. Promieniowanie słoneczne trafiające na Ziemię ma gęstość energii strumienia pola równą 1370 W/m2, więc ciśnienie promieniowania (gdyby zostało całkowicie pochłonięte) wynosi: Żagle słoneczne, zaproponowane jako metoda napędu misji kosmicznych używałyby ciśnienia promieniowania Słońca jako siłę napędową. Ciśnienie promieniowania jest niezaniedbywalne: • Odchylanie warkoczy komet (pozostałe siły są mniejsze) • Statek kosmiczny Viking (minąłby Marsao 15,000 km) • Wnętrza gwiazd P  (1400 W/m2)/(3x108m/s)5x10-6 Pa << Patm= 105 Pa P= S/c

33. wiązka lasera wiązka atomów 1 atom Spowalnianie atomów światłem lasera Podstawy chłodzenia i pułapkowania atomów światłem laserowym – Nobel 1997 S.Chu,C.Cohen-Tannoudji,W.Phillips CHŁODZENIE ATOMÓW FOTONAMI: po zabsorb. 1 fotonu: vR = ħk/M = 3 cm/s @ I = 6 mW/cm2 czas zatrzymania: 1 ms droga hamowania: 0,5 m przyspieszenie: 106 m/s2 p = ħ kabs - ħ kem = N ħ kL – 0

34. Pułapki magneto-optyczne umożliwiają ochłodzenie chmury (gazu) neutralnych atomów do temperatur rzędu 100µK PUŁAPKA MOT IF PAN IF PAN (M. Głóź) IF UW (W. Gawlik) Laboratorium FAMO (Toruń) Chmura zimnych atomów Rb w centrum pułapki

35. Photons "What is known of [photons] comes from observing the results of their being created or annihilated." Eugene Hecht Można powiedzieć, że zdanie to jest słuszne nie tylko dla fotonów, ale dla wszystkiego, co jesteśmy w stanie zaobserwować. Nasz ogląd świata jest wynikiem kreowania i anihilowania fotonów, czyli sposobu, w jaki światło oddziałuje z materią.

36. Zadania: • Wykaż, że gdy funkcja f(x)spełnia równanie falowe, funkcja f(x±vt)również spełnia równanie falowe. • Sprawdź poprawność związków między prędkością fazową i prędkością grupową: Przedyskutuj ten związek dla ośrodków posiadających dyspersję czasową (w ośrodkach takich częstość  zależy od długości fali ).

37. doświadczenie Michelsona-Morleya, doświadczenie Younga, prawo Snella, zasada Huygensa Chłodzenie atomów światłem laserowym Ciśnienie światła Dyspersja (czasowa) Dyspersja prędkości grupowej Fala elektromagnetyczna Fale podłużne Fale poprzeczne Prędkość fazowa Prędkość grupowa Równania Maxwella w próżni Równania Maxwella w ośrodkach materialnych Równanie falowe skalarne Spin fotonu Światło jako fala elektromagnetyczna Światło jako strumień fotonów Indeks haseł dotychczas omówionych: