Generování náhodných veličin (1) Diskrétní rozdělení

1. Generování náhodných veličin (1)Diskrétní rozdělení

2. Diskrétní rozdělení Vychází se z náhodného pokusu, který má za následek 2 možné výsledky: • Nastoupení jevu A • Nenastoupení jevu A = nastoupení Ā Pravděpodobnost nastoupení jevu A: P(A) = p Pravděpodobnost nastoupení jevu Ā:P(Ā) = 1-p = q

3. Diskrétní rozdělení • Alternativní • Geometrické • Pascalovo • Binomické • Poissonovo • Hypergeometrické

4. 1. Alternativní (Bernoulliovo) rozdělení Náhodný pokus má jen 2 možné výsledky • s pravděpodobností p … úspěch náh.veličina X = 1 • s pravděpodobností 1-p = q … neúspěch náh.veličina X = 0 E(X) = p D(X) = p*q Příklad: hod mincí, výběr výrobku (p % je vadných)

5. 2. Geometrické rozdělení Náhodná veličina X = počet náhodných pokusů, které mají za výsledek nastoupení jevu Ā před prvním výskytem jevu A (počet neúspěchů před prvním úspěchem) Střední hodnota: E(X) = q/p Rozptyl: D(X) = E(X)/p = q/p2 Pravděpodobnostní funkce: P(X) = p(1-p)x Příklad: počet hodů kostkou než poprvé padne hodnota 6

6. 2. Geometrické rozdělení Generování: • x = 0 • generuj náh.číslo r • pokud je r < p, jdi na 5. • x = x + 1, jdi na 2. • konec, v x je generovaná hodnota geom.rozdělení Jiná možnost: x = celá část (log r/log q), tento postup je založen na metodě inverzní transformace

7. 3. Pascalovo (negativní binomické) rozdělení Náhodná veličina X popisuje počet nastoupení jevu Ā předtím, než nastoupí k-krát jev A (počet neúspěchů před k úspěchy) Jde o součet k nezávislých geometrických rozdělení, pro k=1 je to geometrické rozdělení.

8. 4. Binomické rozdělení Náhodná veličina X má binomické rozdělení, když popisuje počet výskytů jevu A v sérii n nezávislých pokusů (počet úspěchů ve všech pokusech, výběr s vracením) Střední hodnota: E(X) = np Rozptyl: D(X) = n*p/q Příklad: počet vybraných zmetků z n výrobků, počet hozených šestek v n pokusech, …

9. 4. Binomické rozdělení Generování: • x = 0, i=1 • generuj náhodné číslo r • pokud je r < p , x = x + 1 • i=i+1 • pokud je i  n, jdi na 2., jinak jdi na 5. • konec, v x je generovaná hodnota binomického rozdělení

10. 5. Poissonovo rozdělení Podobné binomickému, rozdíl je hlavně v tom, že n je velmi velké (n>30) a p velmi malé (p<0.1) E(X) = np =  D(X) =  Poissonovo rozdělení zachycuje počet výskytů určitého jevu v časovém intervalu t (střední hodnota počtu výskytů za čas.jednotku je ) Toto rozdělení je spojené s exponenciálním rozdělením, všimněte si, že mají společný parametr , který je v teorii hromadné obsluhy znám, mimo jiné, jako intenzita příchodů. Poissonovo rozdělení říká, kolik jednotek přijde za časový interval (), Exponenciální rozdělení říká, jaké jsou intervaly mezi příchody těchto jednotek (1/)

11. 6. Hypergeometrické rozdělení Náh.veličina X … počet prvků jednoho druhu (úspěchů), který se vyskytuje v náhodné výběru n prvků (bez vracení) Ze základního souboru velikost N vybereme n Pravděpodobnost úspěchu P(A) … p Celkový počet prvků jednoho druhu (úspěchů) v souboru N … M= N*p E(X) = n*p D(X) = n*p*q ((N-n)/(n-1))

12. … a to z diskrétních rozdělení stačí