Le trasformazioni

1. Corso Di Programmazione Grafica aa 2007/2008 Le trasformazioni Daniele Marini

2. Concetti • Spazio affine • Coordinate omogenee • Matrici • Traslazione, Scala, Rotazione, Shear • Prodotto matrice-vettore colonna Programmazione Grafica aa2007/2008

3. Richiami di geometria affine • Spazio vettoriale lineare: operazioni di somma tra vettori • Campo scalare e operazioni prodotto vettore per scalare • Spazio affine, due nuove operazioni: • addizione vettore - punto; • sottrazione punto-punto Programmazione Grafica aa2007/2008

4. Richiami di geometria affine Programmazione Grafica aa2007/2008

5. Richiami di geometria affine Programmazione Grafica aa2007/2008

6. Trasformazioni affini • Rappresentate tramite matrici • Più trasformazioni possono essere combinate moltiplicando le rispettive matrici tra loro, creando una sola trasformazione • Una trasformazione si ottiene in generale combinando trasformazioni lineari (rotazioni, scala e shear) seguite da una traslazione Programmazione Grafica aa2007/2008

7. Trasformazioni affini • La trasformazione affine conserva le rette, sia A una generica trasformazione, scriviamo in funzione del parametro t un segmento tra i punti p0 , p1 • Siccome descriviamo poliedri mediante i vertici, le facce e gli spigoli, questa proprietà ci garantisce che possiamo trasformare soltanto i vertici: la relazione lineare tra punti e la topologia della struttura non cambiano. Programmazione Grafica aa2007/2008

8. Definizione degli oggetti • Gli oggetti possono essere definiti in un proprio sistema di riferimento locale: • i vertici dell’oggetto sono definiti rispetto a un orientamento proprio e naturale • un oggetto complesso può essere decomposto in elementi più semplici col proprio riferimento locale e in seguito assemblato aggregando oggetti elementari • un oggetto può essere istanziato più volte • Per assemblare una scena e istanziare più oggetti si applicano le trasformazioni affini, che cambiano il riferimento locale Programmazione Grafica aa2007/2008

9. Tipi di oggetti base • Punti • E’ definita l’operazioni di differenza tra punti: produce un vettore • Vettori, corrispondono all’entità linea • Sono definite le operazioni sopra ricordate • Sono definite le operazioni tra punti e vettori sopra ricordate Programmazione Grafica aa2007/2008

10. Tipi di oggetti base - 2 • Piani: estensione della rappresentazione parametrica della retta; t,w sono parametri, P, Q ed R sono tre punti, con i quali possiamo identificare un piano; la retta tra P,Q si può scrivere: S(t)=tP+(1-t)Q • la retta tra S e R si può ora scrivere: V(w)=wS+(1-w)R • Combinando le due equazioni: V(t,w)=w(tP+(1-t)Q)+(1-w)R Programmazione Grafica aa2007/2008

11. Tipi di oggetti base - 3 • Questa può essere considerata come equazione del piano per i tre punti P,Q,R: V(t,w)=P+w(1-t)(Q-P)+(1-w)(R-P) • Q-P ed R-P sono due vettori u v, da cui V(t,w)=P+tu+wv • Il piano può anche essere definito da un punto e due vettori non paralleli. • Se 0≤t≤1 e 0≤w≤1 tutti i punti di V(t,w) sono interni al triangolo PQR • Il vettore ortogonale a u e v è n=uxv quindi l’equazione del piano può anche essere scritta come: n.(P-Q)=0 Programmazione Grafica aa2007/2008

12. Sistemi di coordinate e sistemi di riferimento (frame) • Quanto detto fin’ora è indipendente da uno specifico sistema di coordinate • La definizione di una base di vettori linearmente indipendenti e unitari permette di identificare un sistema di coordinate • Se definiamo i tre versori con una medesima origine identifichiamo un sistema di riferimento (frame) Programmazione Grafica aa2007/2008

13. Un frame standard • Lo spazio può essere orientato in due modi: • mano sinistra: avvolgete la mano all’asse x e puntate il pollice verso x a sinistra, z (medio) viene verso di voi e y (indice) va verso l’alto • mano destra: avvolgete la mano all’asse x e puntate il pollice verso x a destra, z (medio) viene verso di voi e y (indice) va verso l’alto • In OGL sono definiti molti frames: • Object o model frame • World frame • Eye (camera) frame • Clip coordinates • Normalized device coordinates • Window (screen) coordinates • Il passaggio da un frame all’altro avviene tramite trasformazioni Programmazione Grafica aa2007/2008

14. Cambiamento di riferimento • Un cambiamento del sistema di riferimento consiste nel cambiare la base di vettori ortonormali • La nuova base può essere espressa come combinazione lineare della vecchia base: • Vecchia base: v1v2v3 • Nuova base: u1u2u3 u1=a11v1+a12v2+a13v3 u2=a21v1+a22v2+a23v3 u3=a31v1+a32v2+a33v3 • aij sono i coefficienti delle combinazioni lineari per esprimere la nuova base in funzione della vecchia • Le equazioni non sono altro che il risultato del prodotto della matrice dei coefficienti per la vecchia base Programmazione Grafica aa2007/2008

15. Cambiamenti di riferimento • Questi cambiamenti di riferimento lasciano invariata l’origine: se vogliamo traslare l’origine, non possiamo rappresentare il cambiamento con una matrice di 3x3 elementi. • I cambiamenti di base possibili in questo modo sono quindi solo: rotazioni o scala (o shear)! Programmazione Grafica aa2007/2008

16. Classi di trasformazioni Programmazione Grafica aa2007/2008

17. Trasformare gli oggetti • Le trasformazioni agiscono trasformando i vertici dell’oggetto nel sistema di riferimento originale, o come cambiamento di sistema di riferimento • Denotiamo i vertici (punti) come vettori colonna v • R, T e S rappresentano gli operatori di rotazione, traslazione e scala • Il punto trasformato è quindi: v’ = v + T traslazione v’ = S vscala v’ = R v rotazione Programmazione Grafica aa2007/2008

18. Coordinate omogenee Spazio di classi di equivalenza: ogni punto in coordinate cartesiane 3D corrisponde a infiniti punti nello spazio omogeneo 4D che differiscono solo per un fattore moltiplicativo w: Il passaggio dallo spazio omogeneo allo spazio 3D: solitamente si sceglie w=1 Programmazione Grafica aa2007/2008

19. Coordinate omogenee • In alto: il generico punto (x,y,z) in coordinate omogenee corrisponde a un unico punto sul piano z=1 • In basso: l’operazione di somma in coordinate omogenee dei vettori u,v genera il vettore con estremo in R, che corrisponde anche alla somma in coordinate omogenee dei punti P, Q. Programmazione Grafica aa2007/2008

20. Coordinate omogenee • Utilizzando le coordinate omogenee le trasformazioni necessarie alla modellazione possono essere espresse come matrici 4x4, e l’applicazione di una trasformazione a un punto si riduce a un prodotto vettore-matrice • In particolare la traslazione viene espressa come Programmazione Grafica aa2007/2008

21. Traslazione Programmazione Grafica aa2007/2008

22. Rotazione Programmazione Grafica aa2007/2008

23. Rotazione rotazione attorno all’origine rotazione attorno al centro dell’oggetto: prima traslare poi ruotare poi contro-traslare Programmazione Grafica aa2007/2008

24. Scala Programmazione Grafica aa2007/2008

25. Trasformazioni inverse • Denotiamo le inverse come: T-1, S-1, R-1 • La traslazione inversa si ottiene negando i coefficienti di traslazione • La scala inversa si ottiene prendendo il reciproco dei coefficienti • La rotazione inversa si ottiene negando l’angolo di rotazione. • Le trasformazioni sono invertibili salvo la scala 0! • Nota se M è una matrice ortogonale M-1=MT Programmazione Grafica aa2007/2008

26. Trasformazione generica rigida (niente scala!) • Una trasformazione rigida generica può essere espressa come la concatenazione di una traslazione e una rotazione Programmazione Grafica aa2007/2008

27. Trasformazione delle normali • La matrice M associata ad un oggetto può essere utilizzata per trasformare punti, linee e poligoni o generici vettori associati a punti di un piano. • Però per la trasformazione delle normali deve essere utilizzata la matrice N=(M-1)T • Per capire la ragione notiamo che se n è la normale a un piano e v è un vettore sul piano allora nTv=0, ma questa equazione si può scrivere considerando la matrice di trasformazione M: nTM-1Mv=0; • Ovvero: nTM-1 è la trasposta del vettore normale trasformato • Quindi la normale trasformata è la sua anti-trasposta: (M-1)Tn Programmazione Grafica aa2007/2008

28. Composizione di trasformazioni • Si possono applicare trasformazioni in successione, moltiplicando in ordine opportuno le matrici (associatività) v”=M2M1v = M2(M1v) =M2v’ • la trasf. M1 viene applicata per prima! • ricordiamo che il prodotto di rotazioni non è commutativo: R2R1 ≠R1R2 Programmazione Grafica aa2007/2008

29. p q A B C C(B(A)) p q M Composizione di trasformazioni • Possiamo applicare a ogni punto separatamente le matrici:(se ho 1000 punti devo applicare le matrici singolarmente per ognuno) • Oppure calcolare prima la matrice M: Programmazione Grafica aa2007/2008

30. Le trasformazioni per modellare • Da oggetti prototipo a loro “istanze” • Tre trasformazioni nell’ordine: • Scala • Rotazione • Traslazione • Minst=T(R(S)) Programmazione Grafica aa2007/2008

31. Rotazioni:Metodo di Eulero y Yaw - imbardata x -z Pitch - beccheggio Roll - rollio Programmazione Grafica aa2007/2008

32. Metodo di Eulero • Il metodo di Eulero costruisce le trasformazioni come moltiplicazione di matrici di rotazione intorno ai tre assi • L’inversa della trasformazione può essere calcolata come • Purtoppo la rotazione non è commutativa: R1R2≠R2R1 Programmazione Grafica aa2007/2008

33. Rotazione di Eulero • Sviluppiamo la concatenazione delle tre trasformazioni (scriviamo le matrici 3x3 per semplicità) Programmazione Grafica aa2007/2008

34. Rotazione attorno a un punto e parallela a un asse • Traslare l’oggetto nell’origine, i coefficienti della traslazione T sono riferiti al punto p • Ruotare attorno all’origine di un angolo q • Traslare inversamente nel punto p M=T-1RT Programmazione Grafica aa2007/2008

35. y y r r s s x x z z t t Rotazione intorno ad un asse generico • Un altro modo per risolvere il problema è di considerare la rototraslazione nell’origine come un cambiamento di sistema di riferimento, cioè di base ortonormale, eseguendo quindi la rotazione attrono al nuovo asse, ad esempio x. y s r x t z Programmazione Grafica aa2007/2008

36. Cambiamento di base • Sia r l’asse di rotazione desiderato, troviamo due nuovi versori ortogonali ad rche definiscono un nuovo riferimento. • Per trovare il primo vettore ortogonale a r moltiplico r per uno dei versori del frame originale ex|y|z : ci sono due casi possibili: il nuovo vettore è parallelo a r oppure è ortogonale sia ad r sia ad ex|y|z ad es: • r x ex = r x (1,0,0)T=(0,rz,-ry)=v Programmazione Grafica aa2007/2008

37. Cambiamento di riferimento • Moltiplicando scalarmente il nuovo vettore trovato v.v, se è nullo r e ex sono paralleli, si cerca un altro vettore ortogonale a rey|z • Il vettore trovato sia s • Il terzo vettore ortogonale a r ed s si determina con il prodotto vettore tra i due Programmazione Grafica aa2007/2008

38. Rotazione intorno ad un asse generico • Il test per valutare il parallelismo tra r ed ex|y|z può essere semplificato come qui indicato • Si noti che essendo M ortogonale, la sua inversa è MT Programmazione Grafica aa2007/2008

39. Gimbal Lock(blocco del giroscopio) • Gimbal lock avviene quando le rotazioni sono concatenate in modo tale che un grado di libertà viene perso, ad es quando due assi di rotazione del giroscopio vengono a coincidere. • Esempio: • rotazione di 90° intorno all’asse z • volendo ruotare ora intorno a x, a causa della rotazione precedente, otterremo una rotazione intorno a y Programmazione Grafica aa2007/2008

40. Gimbal Lock • Se eseguiamo una rotazione di 90° attorno a y otteniamo: • Abbiamo perso un grado di libertà! Programmazione Grafica aa2007/2008