FUNCIONES CUADRÁTICAS

1. FUNCIONES CUADRÁTICAS DÍA 24 * 1º BAD CS

2. FUNCIONES CUADRÁTICAS y • Todas las funciones que se pueden expresar de la forma • f(x) = a.x2 + b.x + c • Reciben el nombre de FUNCIONES CUADRÁTICAS. Su gráfica es una parábola. • Para dibujar una parábola necesitamos conocer: • 1.- Coordenadas del vértice. • 2.- Corte con el eje de abscisas y el eje de ordenadas. • 3.- El eje de simetría. • 4.- Una tabla de valores. 5 f(x) = x2 – 2x – 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -5

3. GRÁFICA DE LA PARÁBOLA • VÉRTICE DE LA PARÁBOLA • Como todo punto tendrá dos coordenadas: V(xv , yv) • Siempre se cumple: xv = - b / 2.a  yv=a.xv2+b.xv+ c • EJE DE SIMETRÍA • Es vertical y pasa por el vértice, luego su ecuación es x = xv = -b/2.a • PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES • Si hacemos x=0  y = f (0) será el corte con el eje de ordenadas. • Si hacemos f(x)=0  La solución de la ecuación a.x 2+b.x + c = 0 nos dará los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay. • TABLA DE VALORES • Además de los ya calculados, vértice y cortes, hay que dar dos o cuatro más de valor de x simétrico respecto al valor del vértice. • Importante comprobación: Los cortes con el eje de abscisas, si los hay, son simétricos respecto al valor de xv. • Muy importante: Si a>0  CÓNCAVA y si a<0  CONVEXA

4. PROPIEDADES • DOMINIO • El dominio de f(x), como cualquier función polinómica será R. • Dom f(x) = R • RECORRIDO • La imagen de una función cuadrática sólo existe del vértice a +oo o del –oo al vértice, según sea cóncava o convexa. • Img f(x) = (yv , + oo) en las funciones cuadráticas CÓNCAVAS. • Img f(x) = (- oo, yv ) en las funciones cuadráticas CONVEXAS. • SIMETRÍA • Como su gráfica es una parábola, sólo puede tener simetría PAR: • f(x) = f(-x) cuando el eje de la parábola sea el eje de ordenadas.

5. Ejemplo 1 Ejemplo 2 • Sea f (x) = - x2 + x • a=-1<0  Convexa • Dom f(x) = R • Vértice: • xv = - b / 2.a = - 1 / 2.(-1) = 1 / 2 • yv= - (1/2)2+ 1 / 2 = - 0,25 + 0,5 = 0,25 • V(0’5 , 0´25) • Img f(x) = (- oo, 0,25] • Sea f (x) = x2 - 3 • a=1>0  Cóncava • Dom f(x) = R • Vértice: • xv = - b / 2.a = -0/2.1 = 0 • yv= 02- 3 = - 3 • V(0, - 3) • Img f(x) = [ - 3, +oo) V 0,25 -3 V

6. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO • Si tenemos una ecuación de la forma • y = a.x2 , y = a.x2 + b , y = a.x2 + b.x , y = a.x2 + b.x + c • Podemos decir que es una función cuadrática. • En ella x es la variable independiente e y es la variable dependiente. • Las letras a, b y c son los llamados parámetros. • La señalaremos así: • f(x) = a.x2 , • f(x) = a.x2 + c , • f(x) = a.x2 + b.x , • f(x) = a.x2 + b.x + c • Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva llamada PARÁBOLA.

7. La función f(x)= a.x2 , a > 0 y • Sea y = x2 • Tabla de valores • x y • -3 9 • -2 4 • -1 1 • 0 0 • 1 1 • 2 4 • 3 9 9 4 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

8. La función f(x)= a.x2 , a < 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 x • Sea y = - 2.x2 • Tabla de valores • x y • -3 - 18 • -2 - 8 • -1 - 2 • 0 0 • 1 - 2 • 2 - 8 • 3 - 18 - 2 - 8 - 18 y

9. La función f(x)= a.x2 + c , a > 0 , c > 0 y • Sea y = x2 - 2 • Tabla de valores • x y • -3 7 • -2 2 • -1 - 1 • 0 - 2 • 1 - 1 • 2 2 • 3 7 7 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x - 1 - 2

10. La función f(x)= a.x2 + c , a < 0 , c > 0 5 • Sea y = - 3.x2 + 5 • Tabla de valores • x y • -3 - 22 • -2 - 7 • -1 2 • 0 5 • 1 2 • 2 - 7 • 3 - 22 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x - 7 - 22 y

11. La función f(x)= a.x2 + b.x , a > 0 , b < 0 y 15 • Sea y = x2 - 2.x • Tabla de valores • x y • -3 15 • -2 8 • -1 3 • 0 0 • 1 - 1 • 2 0 • 3 3 8 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 x - 1

12. La función f(x)= a.x2 + b.x , a < 0 , b > 0 • Sea y = - x2 + 5.x • Tabla de valores • x y • -3 - 24 • -2 - 14 • -1 - 6 • 0 0 • 1 4 • 2 6 • 3 6 6 4 -2 -1 0 1 2 3 x - 6 - 14 y

13. La función f(x)= a.x2 + b.x + c , a > 0 , b < 0 y c > 0 y • Sea y = x2 - 2.x + 3 • Tabla de valores • x y • -3 18 • -2 11 • -1 6 • 0 3 • 1 2 • 2 3 • 3 6 18 11 6 3 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

14. Ejemplos de dilatación f(x) = x2 y - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 f(x) = - 0’5.x2 f(x) = - 2.x2

15. Ejemplos de dilatación • Sea f(x) = x2 Si debemos representar: f(x) = r.x2 • El efecto es que la parábola se deforma. • Si r > 0 Conserva la concavidad Si r < 0 Se invierte. • Si |r| > 1 Se estrecha. Si |r| < 1 Se ensancha. y f(x) = 2.x2 f(x) = x2 f(x) = 0’5.x2 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

16. Problema • El consumo de gasolina en un coche, para velocidades comprendidas entre 30 y 190 km/h, viene dado por la función: • Siendo x la velocidad en km/h y C(x) el consumo en litros/100 km • a) ¿A qué velocidad se debe conducir para que el consumo sea de 10 litros/100 km? • b) ¿A qué velocidad consume menos y cuál será dicho consumo?. • a) 10 = 8 – 0,045.x + 0,00025.x2 • 0,00025.x2 – 0,045.x – 2 = 0  25.x2 – 4500.x – 200000 = 0 • 5.x2 – 900.x – 40000 = 0  x2 – 180.x – 8000 = 0 • x = [180 ±√(180x180 – 4x(-8000))]/ 2 = (180+254)/2 = 217 km/h • b) El mínimo consumo estará en el vértice de la parábola: • Xv= -b / 2.a = -(-0,045)/2.0,00025 = 45 / 0,5 = 90 km /h • El consumo será: • Yv = 8 – 0,045.90 + 0,00025.902 = 8 – 4,05 + 2,025 = 5,975 litros/100 km