Matemática 2 (EPE)

1. Matemática 2 (EPE) Área de Ciencias MA 111 2007-1 Matemática 2

2. Geometría Plana Segmentos y Ángulos Matemática 2

3. ÁNGULOS • SITUACIÓN PROBLEMA • El esquema muestra la ubicación de cuatro computadoras de una oficina y se necesita conectarlas a un servidor, para lo cual se realiza el sistema mostrado en la figura. Se observa que ubicándose en el servidor indicado, el ángulo que origina B respecto a A es 80º; el ángulo que genera C respecto a D es 74º y el ángulo originado por B respecto a C es 20º mayor que el ángulo generado por A respecto a D. • Determine el valor de estos últimos ángulos. Matemática 2

4. 1. Definición de ángulo: Ángulo: es la unión de dos rayos que tienen el mismo origen. Ejemplo: • Notación: • ∠AOB o ∠BOA o AÔB o ángulo O o ángulo AOB. • Observación: el punto P no es un punto del ángulo. P está en el interior del ángulo O. Elementos: En el ángulo AOB, los rayos OA y OB se llaman lados y el punto O se llama vértice. Matemática 2

5. Medida de un ángulo: A todo ángulo, se le puede asociar un número positivo menor que 180 el cual representa su medida en grados sexagesimales. Importante En este curso, estudiaremos principalmente ángulos cuyas medidas en grados son menores que 180°. Ese tipo de ángulo se llama ángulo geométrico 0°<α<180° Los ángulos cuyas medidas son mayores de 180° se estudian en los cursos de trigonometría, de topografía, geodesia, etc. Matemática 2

6. Instrumento de medición: El transportador es el instrumento que se emplea para medir ángulos. Matemática 2

7. 2. Clasificación de los ángulos geométricos según su medida: • Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso • Ángulo agudo: es un ángulo cuya medida es menor que 90°. • Ángulo recto: es un ángulo que mide 90°. • Ángulo obtuso: es un ángulo cuya medida es mayor que 90°. • 3. Relaciones entre ángulos: • 3.1 Entre sus medidas: • Ángulos complementarios • Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90°. • α +β= 90° • m∠O + m∠P = 90° P O Matemática 2

8. Ángulos suplementarios • Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman 1800. • α +β= 1800 • m∠O + m∠P = 1800 • 3.2 Por sus posiciones: • a) Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común y los otros lados son rayos opuestos. • Ejemplo: • Los ángulos AOB y BOC son adyacentes. O P B C A O Matemática 2

9. b) Ángulos consecutivos: son dos o más ángulos adyacentes • Ejemplo: • Los ángulos AOC, COD y DOB son consecutivos. • c) Ángulos opuestos por el vértice: son dos ángulos que tienen el mismo vértice y sus lados son opuestos mutuamente. • Ejemplo: • En la figura siguiente, los ángulos 1 y 3 son opuestos por el vértice. 2 D C 3 1 A 4 B O Matemática 2

10. Observación: • Los ángulos 1 y 2 son suplementarios entonces m∠1 + m∠2 = 180° • Los ángulos 2 y 3 son suplementarios entonces m∠2 + m∠3 = 180° • Se restan las dos ecuaciones y se obtiene: m∠1 - m∠3 = 0° • Conclusión: los ángulos 1 y 3 tienen la misma medida. Matemática 2

11. A I B • 4. Bisectriz de un ángulo: • DEFINICIÓN DE BISECTRIZ DE UN ÁNGULO • Se denomina Bisectriz de un ángulo a la recta que pasa por el vértice y divide al ángulo dado en dos ángulos iguales. • Actividad: • Tomando como centro el punto O, trace con el compás un arco que corte a los lados del ángulo en los puntos A y B. • Luego, tomando como centro el punto A y con la misma abertura del compás, trace un arco. Repita la operación, con la misma abertura, tomando como centro el punto B. • Estos arcos se cortan en el punto I, interior al ángulo. Trace el rayo OI. Mida los ángulos AOI y BOI. • ¿Qué puede observar? O Matemática 2

12. 5. Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante • Cuando se traza una secante que corta a dos rectas paralelas, aparecen ocho ángulos. Estos ángulos se relacionan entre sí y se puede establecer cuáles tienen la misma medida. 1 2 3 4 5 6 7 8

13. 7. Ejemplos de clase Ejemplo 1: a. ¿Cuál es el complemento de 400 25' 45"?

14. b. ¿Cuánto mide el ángulo cuyo complemento es ocho veces su medida? Matemática 2

15. Ejemplo 2: Calcule la medida de los ángulos congruentes AOB y CQD. Matemática 2

16. Ejemplo 3: RETO para el alumno Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, de modo que: m∠AOC + m∠BOD = 110° y m∠AOB + m∠COD = 60°. Calcule la medida del ángulo AOD. Matemática 2

17. Ejemplo 4: Trace dos ángulos suplementarios y adyacentes. Luego, trace las bisectrices de cada ángulo. ¿Qué puede observar? Demuestre que siempre se cumple. Matemática 2

18. Ejemplo 5: RETO para el alumno En la figura mostrada, es paralela a , calcule el valor de α y de β.