Modelos de Equações Estruturais Lúcia P. Barroso lbarroso@imep.br

1. Modelos de Equações EstruturaisLúcia P. Barrosolbarroso@ime.usp.br

2. Modelos de Equações Estruturais • É uma evolução da modelagem de multiequações (Econometria) e dos princípios de mensuração (Psicologia e Sociologia);

3. Modelos de Equações Estruturais • Problemas Básicos: 1) O que a medida observada realmente está medindo? 2) Como inferir relações causais complexas entre as variáveis que não são observáveis diretamente? Modelo de Mensuração Modelo Estrutural

4. Modelos de Equações Estruturais = B++ y =y+  x =X+ Equações simultâneas

5. Variáveis x: Variáveis y: Modelagem

6. O diagrama de caminho Círculos:erros Elipses:variáveis latentes Retângulos:variáveis observadas Setas com um sentido:indicam que variável exerce influência sobre outra (causa) Setas com ambos os sentidos:indicam correlação Duas setas, uma em cada sentido:indicam relações recíprocas – uma variável é causa e é causada pela outra

7. Notação Indicadores: variáveis mensuráveis • X: indicador de variáveis latentes exógenas • Y: indicador de variáveis latentes endógenas Variáveis latentes • ξ: variável latente exógena • : variável latente endógena

8. Notação Erros • :erro associado a X • : erro associado a Y • : erro associado a ξ

9. Notação Coeficientes • x:entre X e ξ • y: entre Y e  • B:entre ’s • : entre  e ξ • : vetor de parâmetros

10. Notação Matrizes de covariâncias • :matriz de covariância estruturada • S:matriz de covariância amostral • : covariâncias entre ξ’s • :covariâncias entre os erros ’s •  : covariâncias entre os erros ’s •  : covariâncias entre os erros ’s

11. Matriz de covariância imposta pelo modelo - ()

12. Estimação dos parâmetros Σ = Σ() : vetor de parâmetros do modelo Estamosinteressadosemencontrarvaloresparaosparâmetrosqueminimizemalgumafunção de S e Função de discrepância Se a função é contínua e é um escalarmaior do que zero, sendoigual a zero somente se osargumentosforemiguais, entãoteremosestimadoresconsistentesparaosparâmetros

13. Estimação dos parâmetros Máximaverossimilhança (normal multivariada) (N-1)FMLavaliadanasestimativasobtidas tem distribuiçãoassintótica qui-quadrado com ½(p+q)(p+q+1) – t graus de liberdade (t = número de parâmetroslivres)

14. Estimação dos parâmetros Mínimos quadrados

15. Estimação dos parâmetros Mínimosquadradosgeneralizados W-1 é estimadorconsistente de -1 (usal S-1) (N-1)FGLSavaliadanasestimativasobtidas tem distribuiçãoassintótica qui-quadrado com ½(p+q)(p+q+1) – t graus de liberdade

16. Estimação dos parâmetros Mínimosquadradosponderadosgeneralizados Nãodepende de distribuição, mas de momento de quartaordem e requeramostrasmuitograndes

17. Estimação dos parâmetros Mínimosquadradosponderadosdiagonalmente wgh é estimativadavariânciaassintótica de sgh

18. Método de Máxima Verossimilhança ou Método de Mínimos Quadrados Generalizados Variáveis seguem distribuição normal Método de Máxima Verossimilhança ou Método de Mínimos Quadrados Generalizados ou Método de Mínimos Quadrados Ponderados Generalizados Variáveis contínuas e não-normais Método de Mínimos Quadrados Ponderados Generalizados Variáveis categóricas

19. Como avaliar o ajuste do modelo? • Avaliar o sinal dos coeficientes • Avaliar a magnitude dos efeitos • Avaliar se osefeitossãoestatisticamentesignificantes • Validação do modelo: • Hipótesede interesse: Σ = Σ() • Como Σ é desconhecida, usa-se S

20. Como avaliar o ajuste do modelo? Hipótese de interesse: Σ = Σ() Teste qui-quadrado Resíduos Bomajuste: resíduospróximos de zero,resíduospadronizadosmenores do que 0,05.

21. Raiz do Quadrado Médio Residual (RMR) é o ij-ésimo elemento da matriz de covariância amostral; é o ij-ésimo elemento da matriz de covariância ; é a matriz de covariância avaliada no ponto ; é o número total de variáveis observadas. Medidas de Ajuste

22. Raiz do Quadrado Médio Residual (RMR) Bom ajuste: RMR  0. Pode ser afetada por variáveis de escalas diferentes. Alternativa: Medidas de Ajuste

23. Teste Qui-quadrado N é o tamanho amostral; F é a função de ajuste utilizada ML, GLS ou ULS. Medidas de Ajuste Bom ajuste: valor-p grande. Cautela: Curtose próxima da normal, matriz de covariâncias analisada, amostra grande, estrutura imposta possível no problema analisado.

24. Discrepância Mínima da Amostra (CMIN) Medidas de Ajuste Ajuste de modelos para comparação: • Modelo de independência (baseline) – ruim • Seu modelo • Modelo saturado (sempre se ajusta) Bom ajuste: CMIN pequeno.

25. Índice de Ajuste Normalizado (NFI) Fb é o valor da função do modelo “baseline”; Fm é o valor da função de ajuste do “seu modelo”. Medidas de Ajuste 0  NFI  1 Bom ajuste: NFI  1. NFI pode aumentar com a adição de parâmetros e com tamanho da amostra. Considerando que média Fm  glm/(N-1)

26. Índice de Ajuste Corrigido (IFI) glm é o número de graus de liberdade da distribuição qui-quadrado do “seu modelo” Medidas de Ajuste Não varia entre 0 e 1. Bom ajuste: IFI  1.

27. Índice de Ajuste Relativo (RFI) Bom ajuste: RFI  1. Índice de Tucker-Lewis (TLI) Medidas de Ajuste Bom ajuste: RFI  1.

28. e Medidas de Ajuste Índice de Qualidade do Ajuste (GFI) e Índice de Qualidade do Ajuste Corrigido (AGFI) • Método de Máxima Verossimilhança: Bom ajuste: GFI  1 AGFI  1.

29. Método de Mínimos Quadrados Não-Ponderados: e • Método de Mínimos Quadrados Generalizados: e Medidas de Ajuste Índice de Qualidade do Ajuste (GFI) e Índice de Qualidade do Ajuste Corrigido (AGFI)

30. Índice de Qualidade do Ajuste de Parsimônia (PGFI) Índice de Ajuste Normalizado de Parsimônia (PNFI) Medidas de Ajuste

31. Índice de Ajuste Comparativo (CFI) é a discrepância mínima da amostra do “seu modelo”; é a discrepância mínima da amostra do modelo “baseline”. Medidas de Ajuste Bom ajuste: CFI  1.

32. Raiz do Erro Quadrático Médio de Aproximação (RMSEA) em que . • Limites de Confiança de 90%: e com e obtidos através das equações: e Medidas de Ajuste

33. Qui-quadrado Relativo Qui-quadrado Padronizado Medidas de Ajuste

34. Critério da Informação de Akaike (AIC) é a discrepância mínima da amostra do modelo prosposto; é o número de parâmetros livres. Critério da Informação de Bayes (BIC) é o número de variáveis observadas. Medidas de Ajuste

35. Critério de Browne-Cudeck (BCC) em que . Critério da Informação de Akaike Consistente (CAIC) Medidas de Ajuste

37. Índices de Modificação • MI : estatística do teste score – quantidade mínima esperada para decréscimo do qui-quadrado se o correspondente parâmetro fixado fosse considerado como livre. • EPC : estimatedparameterchanges • Estratégia: excluir parâmetros não significantes e incluir parâmetros a serem estimados no modelo, 1 a 1, pelo maior valor do MI.

38. Softwares • LISREL • EQS • AMOS • CALIS • MPLUS • R lavaan

39. Exemplo 1 Stress em atletas de basquete • n = 123 • Escala de 0 a 6 0: não provoca stress Quanto maior, mais stress

40. Estado psicológico X1: Necessidade de sempre jogar bem X2: Perder X3: Auto cobrança exagerada X4: Pensamentos negativos sobre sua carreira

41. Jogo X5: Perder jogo praticamente ganho X6: Repetir os mesmos erros X7: Cometer erros que provocam a derrota da equipe X8: Adversário desleal X9: Arbitragem prejudica você

42. Pessoas X10: Falta de humildade de um companheiro de equipe X11: Pessoas com pensamento negativo X12: Companheiro desleal X13: Diferenças de tratamento na equipe X14: Falta de confiança por parte do técnico

43. Estudo: Um questionário foi aplicado a 36 agricultores familiares de Salto, ao norte de Uruguai. Objetivo: Avaliar a “estrutura financeiro-tecnológica” (EFT) e a “estrutura social e familiar” (ESF) dos agricultores. Exemplo 2

44. 0 – manual 1 – mecânica • “tipo de fertilização” 0 – não possui 1 – possui EFT • “veículo” 1 – mochila na mão 2 – mochila com motor 3 – pulverizador no trator • “tipo de dedetização” • “número de parentes” 0 – pai não trabalhou na horticultura 1 – pai trabalhou • “pai” ESF • “trabalhadores permanentes” Variáveis Observadas:

45. Tipo de Fertilização = EFT + Veículo = EFT + Tipo de Dedetização = EFT + Equações de Mensuração Número de Parentes = ESF + Pai = ESF + Trabalhadores Permanentes = ESF +

46. Indicadores Formativos - definição • Direção Causal:o indicador formativo é definido por causar o construto e não ser causado por ele. Podemos dizer que esse comportamento é contrário ao usual. Formativos Reflexivos

47. Exemplos de indicadores • Reflexivo: “Número de vezes que uma criança tenta montar um quebra-cabeça até desistir” - efeito da variável latente “persistência”. • Formativo: “Número de participações em um comitê executivo” – causa a variável latente “experiência”.

48. Motivações para o estudo dos Indicadores Formativos • Desconhecimento do assunto: muitos usuários de modelos estruturais simplesmente desconhecem a existência e a forma de uso dos indicadores formativos. • Literatura escassa: são muito raros os trabalhos que têm como tema os indicadores formativos. • Uso incorreto: muitas vezes o indicador reflexivo não é apropriado, mas é usado.

49. Componentes da relação causal • Definição: se tivermos duas variáveis, X e Y, isoladas de qualquer influência externa, e se a cada mudança em X, Y também sofre uma mudança, então dizemos que X causa Y • Isolamento: X e Y estão isolados de influências externas. • Associação: se X causa Y, deve haver associação entre X e Y. • Direção: X causa Y e não o contrário.

50. Qual a direção da causa? • É comum, ao construirmos o diagrama de caminho, termos dúvida quanto à direção da causa • Exemplo: percepção da propaganda  intenção de compra outros fatores  intenção de compra  percepção da propaganda