Besaran Parakteristik Penampang

Besaran Parakteristik Penampang Mekanika Bahan

BESARAN YANG DIPAKAI • LUAS BIDANG • TITIK BERAT DAN BESARAN INERSIA • STATIS MOMEN • MOMEN INERSIA DAN MOMEN SENTRIFUGAL PADA PROFIL STABIL DAN TAK STABIL

LUAS PENAMPANG • Luas penampang suatu bidang adalah A = ∫dA = ∫dx dy Dimana dx dan dy masing masing merupakan panjang bidang pada arah x dan y.

TITIK BERAT • Suatu titik yang jika seluruh permukaan dipusatkan dititik tersebut maka akan memberikan statis momen yang sama terhadap kedua sumbu • Koordinat Titik Berat xo = Sy/A = (∫ x dA ) / ( ∫ dA ) yo = Sx/A = (∫ y dA ) / ( ∫ dA )

Momen Statis • Merupakan momen pertama dari bidang • Momen Statis suatu Bidang Sx = A . yo = ∫ y dA Sy = A . xo = ∫ x dA • Merupakan hasil kali antara luasan dengan jarak pada titik berat penampang

Momen Inersia • Merupakan momen kedua dari bidang • Momen Inersia terdiri dari beberapa Ixx = Mx = ∫ y2 dA Iyy = Mx = ∫ x2 dA Ixy = Mxx = ∫ xy dA Ir = Mz = ∫ r2 dA = ∫ (x2 + y2) dA = Ixx + Iyy • Ixx, Iyy dan Ir selalu bernilai positif • Sedang Ixy diambil nilai real positif or negatif

Contoh Soal • Berbagai bentuk penampang I I II II III

Tugas • Hitung Titik Berat Penampang, Statis Momen dan Momen Inersia dari :

Momen Inersia pada Sb (Xo dan Yo) Sb y Sb Yo y Sb Xo a O’ Sb x O b x

Menentukan Hubungan Ix dan Ixo Ix =∫(y + a )2 dA • karena jrk elemen thd sb X adalah (y+a) maka Ix =∫ y2 dA + 2a ∫ y dA + ∫ a2 dA = I xo + Statis momen =0 + Luasan • Jadi Ix = Ixo + a2 A

Menentukan Hubungan Iy dan Iyo Iy =∫(x + b )2 dA • karena jrk elemen thd sb Y adalah (x+b) maka Iy =∫ x2 dA + 2b ∫ x dA + ∫ b2 dA = I yo + Statis momen =0 + Luasan • Jadi Iy = Iyo + b2 A

Menentukan Hubungan Ir dan Iro Ir = Ix + Iy (Substitusi dr sebelumnya) Ir = (Ixo + a2 A ) + (Iyo + b2 A) = Ixo + Iyo + (a2+ b2) A = Iro +(a2+ b2) A Jadi Ir merupakan gabungan dr momen inersia material pd sb xo,yo dijumlah dgn kuadrat jarak sumbu x,y terhadap sb xo,yo dikalilikan dgn luasan material

Menentukan Hubungan Ixy dan Ixoyo Ixy = ∫ (x+b) (y+a) dA = ∫ (xy + ax + by + ab) dA =∫ xy dA + ∫ ax dA + ∫ by dA + ∫ ab dA = Ixoyo + Statis momen thd sb x dan y + Luasan Jadi Ixy = Ixoyo + ab A

Kesimpulan • Ix dan Iy juga Ip selalu bernilai positif • Ixy bisa bernilai positif, negatif atau nol • Ixy akan bernilai nol jika sb XY merupakan sb simetri dari penampang atau salah satunya merupakan sb simetri.

Perubahan Momen Inersia Karena Rotasi Sumbu Sb y Sb y1 Sb x1 x x1 y1 y  Sb x Y sin  X cos 

Perubahan Momen Inersia Karena Rotasi Sumbu X1 = x cos  + y sin  Y1 = y cos  - x sin  Menentukan Ix1 Ix1= ∫ y12 dA = ∫ (y cos  - x sin )2 dA =∫(y2cos2 + x2sin2 - 2xy sin cos) dA =cos2 ∫y2dA+ sin2 ∫x2 dA-2sincos∫xydA = cos2 Ix+ sin2 Iy- sin2 Ixy = (Ix+Iy)/2 + (Ix-Iy)/2 cos2 - sin2 Ixy

Menentukan Iy1 dan Ix1y1 • Dengan cara yg sama Iy1= ∫ x12 dA = ∫ (x cos  + y sin )2 dA = (Ix+Iy)/2 - (Ix-Iy)/2 cos2 + sin2 Ixy Ix1y1 = ∫ x1 y1dA =∫ (x cos +y sin ) (y cos  - x sin )dA = Ixy cos 2 + (Ix-Iy)/2 sin2

Menentukan Imax dan I min • Metode penentuan Imax dan Imin 1. Analitis 2. Grafis

Menentukan Harga Ix1 dan Iy1 ekstrim • Harga ekstrim dr suatu nilai didapat dgn menurunkan persamaan nilai tersebut dIx1/d=(Ix-Iy)/2 (-sin2) – Ixy (2 cos 2) dIx1/d=(Ix-Iy)/2 (-sin2) – Ixy (2 cos 2) • Agar nilai ekstrim terbentuk maka nilai turunan tersebut bernilai nol dIx1/d= 0 dIy1/d=0

Nilai ekstrim • Dengan nilai turunan = 0 maka tg 2 = - 2Ixy / (Ix-Iy) • Sehingga nilai maks atau min utk Ix1 = (Ix+Iy)/2 + √{(Ix-Iy)/2}2 + Ixy2 Iy1 = (Ix+Iy)/2 + √{(Ix-Iy)/2}2 + Ixy2

JARI JARI GIRASI • Jari jari girasi dari suatu bidang adalah r2 = √ I / A • Dimana : I = Momen Inersia penampang A = Luasan penampang

Kesimpulan • Ix + Iy = Ix1 + Iy1 = konstan • Jika Ix1 min maka Iy1 max Iy1 max maka Ix1 min • Jika Ix> Iy maka Ix max dan Iy min Ix < Iy maka Ix min dan Iy max Harga ekstrim dinamakan “ Momen Inersia Utama” dan sb yg bersangkutan adalah sb Utama. Bila melalui pusat maka disebut Momen Inersia Pusat Utama Dan Momen inersia thd pusat utama = 0

Penentuan Imax dan Imin dgn Cara Grafis / Lingkaran Mohr

Besaran Parakteristik Penampang