Vetores V

1. Vetores V

2. Produto Misto • Sejam u, v e w vetores quaisquer. O produto misto dos vetores u, v e w, indicado por [u, v, w] , é o número real • [u, v, w]= (u x v) . w

3. Exemplo 1 • Dados os vetores u = (1,0,2), v = (-1,1,3) e w = (0,3,-2) , temos: • [u, v, w] = ? • [v, u, w] =?

4. Exemplo 1 • Dados os vetores u = (1,0,2), v = (-1,1,3) e w = (0,3,-2), temos: • [u, v, w] = [(1,0,2) x (-1,1,3)] . (0,3,-2) = (-2,-5,1) . (0,3,-2) = -17 • [v, u, w] = [(-1,1,3) x (1,0,2)] . (0,3,-2) = (2,5,-1) . (0,3,-2) =17

5. Interpretação geométrica • Seja o paralelepípedo de arestas AB, AD e AE. Sabemos que o volume V desse paralelepípedo é: V = área da base x altura

6. Interpretação geométrica • Considerando a altura h desse paralelepípedo, em relação à base ABCD e aplicando cálculo vetorial obtem-se • V =| AB x AD | h

7. Interpretação geométrica • A altura pode ser calculada como o módulo da projeção do vetor AE na direção de AB x AD, pois AB x AD é ortogonal ao plano ABC • h = | proj (AB x AD) AE| = | (AE.(ABxAD)º) (AB x AD)º| = | (AE.(AB x AD)º)| = | AE | | cosθ| • onde θ é o ângulo entre os vetores AE e ABxAD

8. Interpretação geométrica • Logo, V = | AB x AD| | AE | | cos θ | = |(AB x AD ).AE |= | [AB,AD,AE] | • Ou seja, V = | [AB,AD,AE] |

9. Interpretação Geométrica • Considere agora o tetraedro de arestas AB, AD e AE. Seja VT o volume desse tetraedro • Logo • VT = 1/3 áreaBase X altura

10. Considerando a base ABD desse tetraedro, nota-se que a altura relativa a essa base coincide com a altura do pa- ralelepípedo anterior

11. Logo, VT = 1/3 (1/2 | AB x AD|) |AE ||cosθ| • =1/6 |(AB x AD ).AE | • = 1/6| [AB,AD,AE] |

12. Exemplo 2 • Considere o paralelepípedo de arestas OA, OB e OC, onde OA = (1,0,2), OB = (1,1,3) e OC = (2,1,0). Calcule o volume V deste paralelepípedo

13. Exemplo 2 • Considere o paralelepípedo de arestas OA, OB e OC, onde OA = (1,0,2), OB = (1,1,3) e OC = (2,1,0). Calcule o volume V deste paralelepípedo • V =| [OA,OB,OC] | = | (OA x OB) . OC| • =| (-2,-1,1) . (2,1,0) | = 5 u.v.

14. Exemplo 2 • Calcule a altura deste paralelepípedo

15. Exemplo 2 • Calcule a altura deste paralelepípedo

16. Observação • Considere uma base {v1, v2 , v3} do espaço. Pela definição do produto vetorial a base {v1, v2 , v1 x v2} é positiva. Assim, se v3 estiver no mesmo semi-espaço que v1 x v2, em relação a um plano que contiver representantes de v1 e v2, a base {v1, v2 , v3} será também positiva, já que o observador não muda de posição. Caso contrário esta base será negativa

17. Observação • Pode-se verificar se v3 está no mesmo semi-espaço que v1 x v2 em relação a um plano que contiver representantes de v1 e v2, através do ângulo entre estes vetores. Caso este ângulo seja agudo, então v3 está no mesmo semi-espaço que v1 x v2, caso contrário, não

18. Observação • Por outro lado, para determinar se o ângulo entre dois vetores é agudo ou obtuso, basta calcular o produto escalar entre eles • (v1 x v2 ) . v3 > 0, temos que o ângulo entre os vetores é agudo, logo a base {v1, v2, v3} é positiva, caso contrário, negativa

19. Observação • Podemos então concluir que uma base {v1, v2, v3} é positiva se o produto misto [v1, v2, v3 ] > 0 e será negativa se [v1, v2, v3 ] < 0

20. Propriedade 1 • [u, v, w] = 0  u, v e w são coplanares • Se [u, v, w] = 0, então o volume do paralelepípedo cujas arestas são representantes de u, v e w é zero • Assim, esse paralelepípedo é degenerado, e portanto, u, v e w são coplanares

21. Propriedade 2 • [u, v, w]= [v, w, u]= [w, u, v] • Temos que | [u, v, w] | = | [v, w, u] | = | [w, u, v, ] |, como volume de um mesmo paralelepípedo. Se u, v e w são L D, então • | [u, v, w] | =| [v, w, u] | =| [w, u, v ] |= 0

22. Propriedade 2 • Se u, v e w são LI, então as bases {u, v, w}, {v, w, u} e {w, u, v} pertencem a mesma classe. Logo • [u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v ]

23. Propriedade 3 • [u, v, w]=- [v, u, w] • [u, v, w] = (u x v) . w= -(v x u) . w= -[(v x u). w] = - [v, u, w]

24. Propriedade 4 • (u x v). w= u.(v x w) • (u x v). w= (v x w). u = u.(v x w)

25. Propriedade 5 • [u1 + u2, v,w] = [u1,v,w] + [u2,v,w] • Deve-se demonstrar a distributividade do produto vetorial em relação à adição de vetores • u x (v + w) = (u x v) + (u x w)

26. Propriedade 5 • u x (v + w) - (u x v) - (u x w) = 0 • Considere a= u x (v + w) - (u x v) - (u x w) • a . a = a .(u x (v + w) - (u x v) - (u x w)) = a .(u x (v + w)) - a . (u x v) - a . (u x w) = (a x u) . (v + w) – (a x u) . v – (a x u) . w = (a x u) . (v + w) - (a x u) . (v + w) = 0 • Logo a = 0

27. Propriedade 5 • [u1 + u2, v,w] = ((u1 + u2) x v).w = ((u1 x v) + (u2 x v) ).w = ((u1 x v) .w) + ((u2 x v) .w) = [u1,v,w] + [u2 ,v,w]

28. Propriedade 6 • 6) t [u, v,w]= [t u, v,w]= [u, t v,w] =[u, v, t w] • [tu, v,w] = (tu x v). w =(u x tv).w= [u, tv,w]

29. Expressão Cartesiana • Dada uma base ortornomal positiva {i, j, k} e dados os vetores u = (x1, y1, z1), v = (x2 , y2 , z2 ) e w = (x3 , y3, z3 ) • [u, v, w] = (u x v) . w = (y1z2- z1y2 , z1x2- x1z2 , x1y2- y2x1 ) . (x3 , y3 , z3 ) = (y1z2-z1y2)x3+(z1x2- x1z2)y3+(x1y2- y2x1)z3

30. Expressão cartesiana

31. Exemplo 3 • Do tetraedro de arestas OA, OB, e OC, sabemos que OA = (x,3,4), OB = (0,4,2) e OC = (1,3,2) • Calcule o valor de x, para que o volume desse tetraedro seja igual a 2 u.v.

32. Exemplo 3 • Sabemos que o volume VT do tetraedro é dado por: 1/6| [AB,AD,AE] | • Como VT = 2 u.v., temos:1/6 | 2x - 10 | =2 • Logo, x = 11 ou x = -1