Vetores

1. Vetores Disciplina: Física 2 Professor: Diones Charles

2. GRANDEZAS FÍSICAS Podemos dizer de modo mais usual que grandeza é tudo aquilo que pode variar quantitativamente. Deste modo, grandezas físicas são as que podem ser medidas. São divididas em dois grupos: escalares e vetoriais.

3. GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS Grandezas escalares: ficam totalmente expressas por um valor e uma unidade. Exemplos: temperatura, massa, calor, tempo, etc. Grandezas vetoriais: são aquelas que não ficam totalmente determinadas com um valor e uma unidade, para que fiquem totalmente definidas necessitam de módulo (número com unidade de medida), direção e sentido. Exemplos: velocidade, força, aceleração, etc.

4. Grandeza Vetorial • Algumas vezes necessitamos mais que um número e uma unidade para representar uma grandeza física. • Sendo assim, surgiu uma representação matemática que expressa outras característica de uma grandeza... O VETOR

5. Sentido Direção da Reta Suporte Módulo O que é um Vetor? • É um ente matemático representado por um segmento de reta orientado. E tem algumas características básicas. • Possuí módulo. (Que é o comprimento da reta) • Tem uma direção. • E um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está apontando).

6. PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DE UM VETOR • Módulo: comprimento do segmento (através de uma escala pré-estabelecida). O módulo de um vetor é indicado utilizando-se duas barras verticais. |A| (Lê-se: módulo de A) • Direção: reta que contém o segmento • Sentido: orientação do segmento

7. d V F Representação de uma Grandeza Vetorial • As grandezas vetorial são representadas da seguinte forma: a letra que representa a grandeza, e uma a “flechinha” sobre a letra. Da seguinte forma...

8. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UM VETOR • Para representar graficamente um vetor usamos um segmento de reta orientado. • O módulo do vetor, representanumericamente o comprimento de sua seta. • O vetoracima tem móduloigual a 3 u, que é igual a distância entre ospontos A e B. • Para indicarvetoresusamos as seguintesnotações: V AB onde: A é a origem e B é a extremidade

9. a r b s a = b O vetor a é igual ao vetor b. Comparação entre vetores • Vetores Iguais Mesmo Módulo Mesma Direção Mesmo Sentido

10. a r b s c t Sobre os vetores b e c podemos afirmar: Tem o mesmo módulo, mesma direção mas sentidos opostos. a = b = - c O vetor c é oposto aos vetores a e b. Comparação entre vetores • Vetores Opostos

11. Soma Vetorial • Através da soma vetorial encontramos o vetor resultante. • O vetor resultante seria como se todos os vetores envolvidos na soma fossem substituídos por um, e este tivesse o mesmo efeito. • Existem duas regras para fazer a soma vetores.

12. b a c Determinarmos a soma a + b + c Regra do Polígono • É utilizada na adição de qualquer quantidade de vetores. • Exemplo: Para isto devemos posicionar cada vetor junto ao outro de forma que a extremidade de um vetor coloca-se junto à origem do outro. E o vetor soma, ou também chamado vetor resultante, será o vetor que une a origem do primeiro do primeiro com a extremidade do último, formando assim um polígono.

13. S a c b Fazendo a Soma através da Regra do Polígono

14. a b Determinar a soma a + b. Regra do Paralelogramo • É utilizada para realizar a adição de apenas dois vetores. • Exemplo: Para isto devemos posicionar a origem dos dois vetores no mesmo ponto e traçar uma reta paralela a cada um passando pela extremidade do outro. E o vetor soma, ou também chamado vetor resultante, será o vetor que une a origem dos dois vetores com o cruzamento das duas retas paralelas a cada vetor, formando assim um paralelogramo.

15. Reta Paralela ao vetor b e que passa pela extremidade do vetor a. R a Reta Paralela ao vetor a e que passa pela extremidade do vetor b. α b 2 R = a + b + 2.a.b.cos α 2 2 Fazendo a Soma através da Regra do Paralelogramo E o módulo, ou seja, o valor desse vetor resultante será dado por:

16. 3º ) α = 90º S = a + b 2 2 2 Regra do Paralelogramo: Casos Particulares 2º ) α = 180º S = a - b 1º ) α = 0º S = a + b Sendo assim, qualquer que seja o ângulo entre os dois vetores o valor da resultante será: | a – b | ≤ R ≤ a + b

17. b a Realizar a subtração, a – b, é como somar a mais um vetor de mesma intensidade, mesma direção mas de sentido oposto ao do vetor b originalmente representado. Na realidade, estaremos fazendo a adição do vetor a com um vetor oposto ao vetor b ( a + (-b) ). Subtração de vetores • Considere os dois vetores a seguir:

18. R a - b Fazendo a Subtração de Vetores

19. MÉTODO ANALÍTICO Podemosencontrar o módulodaresultante de doisvetores, sabendo-se apenas o módulo dos vetores e o ângulo entre eles. Exemplos: Sejam dois vetores de módulos A e B, e que formam entre si um ângulo θ. • Se θ = 0º, osvetoressãoparalelos, têm a mesmadireção e mesmosentido, conformefiguraabaixo: • V1 V2 • O módulo do vetorresultante entre estesdoisvetoresserá a soma dos módulo dos dois, chamado de resultantemáxima.

20. 2) Se θ = 180º, osvetoressãoparalelos, têm a mesmadireção e sentidosopostos, conformefiguraabaixo: V1V2 O módulo do vetorresultante entre estesdoisvetoresserá a diferença dos módulo dos dois, chamado de resultantemínima. 3) Se θ = 90º, osvetoressãoperpendiculares,conformefiguraabaixo: A B O módulo do vetorresultante entre estesdoisvetoresserá a raizquadradada soma dos quadrados dos módulo dos dois (teorema de Pitágoras).

21. 4) Se θ, for um ângulo qualquer, diferente dos mencionados anteriormente, os vetores são oblíquos, conforme figura abaixo: θ A B O módulo do vetor resultante entre estes dois vetores será dada pela lei dos cosenos:

22. DECOMPOSIÇÃO VETORIAL A decomposição de vetores é usada para facilitar o cálculo do vetor resultante. Deste modo, podemos escrever ainda: A2 = Ax2 +Ay2

23. MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM NÚMERO REAL Ao multiplicarmos um vetor qualquer (A) por um número real (n) positivo ou negativo, inteiro ou fracionário, obtemos como resultado um vetor produto (P), com as seguintes condições: • O módulo do vetor P é igual a n x |A|. • A direção é a mesma de A. • O sentido é igual ao de A se n for positivo ou sentido oposto ao de A se n for negativo.