Vetores

1. Vetores

2. Segmento de Reta Orientado • Consideremos uma reta r e sejam A e B dois pontos de r • Ao segmento de reta AB, podemos associar 2 sentidos : de A para B e de B para A • Escrevemos AB para representar o segmento de reta AB associado com o sentido de A para B

3. AB é o segmento orientado de origem A e extremidade B • BA é o segmento orientado de origem B e extremidade A • Chamamos BA , oposto de AB • Se A = B então o segmento orientado AB = BA é o segmento nulo, denotado por AA = 0

4. Definida uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado, pode-se associar um número real não negativo que é a sua medida em relação a esta unidade • A medida do segmento AB é denotada por med(AB) • Os segmentos nulos têm medida igual a zero. • med(AB) = med(BA)

5. Dados dois segmentos orientados não nulos AB e CD, dizemos que eles têm mesma direção, se as retas suportes destes segmentos são paralelas ou coincidentes • Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados, se eles têm a mesma direção • Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários, mas têm a mesma direção

6. Exemplos – Mesmo sentido

7. Exemplo – Sentidos Opostos

8. Equipolência • O segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado CD se: • ambos têm mesma medida e mesmo sentido • se ambos são segmentos nulos • Denota-se: AB ~ CD

9. Exemplos

10. Exemplos

11. Propriedades • 1. AB ~ AB (reflexiva) • 2. Se AB~CD então CD~AB (simétrica) • 3. Se AB~CD e CD~EF então AB~EF (transitiva)

12. Propriedades • 4. Dados um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB~CD • 5. Se AB~CD então BA~DC • 6. Se AB~CD então AC~BD

13. Vetores • Chamamos vetor determinado por um segmento orientado AB, ao conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB • O vetor determinado por AB, indicamos por AB

14. Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se AB~CD • Um vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, que são chamados representantes desse vetor, e que são todos equipolentes entre si • Os segmentos nulos são representantes de um único vetor, chamado vetor nulo, e denotado por 0

15. Dado um vetor v = AB, chamamos o vetor BA oposto de AB e indicamos por -AB ou -v

16. Propriedade • Decorre da propriedade 6 de equipolência a implicação: • Se AB = CD então AC = BD

17. Dado um vetor u , todos os seus representantes têm a mesma medida, chamada módulo do vetor u, e indicamos por |u | • Dizemos que os vetores AB e CD não nulos têm mesma direção (mesmo sentido), se AB e CD têm mesma direção (mesmo sentido) • Um vetor u é unitário se |u| = 1. Chamamos versor de um vetor não nulo u, o vetor unitário que tem mesmo sentido de u, e indicamos por u°

18. Dizemos que dois vetores não nulos são ortogonais, se podem ser representados por segmentos orientados ortogonais, e indicamos por u _v • O vetor Nulo é ortogonal a qualquer outro vetor no espaço

19. Soma – Ponto + vetor • Dados um ponto A e um vetor v, existe um único ponto B tal que AB = v. O ponto B é a soma do ponto A com o vetor v, Indicado por A + v

20. Propriedades • 1. A + 0 = A • 2. (A – v ) + v = A • 3. Se A+ v =B+ v então A = B • 4. Se A+ u= A+ v, então u = v • 5. A + AB = B

21. Soma – Vetor + Vetor • Considere dois vetores u e v , e um ponto qualquer A. Sejam B = A +u e C = B + v • O vetor s = AC é chamado vetor soma de ue v e indicamos por s = u + v

23. Observemos que o vetor s =u+ v independe do ponto A. De fato, se considerarmos outro ponto A’ obteremos B’ =A’ + u e C’= B’+ v • Assim, AB = A’B’ e BC = B’C’

24. Usando a propriedade 1 de Vetores , concluímos que : AA’ = BB’ e BB’ = CC’ • AA’ = CC’ e portanto AC = A’C’

25. Propriedades (1) u + v = v + u ( comutativa )

26. (2) (u + v) + w = u + (v + w) ( associativa )

27. (2) (u + v) + w = u + (v + w) ( associativa)

28. (3) u + 0 = u ( elemento neutro ) (4) u +(-u)= 0 ( elemento oposto ) • Indicamos o vetor u + (- v) por u - v.

29. Notemos que u – v ≠ v - u

30. Produto de um número Real por um Vetor • Dados a R* e v ≠ 0 , chamamos produto de a por v, o vetor w = av , que satisfaz as condições: 1. | w | = | a | | v | 2. A direção de w é a mesma da v 3. O sentido de w é igual ao de v se a > 0, e contrário ao de v se a < 0 • Se a = 0 ou v = 0, o produto av é o vetor nulo

31. Exemplos

32. Se a ≠ 0 , o produto 1/a v é indicado por v/a. Se v ≠ 0, é fácil mostrar que v/| v | é o versor de v • vº = v/| v | • portanto v =| v | v°

33. Propriedades • Considere u e v vetores quaisquer, a e b números reais quaisquer • (1) a(b v) = (ab) v • (2) a(u + v) = au + av • (3) (a + b)v = av + bv • (4) 1 v = v

34. Exercícios • Dados u, v e w, encontre 2u -3v + 1/2w u v w

35. Exercícios 1 • Dados u, v e w, encontre 2u -3v + 1/2w w/2 -3v u v w 2u

36. Exercício 2 • O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD, Sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB. Encontre • AD+AB • BA+DA • AC-BC M D C A B N

37. Exercício 2 • AN+BC • MD+MB • BM-1/2DC M D C A B N

38. Exercício 2 • AD+AB=AC • BA+DA=CD+DA=CA • AC-BC=AC+CB=AB • AN+BC=AN+NM=AM • MD+MB=MD+DN=MN • BM-1/2DC=BM+MD=BD M D C A N B