DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE Nazwaszkoły: Gimnazjum w ZespoleSzkół w Otorowie Gimnazjum w Zespole Szkół nr 43 w Szczecinie ID grupy:98/28_MF_G2 98/38_MF_G2 Opiekun:Magdalena Łączyńska-Janasiak, Magdalena Rębisz Kompetencja:matematyczno-fizyczna Tematprojektowy:„Niedziesiątkowe systemy liczbowe.” Semestr/rokszkolny:IV semestr, 2011/2012

3. WPROWADZENIE Systemy liczbowe znane są od wieków w różnych krajach i kulturach. Choć nie wszyscy o tym wiedzą wykorzystujemy je w informatyce, grafice cyfrowej, kalkulatorach. W naszej prezentacji postaramy się scharakteryzować różne systemy liczbowe-ich zapisy, działania arytmetyczne i zastosowanie.

4. Trochę historii na początek nie zaszkodzi! Zanim system dziesiątkowy stał się systemem powszechnym, różne narody i plemiona posługiwały się innymi systemami. Na przykład system dwójkowy spotykano u niektórych plemion Australii i Polinezji. Układ piątkowy zaś u indiańskiego plemienia Szoszonów w Ameryce Południowej. Natomiast Majowie w I w. p.n.e. używali układu dwudziestkowego. Pozostałości niektórych systemów spotykamy do dnia dzisiejszego np. zastosowanie systemu dwunastkowego znajdujemy w podziale roku na 12 miesięcy. W handlu przetrwała jednostka tuzin. W miarach czasu i kąta zachował się częściowo system sześćdziesiątkowy, pochodzący od Babilończyków.

5. HISTORII CIĄG DALSZY - MAJOWIE Majowie stworzyli system dwudziestkowy, który opierał się na trzech symbolach: kropka, kreska i muszla. Znak kropki oznaczał jednostkę. Pozioma kreska oznaczała piątkę. Muszla oznaczała zero. Liczby zapisywano w postaci kombinacji kropek i kresek. Odpowiednio pogrupowane stanowiły podstawowy zestaw cyfr. System dwudziestkowy Majów

6. 1 (kin) - jednostka20 (unial) - 20 x kin360 (tun) - 18 x unial7 200 (katun) - 20 x tun144 000 (baktun) - 20 x katun2 880 000 (piktun) - 20 x baktun HISTORII CIĄG DALSZY - MAJOWIE

7. A teraz trochę o babilończykach… Babilończycy zapożyczyli system liczenia od Sumerów, którzy zamieszkiwali rejon mezopotamii.

8. A teraz trochę o babilończykach…   Babilończycy posługiwali się pozycyjnym sześć -dziesiętnym systemem liczbowym. Podzielili dobę na 24 godziny, godzinę na 60 minut, a minutę na 60 sekund. Ta forma liczenia czasu przetrwała 4000 lat, aż do dziś. Chcąc napisać 5 godzin, 25 minut i 30 sekund, można to zrobić w postaci ułamków sześć -  dziesiętnych: 5 25/6030/3600. 

9. A teraz trochę o babilończykach… Oto 59 liczb zbudowanych z dwóch symboli

10. SYSTEMY LICZBOWE Przez system liczbowy rozumiemy sposób zapisywania i nazywania liczb. Rozróżniamy pozycyjne systemy liczbowe i addytywne systemy liczbowe. W pozycyjnych systemach liczbowych liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych znaków cyfrowych zależy od ich położenia (pozycji) względem sąsiednich znaków cyfrowych. Przykładami takiego systemu są m.in. dziesiątkowy system liczbowy, dwójkowy system liczbowy. W addytywnych systemach liczbowych wartość przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Na addytywnym systemie zapisu opierają się systemy liczbowe: hieroglificzny, rzymski, alfabetyczny.

11. SYSTEMY LICZBOWE - ZAPAMIĘTAJ System liczenia - to sposób w jaki zapisuje się liczby, a także algorytmy, dzięki którym z zapisu można odczytać wartość liczby. W systemie dziesiętnym są to cyfry 0-9, ale już np. w systemie szesnastkowym są to cyfry oraz litery A-F.

12. Najbardziej prymitywnym systemem liczbowym jest jedynkowy system liczbowy, w którym występuje tylko jeden znak (np. 1, albo częściej pionowa kreska). W systemie tym kolejne liczby są tworzone przez proste powtarzanie tego znaku. Np. 3 w tym systemie jest równe 111, a pięć 11111. Systemem takim posługują się np. Pigmeje. Kiedy, w przypadku większych liczb, zaczyna się grupować symbole, np. po 5 (cztery równoległe kreski, przekreślone piątą), mamy do czynienia z przejściem do addytywnego systemu liczbowego. JEDYNKOWY SYSTEM LICZBOWY

13. JEDYNKOWY SYSTEM LICZBOWY - PRZYKŁAD -Można uznać, że zapis liczby 3 = "111" wynika z faktu, że 1+1+1 = 3. -3 w tym systemie zapisuje jak "111" gdyż: 1x10+1x11+1x12=1+1+1 = 3. 111+11111 (3+5)

14. DWÓJKOWY SYSTEM LICZBOWY Dwójkowy system liczbowy (inaczej: system binarny) – to system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwie cyfry: 0 i 1. Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b.

15. ZAPIS LICZB W SYSTEMIE DWÓJKOWYM

16. - liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż: - w celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks. Np. W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste. Np. liczby dziesiętne o podstawie 2 można zapisać jako: Ciąg dalszy systemu dwójkowego

17. System binarny na dziesiętny możemy zmienić przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2: 30 ÷ 2 = 15 reszty 0 - 0 to cyfra jedności, 15 ÷ 2 = 7 reszty 1 - 1 to cyfra drugiego rzędu, 7 ÷ 2 = 3 reszty 1 3 ÷ 2 = 1 reszty 1 1 ÷ 2 = 0 reszty 1 Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc 3010 = 111102. Zamiana systemu dwójkowego

18. Działania na liczbach binarnych Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym, i opierają się na elementarnych działaniach: 1+ 0 = 1 1 + 1 = 10 Przykład dodawania 1* 0 = 0 1 * 1 = 1 Przykład odejmowania 10 - 1 = 1 Mnożenie i dzielenie wykonuje się w systemie dwójkowym także podobnie jak w systemie dziesiętnym.

19. DWÓJKOWY SYSTEM LICZBOWY -WYKORZYSTANIE Powszechnie dwójkowy system liczbowy używany jest w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych. Co za tym idzie, przyjął się też w informatyce.

20. TRÓJKOWY SYSTEM LICZBOWY • Trójkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 3. • Do zapisu liczb są potrzebne 3 cyfry: 0, 1 i 2. • Cyfry trójkowe często nazywa się tritami na podobieństwo bitów w systemie binarnym. • Ilość cyfr do zapisania liczb w systemie trójkowym nie rośnie tak szybko jak w systemie dwójkowym, jednakże jest to nadal znaczna ilość w porównaniu do zapisu dziesiętnego. Np. 36510, to 1011011012 (9 cyfr) i 1111123 (6 cyfr).

21. TRÓJKOWY SYSTEM LICZBOWY – ZBIÓR CANTORA Liczby w systemie trójkowym są pomocne w definiowaniu zbioru Cantora. Zbiór ten tworzą liczby z przedziału od 0 do 1, których trójkowa reprezentacja nie zawiera cyfry 1. Opisany w1883przez niemieckiego MatematykaGeorga Cantora. Zbiór ten był odkryty w1875przezHenry'ego Smitha. Zbiór Cantora jest najprostszym przykłademfraktala.

22. CZWÓRKOWY SYSTEM LICZBOWY Czwórkowy system liczbowy – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 4. Do zapisu liczb są potrzebne 4 cyfry: 0, 1, 2 i 3. Liczby w systemie czwórkowym mają zastosowanie przy reprezentacji płaskich krzywych Hilberta. W tym celu liczbę rzeczywistą z przedziału od 0 do 1 należy przekształcić do systemu czwórkowego. Każda kolejna pojedyncza cyfra wyniku wskazuje kolejną pod-ćwiartkę, w której się ona znajduje.

23. PIĄTKOWY SYSTEM LICZBOWY Piątkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 5. Do zapisu liczb potrzebne jest 5 cyfr: 0, 1, 2, 3 i 4. Znane są językiw których liczebniki oparte są na systemie piątkowym. Przykładami mogą być: Gumatj, Nunggubuyu, KuurnKopanNoot i Saraveca. Wśród tych języków jedynie Gumatj jest prawdziwie piątkowy, czyli liczba 25 jest grupą wyższą po 5.

24. PIĄTKOWY SYSTEM LICZBOWY - LICZEBNIKI GUMTAJI

25. ÓSEMKOWY SYSTEM LICZBOWY Ósemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. System ósemkowy jest czasem nazywanyoktalnym od słowa octal. Do zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do 7

26. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż: 1×82 + 4×81 + 4×80 = 64 + 32 + 4 = 100.W matematyce liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę systemu, np. 1448 = 10010. ÓSEMKOWY SYSTEM LICZBOWY

27. ÓSEMKOWY SYSTEM LICZBOWY – PRZYKŁAD ZAMIANY NA SYSTEM DZIESIĘTNY Przykład zamiany liczby z systemu dziesiętnego na system ósemkowy: 100/8 = 12 i 4 reszty = 4 12/8 = 1 i 4 reszty = 4 1/8 = 0 i 1 reszty = 1 Teraz czytamy od dołu: 144 w systemie oktalnym to 100 w systemie dziesiętnym

28. ÓSEMKOWY SYSTEM LICZBOWYZASTOSOWANIE System ósemkowy jest stosowany w informatyce. Przykładowo, w systemie Linux polecenie "chmod" ustawiające prawa dostępu do pliku może przyjąć jako argument oktalną reprezentację żądanych praw dostępu (np: "chmod u=rwx g=rx o=r plik" odpowiada zapisowi "chmod 754 plik"). W językach programowania C/C++/Java/Perl/PHP liczby oktalne poprzedza się pojedynczym zerem (np. 0212)

29. SZESNASTKOWY SYSTEM LICZBOWY Szesnastkowy system liczbowy (czasem nazywany heksadecymalnym, skrót hex) to pozycyjny system liczbowy,w którym podstawą jest liczba 16. Skrót hexpochodzi od angielskiej nazwy hexadecimal. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest szesnaście cyfr.W najpowszechniejszym standardzie poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9  używa się pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, E, F(wielkich lub małych). Cyfry 0-9 mają te same wartości co w systemie dziesiętnym, natomiast litery odpowiadają następującym wartościom: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15

30. SZESNASTKOWY SYSTEM LICZBOWY ZASTOSOWANIE NAUKA-Wiele kalkulatorów naukowych ma dostępny dla użytkownika system szesnastkowy. Umożliwiają one zwykłe operacje na liczbach w tej postaci oraz ich konwersję do innych systemów pozycyjnych. ELEKTRONIKA - Wiele parametrów układów elektronicznych np. kategorie urządzeń PCI podaje się w systemie szesnastkowym. INFORMATYKA- Szesnastkowy system liczbowy stosuje się w informatyce, w przypadku programowania niskopoziomowego, sterowania sprzętem komputerowym, wyboru adresów itp.

31. SZESNASTKOWY SYSTEM LICZBOWY ZASTOSOWANIE Internet-Adresy IP np. w wersji 6 są podawane w pozycyjnym systemie szesnastkowym np.:3ffe:0902:0012:0000:0000:0000:0000:0000/48 Programowanie-Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą się przez 8 i 16, często stosowany jest system heksadecymalny. Wartość pojedynczego bajta można opisać używając tylko dwóch cyfr szesnastkowych i odwrotnie - dowolne dwie cyfry szesnastkowe można zapisać jako bajt. W ten sposób kolejne bajty można łatwo przedstawić w postaci ciągu cyfr szesnastkowych. Jednocześnie zapis 4bitów można prosto przełożyć na jedną cyfrę szesnastkową, podczas gdy np. pozycyjny system dziesiątkowy nie ma własności stałej liczby bitów na cyfrę. System szesnastkowy sprawdza się szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp

32. Dziękujemy za uwagę! Mamy nadzieję, że nasza praca przypadła Państwu do gustu.