Teoria dei numeri e numeri primi

1. Teoria dei numeri e numeri primi fattorizzazione e infinità dei numeri primi

2. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi Un paio di lezioni per: • presentare i contenuti • mettere bene in rilievo come si è orientata la ricerca matematica a proposito dei numeri primi • mostrare i possibili legami fra l’aritmetica e l’algebra e tra l’aritmetica dei numeri primi e la geometria al fine di mostrare il rapporto fra numeri ed, in particolar modo, fra i numeri primi

3. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi Si forniscono le definizioni di: • divisione tra due numeri naturali; • divisore e multiplo di un naturale; • divisori banali e non banali. Si propongono alla classe una serie di esercizi per far scoprire loro alcune relazioni fra fattori e divisori, che poi si andranno a formalizzare.

4. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi • Che relazione d’ordine c’è tra un naturale ed un suo fattore? Qual è più grande tra un naturale e un suo fattore? • Consideriamo un naturale, per esempio 3, un suo multiplo per esempio 12, ed un multiplo di quest’ultimo per esempio 24: 24 è anche multiplo di 3; questa proprietà è vera in generale? cioè un multiplo di un multiplo di un naturale è un multiplo di quel naturale?

5. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi • Consideriamo i naturali 24 e 18: valgono 3 è divisore di 24 e 3 è divisore di 18, con quozienti 8 e 6; valgono anche 3 è divisore di (24+18) e 3 è divisore di (24−18); questa proprietà è vera in generale? Ossia la somma e la differenza di due multipli di un naturale sono entrambi multipli di quel naturale? • Moltiplichiamo i naturali 24 e 18 (entrambi divisibili per 3) rispettivamente per 2 e 5 e sommiamo i prodotti ottenuti: il risultato 24*2+18*5 = 138. E’ ancora divisibile per 3? Sì perché 138:3 = 46. In generale, allora, la somma dei prodotti di due multipli di un naturale per due naturali è ancora un multiplo di quel naturale?

6. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi Esempio ad “effetto” Si fa scrivere un numero di tre cifre e poi scrivere ancora queste cifre nello stesso ordine. Poi si dice “E’ divisibile per 7, vero?”. E poi: “anche per 11, vero?”, lo stesso poi si chiede per 13. Lo verificheranno rapidamente con la calcolatrice. Si vede facilmente che un numero così costruito è sempre multiplo di 7, 11, 13 in quanto non si fa altro che moltiplicare il numero di partenza per 1000 + 1 = 1001 multiplo di 7, 11, 13. Infatti: 235235 = 235*1000 + 235 = 235* (1000 + 1) = 235*1001 = 235*7*11*13

7. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi Si forniscono: • le definizioni di numeri primi e composti; • il teorema fondamentale dell’aritmetica; • alcuni criteri di divisibilità; • le definizioni di M.C.D. e m.c.m.. Si propongono alla classe una serie di esercizi per far scoprire loro alcune relazioni fra M.C.D. e m.c.m., che poi si andranno a formalizzare.

8. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi • Qual è il M.C.D.(30, 18)? E il M.C.D.(30-18,18)? E il M.C.D. (18-12, 12)? E’ possibile determinare una proprietà vera in generale? Se sì perché? • Qual è il M.C.D.(8, 12), quale il m.c.m.(8, 12) e quale il loro prodotto? Qual è il M.C.D.(3, 15), quale il m.c.m.(3, 15) e quale il loro prodotto? Il prodotto fra i due numeri è pari al prodotto del Massimo Comune Divisore e il minimo comune multiplo tra tali numeri. Questa proprietà è vera in generale?

9. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi E poi si fornisce la definizione di numeri primi tra loro e a seguire sempre con delle domande, si può cercare di far determinare ai ragazzi una proprietà di tali numeri: Qual è il m.c.m. tra 2 e 3? E tra 3 e 5? E tra 7 e 11? Questi numeri sono primi tra loro e il loro m.c.m. è proprio il loro prodotto. Questa proprietà è vera in generale? Un modo molto immediato per “vedere” la proprietà di due numeri di essere primi tra loro può essere il seguente: una rappresentazione geometrica di tali numeri, mediante la quale è possibile stabilire se questi ultimi siano o no primi tra loro.

10. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi

11. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi STORIA Si possono proporre agli studenti alcune domande atte a far sorgere in loro le stesse curiosità che hanno impegnato le menti dei matematici nel corso dei secoli: • Determinate i numeri primi… tutti.... è possibile? Quanti sono? • Secondo voi esiste un modo per determinare tutti i numeri primi? Riuscite a trovare una formula che generi i numeri di questo elenco che vi dica qual è il centesimo numero primo? • Secondo voi qual è la frequenza con cui ci si imbatte in un numero primo percorrendo la sequenza dei numeri naturali? E’ possibile determinarla?

12. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi Primo problema: quanti sono i numeri primi? III sec. a.C. Euclide dimostra che i numeri primi sono infiniti Secondo problema: determinazione dei numeri primi mediante semplice formula • Ipotesi di Fermat (XVII secolo): “tutti i numeri della forma sono primi”. • Nel 1732 Eulero dimostrò che già per n=5 l’ipotesi non è vera.

13. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi • Nel 1859 Riemann presenta, in un articolo intitolato "Sul numero dei primi minori di una certa grandezza", un’ipotesi per determinare la distribuzione dei primi tra gli altri numeri. L'ipotesi avrebbe permesso di "trovare una formula per generare l'elenco dei numeri primi”. Da un secolo e mezzo l'ipotesi di Riemann ossessiona i matematici. Stabilire una regola matematica che dimostri se esiste o no una logica nell'assenza di una cadenza nella distribuzione dei numeri primi, significherebbe comprendere se vi è una "aritmia" totale in quest'ultima o meno; questo potrebbe avere importanti ricadute sulle applicazioni informatiche odierne e future.

14. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi • Nel 1976 Jones, Sato, Wada e Wiens dimostrano l’esistenza di un polinomio in 26 variabili i cui valori positivi, al variare delle variabili sui numeri interi, sono esattamente i numeri primi. Esso rappresenta attualmente il migliore risultato trovato nella ricerca di una formula per determinare i numeri primi.

15. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi Si può far notare ai ragazzi che anche se non esiste una formula matematica per determinare tutti i numeri primi, esiste un metodo empirico per trovarli. Si introduce così il crivello di Eratostene risalente al III sec. a.C..

16. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi Passo decisivo: rinuncia alla ricerca di una formula che determini i numeri primi per chiarire, invece, la distribuzione media dei primi tra i numeri naturali. Uno dei risultati più importanti: intorno al 1800 Gauss scopre una buona approssimazione del comportamento medio della distribuzione dei numeri primi all’interno della successione dei numeri naturali.

17. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi Sono ancora tante e varie le questioni aperte a proposito della teoria dei numeri primi, alcune delle quali, una volta ipotizzate, hanno visto anche una serie di verifiche empiriche, per quanto non ne sia stata dimostrata la validità. Si può così citare la più illustre nonché famosa La congettura di Goldbach: ogni numero pari diverso da 2 può essere rappresentato come somma di due numeri primi.

18. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi Per concludere si può citare la seguente caratterizzazione dei numeri primi: Un numero n è primo se e solo se (n - 1)! + 1 è divisibile per n Si fa notare così che questa proposizione può essere facilmente utilizzata come test di primalità di un numero naturale, ossia per verificare se esso sia o no primo

19. Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinità dei numeri primi …e per finire… Sapete che cos’è questa?

21. Questa è la distribuzione dei numeri primi tra tutti i numeri naturali, rappresentati come una spirale che imita l'aspetto dei semi al centro di un girasole.