I TRIANGOLI

1. I TRIANGOLI Poligoni di tre lati Con 6 lelementi: 3 lati e 3 angoli

2. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AI LATI • Un triangolo avente due lati congruenti si dice isoscele • Un triangolo avente tre lati congruenti si dice equilatero • Un triangolo che non ha nessuno dei tre lati congruenti si dice scaleno

3. In un triangolo isoscele il punto comune ai lati congruenti si dice vertice del triangolo isoscele, • L’angolo compreso dai lati congruenti si dice angolo al vertice, • Il lato opposto al vertice si chiama base, • Gli angoli adiacenti alla base si dicono angoli alla base.

4. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AGLI ANGOLI • Un triangolo che abbia un angolo acuto si dice acutangolo, • Un triangolo che ha un angolo ottuso si dice ottusangolo, • Un triangolo che ha un angolo rettangolo (90°) si dice rettangolo.

5. Un triangoloequilatero si può considerare isoscele in tre modi diveri, potendosi considerare come base uno qualsiasi dei tre lati.

6. ALTEZZA • In un triangolo qualsiasi si definisce altezza il segmento di perpendicolare condotto da un vertice alla retta del lato opposto. • In un triangolo vi sono tre altezze che passano per uno stesso punto detto ortocentro del triangolo.

7. MEDIANA • Si definisce mediana di un triangolo relativa ad un lato il segmento che congiunge il punto medio di quel lato con il vertice opposto. • In un triangolo vi sono tre mediane che passano per uno stesso punto detto baricentro del triangolo.

8. BISETTRICE • Si definisce bisettrice di un triangolo il segmento, contenuto nella semiretta bisettrice di quell’angolo, che ha un ewstremo nel vertice dell’angolo e l’altro estremo sil lato opposto. • In un triangolo vi sono tre bisettrici che passano per uno stesso punto detto incentro del triangolo.

9. CONGRUENZA DEI TRIANGOLI E SUE CONSEGUENZE

10. FIGURE CONGRUENTI • Due triangoli sono congruenti se esiste un moviemnto rigido con il quale essi possono essere sovrapposti in modo da coincidere. • Questo movimento farà coincidere i vertici, i lati e gli angoli del primo triangolo con i vertici e gli angoli corrispondenti del secondo triangolo.

11. C C1 A B B1 A1 • ABC A1B1C1  AB  A1B1, AC A1C1, lati omologhi o corrispondenti BC C1B1, A A1, B B1, angoli corrispondenti C C1 Due triangoli sono congruenti se hanno i sei elementi (3lati e 3 angoli) rispettivamente congruenti (angoli congruenti sono opposti a lati congruenti e viceversa). Ma bastano 3 di queste relazioni di congruenza per dire che i triangoli sono congruenti.

12. PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA • Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra loro compreso, essi sono congruenti. • OSSERVAZIONE: ad angoli congruenti stanno opposti lati congruenti, e viceversa, a lati congruenti sono opposti angolicongruenti.

13. C C1 A B B1 A1 • IPOTESI: AC A1C1 lato AB  A1B1 lato CABC1A1B1 angolo • TESI: ABCA1B1C1 triangolo Bastano queste 3 relazioni (2 lati ed un angolo congruenti) per dimostrare che i due angoli sono uguali.

14. DIMOSTRAZIONE (verifica sperimentale) • Si parte dall’angolo: CABC1A1B1 • Se con un movimento rigido sovrappongo i due angoli, anche le due semirette (lati dei triangoli) si sovrapporranno. • La semiretta che contiene AC si sovrappone a quella che contiene A1C1. • AB si sovrappone ad A1B1. • Poiché AC è congruente ad A1C1 ed AB ad A1B1, Ccoincide con C1, il vertice B coincide con B1, è chiaro che il lato BC coincide e si sovrappone con B1C1. • Anche l’angolo in C1 coincide con C e B coincide con B1. • Quindi il triangolo ABC coincide con il triangolo A1B1C1.

15. TEOREMA • In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. C IPOTESI: ACBC TESI: CABCBA A E B

16. DIMOSTRAZIONE • Si considera la bisettrice dell’angolo al vertice CE. • Consideriamo i due triangoli ACE e CBE, essi hanno: CE in comune CA CB per ipotesi ACEBCE per costruzione, poiché ho creato e tracciato la bisettrice • I due triangoli sono congruenti per il 1° criterio dei congruenza, perché hanno 3 elementi congruenti, 2 lati ed un angolo. Il triangolo ACE  CBE, quindi l’angolo CAB  ABC, C.V.D.(come volevasi dimostrare)

17. ANGOLI SUPPLEMENTARI • Gli angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti, sono congruenti tra loro. • Angoli supplementari di uno stesso angolo. i due angoli supplementari sono uguali π -   π -  π - 

18. Angoli supplementari di angoli congruenti, sono complementari tra loro. a b a1 b1   o o Angoli    Anche gli angoli supplementari π -  π -  saranno congruenti

19. PROPRIETA’ • Somme o differenze di angoli rispettivamente congruenti, sono congruenti.     •  +    +  •  -    - 

20. TEOREMA • Angoli opposti al vertice sono congruenti A B  O Angolo AOB Da dimostrare    •  e  sono supplementari dello stesso angolo AOB π- AOB=  π- AOB=  per la definizione di angoli supplementari • π  π AOB  AOB π-AOB  π- AOB    perché sono differenze di angoli congruenti

21. SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA • Se due triangoli hanno rispettivamente due angoli e il lato tra loro compreso congruenti, essi sono congruenti. C C1 D A B A1 B1 IPOTESI: Angolo A  A1 Angolo B  B1 AB A1B1 TESI: Triangolo ABC  A1B1C1

22. DIMOSTRAZIONE per assurdo • IPOTESI: vera • (Nego la TESI) non TESI: vera • Se ottengo una contraddizione o un assurdo…non potendo essere vera la non TESI, non TESI: falsa • Vuol dire che la TESI è vera • TESI: vera

23. DIMOSTRAZIONE 1. IPOTESI: lato AB  A1B1 angolo CAB  C1A1B1 angolo ABC  A1B1C1 TESI: triangolo ABC  A1B1C1 2. Nego la TESI: ABC non congruente a A1B1C1 ACA1C1 supponiamo che i leti siano diversi ACA1C1 supponiamo che uno dei due angoli sia maggiore dell’altro; esisterà un punto di AC, detto D, tale che AD sia congruente ad A1C1: AD  A1C1 Consideriamo il triangolo ABD e quello A1B1C1, essi hanno: AB  A1B1 per ipotesi CAB  C1A1B1 per ipotesi AD  A1C1 per costruzione Hanno due lati ed un angolo compreso congruenti: per il 1° criterio di congruenza. I rispettivi angoli opposti devono essere congruenti: angolo ABD  A1B1C1 perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti.

24. Angolo CBA  C1B1A1 ABD  A1B1D1 per la proprietà transitiva della congruenza. • Ma angolo ABD  CBA è un ASSURDO perché l’angolo ABD è una parte di ABC, preché DB, la semiretta, è interna all’angolo ABC. • Resta dimostrata la verità della TESI. C C1 D A B A1 B1