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Risoluzione di triangoli qualsiasi

Risoluzione di triangoli qualsiasi. C. b. a. a. c. B. A. Dato un triangolo ABC, con i lati b, c e l’angolo compreso a, vogliamo trovare il terzo lato a. Tracciamo l’altezza CH. CH = b sen a. b sen a. AH = b cos a. c - b cos a. BH = AB - AH= c - b cos a. H.

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Presentation Transcript

  1. Risoluzione di triangoli qualsiasi

  2. C b a a c B A Dato un triangolo ABC, con i lati b, c e l’angolo compreso a, vogliamo trovare il terzo lato a. Tracciamo l’altezza CH CH = b sen a b sen a AH = b cos a c - b cos a BH = AB - AH= c - b cos a H Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB a2 = CH2 + BH2 = (b sen a)2 + (c - b cos a)2 a2 = b2 sen2a + c2 + b2 cos2a -2bc cos a Ma: b2 sen2a + b2 cos2a = b2 (sen2a + cos2a) = b2 pertanto a2 = b2 + c2 - 2bc cos a

  3. C b a c A B g a b Abbiamo così ottenuto il Teorema di Carnot (o del coseno) In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuito del doppio prodotto di questi per il coseno dell’angolo compreso. a2 = b2 + c2 - 2bc cos a b2 = a2 + c2 - 2ac cos b c2 = a2 + b2 - 2ab cos g

  4. Dal teorema di Carnot, possiamo ricavare gli angoli di un triangolo, conoscendone i tre lati. Ad esempio dalla relazione a2 = b2 + c2 - 2bc cos a possiamo ricavare e quindi a, poiché esiste un unico angolo compreso tra 00 e 1800 avente un dato coseno. Utilizzando il teorema di Carnot, possiamo risolvere un triangolo qualunqe, in due casi • caso 1: dati due lati e l’angolo compreso • caso 2: dati i tre lati

  5. g C a a b b c B A CASO 1: risoluzione di un triangolo dati b, c, a da cui si ricava b da cui si ricava g

  6. C g b a a b c B A CASO 2: risoluzione di un triangolo dati a, b, c da cui si ricava a da cui si ricava b da cui si ricava g

  7. In questo ultimo caso il problema ha soluzione solamente se cos a, cos b, cos g sono compresi tra -1 ed 1, altrimenti non esiste alcun triangolo che ha i tre lati quelli dati. Vediamo ora un teorema che da la relazione tra un lato di un triangolo e l’angolo opposto.

  8. D a Dato il triangolo ABC, costruiamo la circonferenza circoscritta e sia R il raggio. A a Tracciamo il diametro BD passante per B. L’angolo BDC è congruente ad a = BAC perché entrambi insistono sull’arco BC B a C Il triangolo BCD è rettangolo in C, perché l’angolo BCD insiste su una semicirconferenza. Quindi a = BD sena = 2R sena Dunque otteniamo

  9. C b a c A B g a b Abbiamo così ottenuto il Teorema dei seni In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto è costante, ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo.

  10. Il teorema dei seni ci consente di risolvere un triangolo dato un lato e i due angoli ad esso adiacenti.

  11. C g b a a b c B A CASO 3: risoluzione di un triangolo dati c, a, b poiché a + b + g = 1800 dal teorema dei seni dal teorema dei seni

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