Métodos numéricos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

1. Métodos numéricos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

2. Contenido • Planteamiento del problema • Método de Punto Fijo • Método de Newton • Variantes del método de Newton • Evaluación diferida del jacobiano • Aproximación por diferencias finitas • Newton unidimensional • Métodos cuasi-Newton (Broyden)

3. Notación • Escalar • Vectorial

4. Resolución iterativa • x(0) estimación inicial de la solución • Iteraciones: x(1), x(2), …, x(k) • Criterio de convergencia • | x(k+1)- x(k) | < tol • Criterio de parada • k > maxiter

5. Esquema del algoritmo • Entrada: f, x0, tol, maxiter • Proceso • Inicializar incr, iter • Mientras incr > tol & iter < maxiter • Obtener x • incr = norm(x - x0) • Actualizar x0, iter • Salida: x, iter, incr • Si incr > tol no converge

6. Método de Punto Fijo • Punto fijo • Estimación inicial • Iteraciones • Criterio de parada

7. Algoritmo de Punto Fijo function [x,iter,incr] = pfijo(g,x0,tol, maxiter) iter = 0; incr = tol + 1; while incr > tol & iter < maxiter x = feval(g,x0); incr = norm(x - x0); iter = iter + 1; x0 = x; end if incr > tol, disp(‘No converge’), end

8. Ejemplo • Sistema no lineal • Problema de Punto Fijo

9. Punto Fijo con desplazamientos simultáneos • Punto Fijo con desplazamientos sucesivos

10. Código de la función function y=f(x) % Función para el método de punto % fijo con desplazamientos simultáneos y(1) = cos(x(2)*x(3))/3 + 1/6; y(2) = sqrt(x(1)^2+sin(x(3))+1.06)/9-0.1; y(3) = (1-exp(-x(1)*x(2)))/20 - pi/6;

11. Ejemplo 1: Desp. simultáneos

12. Código de la función function y=f(x) % Función para el método de punto % fijo con desplazamientos sucesivos y(1) = cos(x(2)*x(3))/3 + 1/6; y(2) = sqrt(y(1)^2+sin(x(3))+1.06)/9-0.1; y(3) = (1-exp(-y(1)*y(2)))/20 - pi/6;

13. Ejemplo 1: Desp. sucesivos

14. Método de Newton • Sistema de ecuaciones • Aproximación por el plano tangente • Paso de Newton

15. Algoritmo de Newton function [x,iter,incr] = newton(f,x,tol, maxiter) iter = 0; incr = tol+1; while incr > tol & iter < maxiter [fx,dfx] = feval(f,x); delta = - dfx \ fx; incr = norm(delta); iter = iter+1; x = x + delta; end if incr>tol, disp(‘No converge’), end El archivo f.m evalúa la función y el jacobiano

16. Método de Newton. Ejemplo 2 • Sistema • Estimación inicial • Primera iteración

17. Resultados Newton Ejemplo 2

18. Método de Newton. Ejemplo 3 • Sistema no lineal • Jacobiana

19. Resultados Newton. Ejemplo 3

20. Variantes de Newton (Ejercicio...) • Actualización periódica del Jacobiano • Aproximación del Jacobiano por diferencias divididas • Newton con desplazamiento unidimensional

21. Métodos casi-Newton • Idea de la secante • No usa las derivadas parciales • Convergencia superlineal • Formulación matricial

22. Método de Broyden Iterar siendo

23. Actualización de la inversa

24. Algoritmo de Broyden • Entrada • x0 ,tol, maxiter • Inicio • M: Inversa del Jacobiano en x0 • x1 = x0- M*F(x0) • incr, iter • Iteraciones: k = 1, 2, ... • Actualizar M % Ak-1-1 Ak-1 • xk+1 = xk- M*F(xk)

25. Actualización de M w = v; % F(xk-1) v = F(x); % F del iterado actual y = v - w; % F(xk) - F(xk-1) z = - M*y; % - Ak-1-1 * yk p = - s' *z; % (sk - xk-1)T* Ak-1-1 * yk q = s' *M; % skT* Ak-1-1 R = (s+z)*q/p; % Transformación rango 1 M = M+R; % Inversa nueva: Ak-1 s = - M*v; % Paso de Broyden: sk+1

26. % Inicio v =F(x0) M = inv(DF(x0)) % Inversa Jacobiano s = - M*v; x = x0+s; % Paso de Newton incr = norm(s); while incr > tol w = v; % F(x(k-1)) v = F(x); y = v-w; % F(x(k)) - F(x(k-1)) z = - M*y; % -inv(A(k-1))*y(k) p = - s' *z; q = s' *M; % s(k)'*inv(A(k-1) R = (s+z)*q/p; M = M+R; % inversa de A(k) s = - M*v; x = x+s; % Paso de Broyden incr = norm(s); end Algoritmo de Broyden

27. Resultados de Broyden. Ejemplo 3

28. Alternativas al primer paso • Estimar el Jacobiano por diferencias divididas • Estimación unidimensional del Jacobiano

29. F i n