EQE 002 OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA

EQE 002 OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA Tópico 7 12 de setembro de 2013

7. MÉTODOS NUMÉRICOS São métodos de busca por tentativas. Os métodos podem ser: - Diretos: orientam as tentativas com base apenas no valor da Função Objetivo. • Indiretos: utilizam, também, o valor da derivada da Função Objetivo. (com mais informação, o número de tentantivas é menor; mas o esforço computacional é maior). Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades: - Eficiência:resolver o mesmo problema com menor esforço. - Robustez:resolver uma variedade maior de problemas.

7. MÉTODOS NUMÉRICOS T4oC W1 = 30.000 kg/h A m2 ? T2 = 50 oC T1 = 100 oC W3 kg/h ? T3= 15 oC Motivação para o uso de métodos numéricos Dimensionamento de um trocador de calor

FLUXOGRAMA T4oC W1 = 30.000 kg/h A m2 ? T2 = 50 oC T1 = 100 oC W3 kg/h ? T3= 15 oC Modelo Avaliação Econômica CT = Ccap + Cutil Cutil = (8.500)(5x10-5)W3 Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)

Modelo Ordenado Avaliação Econômica CT = Ccap + Cutil Cutil = (8.500)(5x10-5)W3 Variável de Projeto: T4 Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo

T4oC W1 = 30.000 kg/h A m2 ? T2 = 50 oC T1 = 100 oC W3 kg/h ? T3= 15 oC Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65. A derivada desta função é por demais complexa, inviabilizando a explicitação de T4.

7. Métodos Numéricos 7.1 Problemas Univariáveis 7.1.1 Problemas Irrestritos (a) Métodos Diretos - Intervalo Fixo - Intervalo Variável (aceleração) (b) Métodos Indiretos: busca com gradiente 7.1.2 Problemas Restritos (a) Métodos Diretos - Intervalos Regulares - Intervalos Irregulares - Seção Áurea - Aproximação Polinomial - Interpolação Quadrática (b) Métodos Indiretos - Método de Newton - Método das Secantes

7. Métodos Numéricos 7.1 Problemas Univariáveis 7.1.1 Problemas Irrestritos (a) Métodos Diretos - Intervalo Fixo - Intervalo Variável (aceleração)(b) Métodos Indiretos: busca com gradiente 7.1.2 Problemas Restritos (a) Métodos Diretos - Intervalos Regulares - Intervalos Irregulares - Seção Áurea - Aproximação Polinomial - Interpolação Quadrática (b) Métodos Indiretos - Método de Newton - Método das Secantes

Exemplos (Problemas de Máximo) intervalos eliminados intervalos eliminados Dois experimentos por ciclo Três experimentos por ciclo

Casos de eliminação de 50% do intervalo Casos de eliminação de 75% do intervalo

7. Métodos Numéricos 7.1 Problemas Univariáveis 7.1.1 Problemas Irrestritos (a) Métodos Diretos - Intervalo Fixo - Intervalo Variável (aceleração)(b) Métodos Indiretos: busca com gradiente 7.1.2 Problemas Restritos (a) Métodos Diretos - Intervalos Regulares- Intervalos Irregulares - Seção Áurea - Aproximação Polinomial - Interpolação Quadrática (b) Métodos Indiretos - Método de Newton - Método das Secantes

MÉTODOS DE ESTREITAMENTO DO INTERVALO VIÁVEL Hipótese: a Função Objetivo é unimodal (a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável. (b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar (o intervalo viável, de incerteza, é reduzido). (c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cada iteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida Então, qualquer ponto no interior do intervalo pode ser considerado como solução do problema. Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos.

MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos. Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a: (a)exibir umasimetriaem relação aos limites do intervalo (Li e Ls) (b)eliminar sempre amesma fração do intervalo vigente. Fi Fs xi xs Ls Li Onde posicionar xi e xs? Qual é esta fração?

Esta fração advém da razão dos lados doRetângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos)  1 Seja um retângulo de lado maior 1 e lado menor  A razão dos seus lados é  /1 = 

Removendo-se um quadrado, 1-   1 sobra um retângulo cuja razão dos lados é (1 -  ) / 

O Retângulo Áureo é aquele cuja razão dos lados permanece a mesma ao se remover quadrados sucessivos  1 1-  Esta é a Razão Áurea dos lados de um retângulo

Retângulo Áureo 0,382 0,618 1 0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618 Assim, a cada remoção de um quadrado o lado maior do retângulo perde 38,2% do seu comprimento ficando reduzido a 61,8% do comprimento anterior.

Retângulo Áureo 0,382 0,618 1 0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618 1  0,618  0,382  0,236  0,146  0,090

1  0,618  0,382  0,236  0,146  0,090 Após a remoção de 10 quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,61010 =0,0081 do comprimento original, ou seja, a menos de 1% do comprimento original.

Retângulo Áureo na Arquitetura Grega

MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA 0,618   Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos. Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a: (a)exibir umasimetriaem relação aos limites do intervalo (Li e Ls) (b)eliminar sempre amesma fração do intervalo vigente. Isto é obtido dividindo o intervalo de busca na razão áurea A cada iteração é eliminado um subintervalo Fi Para isso:  = Ls – Lixi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382  Exemplo: Eliminado o da esquerda, o intervalo inicial  é reduzido para 0,618  Fs 0,382  0,382  Li xi xs Ls

Algoritmo da Seção Áurea ÁUREA Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Convergiu Delta  Tolerância

Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Fi Fs Eliminação de Região Eliminação de Região Problema de Máximo Problema de Mínimo Li xi xs Ls Li xs Ls xi 0,618  Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto Fs Fs Fi Fi 0,382  0,382  Inicialização  = Ls – Lixi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382   Li xi xs Ls xi xs Ls Li Fs Fi xi Li xs xiFs  Fi Fi xs Ls xi xsFi  Fs Fs Li xi xs Ls

Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Fi 0,618  Eliminação de Região Problema de Máximo Li xi xs Ls Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto Fs Fi 0,382  0,382  Inicialização  = Ls – Lixi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382   xi xs Ls Li Fs 0,382  0,382  Fi xs Ls xi xsFi  Fs Fs Li xi xs Ls

Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto 0,618  Fs Eliminação de Região Problema de Mínimo Li xs Ls xi Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto Fs Fi 0,382  0,382  Inicialização  = Ls – Lixi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382   Li xi xs Ls Fi 0,382  0,382  xi Li xs xiFs  Fi Fi Fs Li xi xs Ls

EXEMPLO T4oC W1 = 30.000 kg/h A m2 ? T2 = 50 oC T1 = 100 oC W3 kg/h ? T3= 15 oC Dimensionamento de um trocador de calor Cp1 = 1,35 kcal/kg oCCp3 = 1,00 kcal/kg oC U = 0,75 kcal / m2oC

FLUXOGRAMA T4oC W1 = 30.000 kg/h A m2 ? T2 = 50 oC T1 = 100 oC W3 kg/h ? T3= 15 oC Modelo Avaliação Econômica CT = Ccap + Cutil Cutil = (8.500)(5x10-5)W3 Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)

Modelo Ordenado Avaliação Econômica CT = Ccap + Cutil Cutil = (8.500)(5x10-5)W3 Variável de Projeto: T4 Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo

T4oC W1 = 30.000 kg/h A m2 ? T2 = 50 oC T1 = 100 oC W3 kg/h ? T3= 15 oC Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65 (T4 = 1)

PROGRAMA Áurea.bas e Áurea.xls Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

Iniciar  N L x F x F L i i i s s s 2 15 47,47 9.568 67,53 6.287 100 85 4 67,53 79,93 5.339 100 32,47 47,47 67,53 79,93 15 100 xi xs xs Li Ls 3 47,47 79,93 5.339 100 52,53 67,53 6.287 Acompanhamento no gráfico e na tabela Repetir Eliminar Região Atualizar Delta 9.568 6.287 Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto 5.339 Li assume o valor de xi... xi assume o valor de xs..

VER PROGRAMA AUREA.XLS

Minimização do Custo do Trocador de Calor Resultado do Aurea.xls

7. Métodos Numéricos 7.1 Problemas Univariáveis 7.1.1 Problemas Irrestritos (a) Métodos Diretos - Intervalo Fixo - Intervalo Variável (aceleração)(b) Métodos Indiretos: busca com gradiente 7.1.2 Problemas Restritos (a) Métodos Diretos - Intervalos Regulares - Intervalos Irregulares - Seção Áurea - Aproximação Polinomial -Interpolação Quadrática (b) Métodos Indiretos - Método de Newton - Método das Secantes

7. Métodos Numéricos 7.1 Problemas Univariáveis 7.1.1 Problemas Irrestritos (a) Métodos Diretos - Intervalo Fixo - Intervalo Variável (aceleração)(b) Métodos Indiretos: busca com gradiente 7.1.2 Problemas Restritos (a) Métodos Diretos - Intervalos Regulares - Intervalos Irregulares - Seção Áurea - Aproximação Polinomial - Interpolação Quadrática (b) Métodos Indiretos - Método de Newton - Método das Secantes (Quasi-Newton)

EQE 002 OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA